Betrag eines Vektors

Betrag eines Vektors Übung

• Gib an, welche Aussagen zum Betrag von Vektoren richtig sind.

  Tipps

  Der Betrag eines Vektors ist gleich der Länge des zugehörigen Vektorpfeils. Zur Berechnung wird der Satz des Pythagoras verwendet.

  Zur Berechnung des Einheitsvektors dividieren wir den Vektor durch seine Länge. Dies wird auch als Normierung des Vektors bezeichnet.

  Lösung

  Der Betrag eines Vektors ist gleich der Länge des zugehörigen Vektorpfeils. Zur Berechnung wird der Satz des Pythagoras verwendet.

  Die Länge eines Vektors ist immer positiv.
  Diese Aussage ist richtig, da alle Koordinaten bei der Rechnung quadriert werden.

  Die Länge eines Vektors ist gleich der Länge seines Gegenvektors.
  Diese Aussage ist richtig, da der Abstand der beiden Endpunkte gleich groß ist.

  Wir können jeden beliebigen Vektor auf die Länge $1$ normieren. Wir erhalten dann den zugehörigen Einheitsvektor. Zur Berechnung des Einheitsvektors dividieren wir den Vektor durch seine Länge.

  Ein Einheitsvektor hat die Länge $0$.
  Diese Aussage ist falsch. Ein Einheitsvektor hat die Länge $1$, da der Vektor durch seine Länge geteilt wird.

  Durch das Normieren wird ein Vektor kürzer.
  Diese Aussage ist falsch. Hat der Vektor eine Länge kleiner als $1$, so wird er beim Normieren länger. Hat der Vektor eine Länge größer als $1$, so wird er beim Normieren kürzer.

• Beschreibe, was man unter dem Betrag eines Vektors versteht.

  Tipps

  Ein Einheitsvektor ist ein Vektor mit der Länge $1$.

  Wir können die Länge der Raumdiagonalen mithilfe zwei rechtwinkliger Dreiecke berechnen.

  Lösung

  Vektorpfeile verlaufen häufig im dreidimensionalen Raum und werden durch ihre Richtung und ihre Länge definiert.

  Betrag eines Vektors:
  Der Betrag eines Vektors ist gleich der Länge des zugehörigen Vektorpfeils. Zur Berechnung wird der Satz des Pythagoras verwendet.
  Beispiel: Der Betrag des Vektors $\vec{v}$ schreiben wir als $|\vec{v}|$. Wir betrachten den folgenden Vektor:
  $\vec{v} =\left( \begin{array}{c} 4 \\ -1 \\ 8 \\ \end{array}\right)$
  Wir berechnen seinen Betrag wie folgt:
  $|\vec{v}| = \left| \left( \begin{array}{c} 4 \\ -1 \\ 8 \\ \end{array}\right) \right| = \sqrt{4^2+(-1)^2+8^2} = 9$

  Einheitsvektoren:
  Wir können jeden beliebigen Vektor auf die Länge $1$ normieren. Wir erhalten dann den zugehörigen Einheitsvektor. Zur Berechnung des Einheitsvektors dividieren wir den Vektor durch seine Länge.
  Beispiel: Der Einheitsvektor des Vektors $\vec{v}$ ist:
  $\vec{v}_E = \dfrac{1}{9}\left( \begin{array}{c} 4 \\ -1 \\ 8 \\ \end{array}\right)$
  Wir können den Faktor auch in die Klammer ziehen und erhalten damit:
  $\vec{v}_E = \left( \begin{array}{c}\frac{4}{9} \\ -\frac{1}{9} \\ \frac{8}{9} \\ \end{array}\right)$

• Berechne die Länge der Vektoren.

  Tipps

  Wir berechnen die Länge eines Vektors allgemein wie folgt:

  $d = \sqrt{a^2+b^2+c^2}$

  Dabei sind $a$,$b$,$c$ die Einträge des Vektors und $d$ die Länge des Vektors.

  In diesem Bild wird die Länge des Vektors $\overrightarrow{PQ}= \begin{pmatrix} -3 \\ 4 \\ 2{,}75 \end{pmatrix}$ und des Gegenvektors ausgerechnet.

  Lösung

  Der Betrag eines Vektors ist gleich der Länge des zugehörigen Vektorpfeils. Zur Berechnung verwenden wir den Satz des Pythagoras:
  Den Betrag des Vektors $\vec{v}$ schreiben wir als $|\vec{v}|$.

  Wir berechnen somit die folgenden Beträge bzw. Längen:

  Erste Aufgabe:
  $\vec{v} = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 4 \\ 5 \\ \end{array}\right) \quad | \vec{v} | = \sqrt{1^2+4^2+5^2} = \sqrt{42} \approx 6,5$

  Zweite Aufgabe:
  $\vec{v} = \left( \begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 8 \\ \end{array}\right) \quad | \vec{v} | = \sqrt{2^2+2^2+8^2} = \sqrt{72} \approx 8,5$

  Dritte Aufgabe:
  $\vec{v} = \left( \begin{array}{c} 3 \\ -4 \\ -7 \\ \end{array}\right) \quad | \vec{v} | = \sqrt{3^2+(-4)^2+(-7)^2} = \sqrt{74} \approx 8,6$

  Vierte Aufgabe:
  $\vec{v} = \left( \begin{array}{c} -2 \\ 5 \\ 9 \\ \end{array}\right) \quad | \vec{v} | = \sqrt{(-2)^2+5^2+9^2} = \sqrt{110} \approx 10,5$

• Stelle den Einheitsvektor der Vektoren auf.

