Abstandsberechnung mit der Hesseschen Normalenform – Übung

Abstandsberechnung mit der Hesseschen Normalenform – Übung Übung

• Gib an, welcher Ausdruck in der Abstandsformel im Nenner steht.

  Tipps

  Mit der oben stehenden Formel kann man den Abstand eines beliebigen Punktes $Q$ zu einer Ebene berechnen.

  Überlege dir, zu welchem Vektor die Komponenten $n_{x}$ , $n_{y}$ und $n_{z}$ gehören.

  Was berechnet man mit der Formel $\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$ ?

  Lösung

  $n_{x}$ , $n_{y}$ und $n_{z}$ sind die Komponenten des Normalenvektors. Da mit der Formel $\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$ der Betrag von Vektoren berechnet wird, handelt es sich bei dem Ausdruck $\sqrt{n_{x}^2 + n_{y}^2 + n_{z}^2}$ um den Betrag des Normalenvektors.

• Bestimme, in welcher Formel die richtigen Werte in die Hessesche Normalenform eingesetzt wurden.

  Tipps

  Schaue dir noch einmal die allgemeine Abstandsformel an.

  An welchen Stellen stehen in der allgemeinen Formel die Komponenten des Normalenvektors und die Koordinaten des Punktes?

  Überprüfe, in welche der oben stehenden Formeln die Komponenten und Koordinaten richtig eingesetzt wurden.

  Lösung

  Die allgemeine Abstandsformel lautet:

  $ r = \left| \frac { n_{x} \cdot x_{Q} + n_{y} \cdot y_{Q} + n_{z} \cdot z_{Q} - d } { \sqrt { n_{x}^2 + n_{y}^2 + n_{z}^2 } } \right| $.

  Setzt man die Komponenten $n_{x}$ , $n_{y}$ und $n_{z