  Tipps

  Wir können jedem Vektor seinen Einheitsvektor zuordnen, indem wir den Vektor durch seine Länge teilen.

  Beispiel: $\left( \begin{array}{c} 2 \\ -9 \\ 1 \\ \end{array}\right) $
  Länge: $\left| \left( \begin{array}{c} 2 \\ -9 \\ 1 \\ \end{array}\right) \right| = \sqrt{2^2+(-9)^2+1^2} = \sqrt{86} $
  Einheitsvektor: $\left( \begin{array}{c} \frac{2}{\sqrt{86}} \\ \frac{-9}{\sqrt{86}}\\ \frac{1}{\sqrt{86}} \\ \end{array}\right) $

  Lösung

  Wir können jedem Vektor seinen Einheitsvektor zuordnen, indem wir den Vektor durch seine Länge teilen. Der Einheitsvektor hat somit immer die Länge $1$.

  Wir bestimmen also zunächst mit dem Satz des Pythagoras die Länge jeden Vektors und dividieren anschließend jede Koordinate durch diese Länge:

  Erster Vektor: $\left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \\ 5 \\ \end{array}\right) $
  Länge: $\left| \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \\ 5 \\ \end{array}\right) \right| = \sqrt{1^2+(-3)^2+5^2} = \sqrt{35}$
  Einheitsvektor: $\frac{1}{\sqrt{35}} \cdot \left( \begin{array}{c} 1 \\ -3 \\ 5 \\ \end{array}\right) = \left( \begin{array}{c} \frac{1}{\sqrt{35}} \\ -\frac{3}{\sqrt{35}} \\ \frac{5}{\sqrt{35}} \\ \end{array}\right) $

  
  

  Zweiter Vektor: $\left( \begin{array}{c} 3 \\ \sqrt{2} \\ -5 \\ \end{array}\right) $
  Länge: $\left| \left( \begin{array}{c} 3 \\ \sqrt{2} \\ -5 \\ \end{array}\right) \right| = \sqrt{3^2+\sqrt{2}^2+(-5)^2} = \sqrt{36} =6$
  Einheitsvektor: $\frac{1}{6} \cdot \left( \begin{array}{c} 3 \\ \sqrt{2} \\ -5 \\ \end{array}\right) = \left( \begin{array}{c} 0{,}5 \\ \frac{\sqrt{2}}{6} \\ -\frac{5}{6}\\ \end{array}\right) $

  
  

  Dritter Vektor: $\left( \begin{array}{c} 0 \\ -6 \\ 8 \\ \end{array}\right) $
  Länge: $\left| \left( \begin{array}{c} 0 \\ -6 \\ 8 \\ \end{array}\right) \right| = \sqrt{0^2+(-6)^2+8^2} = \sqrt{100} =10$
  Einheitsvektor: $\frac{1}{10} \cdot \left( \begin{array}{c} 0 \\ -6 \\ 8 \\ \end{array}\right) = \left( \begin{array}{c} 0 \\ -0{,}6 \\ \frac{4}{5} \\ \end{array}\right) $

  
  

  Vierter Vektor: $\left( \begin{array}{c} 3 \\ 9 \\ 2 \\ \end{array}\right) $
  Länge: $\left| \left( \begin{array}{c} 3 \\ 9 \\ 2 \\ \end{array}\right) \right| = \sqrt{3^2+9^2+2^2} = \sqrt{94} $
  Einheitsvektor: $ \frac{1}{\sqrt{94}} \cdot \left( \begin{array}{c} 3 \\ 9 \\ 2 \\ \end{array}\right) = \left( \begin{array}{c} \frac{3}{\sqrt{94}} \\ \frac{9}{\sqrt{94}}\\ \frac{2}{\sqrt{94}} \\ \end{array}\right) $

• Bestimme den Vektor $\overrightarrow{AB}$.

  Tipps

  Der Vektor $\overrightarrow{PQ}$ zeigt vom Punkt $P$ zu Punkt $Q$. Das gleiche Prinzip können wir auf den Vektor $\overrightarrow{AB}$ und den Punkten $A$ und $B$ anwenden.

  Beispiel:
  $A(1|-1|5) \quad B(3|0|-2)$

  $ \overrightarrow{AB} =\left( \begin{array}{c} 3-1 \\ 0-(-1) \\ -2-5 \\ \end{array}\right) =\left( \begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ -7 \\ \end{array}\right)$

  Lösung

  Allgemein können wir einen Vektor $\overrightarrow{AB}$ im dreidimensionalen zwischen zwei gegebenen Punkten $A(a_1| a_2| a_3)$ und $B(b_1|b_2|b_3)$ wie folgt bestimmen:

  $\overrightarrow{AB} =\left( \begin{array}{c} b_1-a_1 \\ b_2-a_2 \\ b_3-a_3 \\ \end{array}\right)$

  Wir berechnen so die folgenden Vektoren:

  Erster Vektor: $A(3|-4|2), ~ B(1|0|-5)$

  $ \overrightarrow{AB} =\left( \begin{array}{c} 1-3 \\ 0-(-4) \\ -5-2 \\ \end{array}\right) =\left( \begin{array}{c} -2 \\ 4 \\ -7 \\ \end{array}\right)$

  Zweiter Vektor: $A(1|0|-5), ~ B(3|-4|2) $

  $ \overrightarrow{AB} =\left( \begin{array}{c} 3-1 \\ -4-0) \\ 2-(-5) \\ \end{array}\right) =\left( \begin{array}{c} 2 \\ -4 \\ 7 \\ \end{array}\right)$

  Dritter Vektor: $A(-1|5|2), ~ B(-1|3|-4)$

  $ \overrightarrow{AB} =\left( \begin{array}{c} -1-(-1) \\ 3-5 \\ -4-2 \\ \end{array}\right) =\left( \begin{array}{c} 0 \\ -2 \\ -6 \\ \end{array}\right)$

  Vierter Vektor: $A(0|-3|1), ~ B(1|1|-3) $

  $ \overrightarrow{AB} =\left( \begin{array}{c} 1-0 \\ 1-(-3) \\ -3-1\\ \end{array}\right) =\left( \begin{array}{c} 1 \\ 4 \\ -4 \\ \end{array}\right)$

• Ordne die Vektoren nach ihrer Länge.

  Tipps

  Beachte:

  $(\sqrt{7})^2=7$

  $(-3)^2=+9$

  Berechne zuerst die Längen der einzelnen Vektoren:

  $\vec{v} = \left( \begin{array}{c} a \\ b \\ c \\ \end{array}\right) \quad | \vec{v} | = \sqrt{a^2+b^2+c^2}$

  Lösung

  Wir können die Länge bzw. den Betrag eines Vektors mit Hilfe des Satz des Pythagoras berechnen. Dazu ziehen wir die Wurzel aus der Summe der quadrierten Koordinaten.

  Um die Vektoren nach ihrer Länge ordnen zu können, berechnen wir zunächst die Länge der einzelnen Vektoren:

  • $\vec{v} = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 3 \\ 2 \\ \end{array}\right) \quad | \vec{v} | = \sqrt{0^2+3^2+2^2} = \sqrt{13} $
  • $\vec{v} = \left( \begin{array}{c} \sqrt{2} \\ \sqrt{6} \\ 3 \\ \end{array}\right) \quad | \vec{v} | = \sqrt{\sqrt{2}^2+\sqrt{6}^2+3^2} = \sqrt{17} $
  • $\vec{v} = \left( \begin{array}{c} -1 \\ 3 \\ -3 \\ \end{array}\right) \quad | \vec{v} | = \sqrt{(-1)^2+3^2+(-3)^2} = \sqrt{19} $
  • $\vec{v} = \left( \begin{array}{c} -4 \\ \sqrt{3} \\ 0{,}1 \\ \end{array}\right) \quad | \vec{v} | = \sqrt{(-4)^2+\sqrt{3}^2+0{,}1^2} = \sqrt{19{,}01} $
  • $\vec{v} = \left( \begin{array}{c} -5 \\ -1 \\ -1 \\ \end{array}\right) \quad | \vec{v} | = \sqrt{(-5)^2+(-1)^2+(-1)^2} = \sqrt{27} $
  • $\vec{v} = \left( \begin{array}{c} 4 \\ -2 \\ 3 \\ \end{array}\right) \quad | \vec{v} | = \sqrt{4^2+(-2)^2+3^2} = \sqrt{29} $

  $\,$

  Der Wert einer Wurzel ist umso größer, je größer der Radikand (Wert unter der Wurzel) ist. Daher gilt:

  $\sqrt{13} < \sqrt{17} < \sqrt{19} < \sqrt{19{,}01} < \sqrt{27} < \sqrt{29} $

  Somit können wir die Vektoren wie folgt ordnen:

  $\left| \left( \begin{array}{c} 0 \\ 3 \\ 2 \\ \end{array}\right) \right| < \left| \left( \begin{array}{c} \sqrt{2} \\ \sqrt{6} \\ 3 \\ \end{array}\right) \right| < \left| \left( \begin{array}{c} -1 \\ 3 \\ -3 \\ \end{array}\right) \right| < \left| \left( \begin{array}{c} -4 \\ \sqrt{3} \\ 0{,}1 \\ \end{array}\right) \right| < \left| \left( \begin{array}{c} -5 \\ -1 \\ -1 \\ \end{array}\right) \right| < \left| \left( \begin{array}{c} 4 \\ -2 \\ 3 \\ \end{array}\right) \right| $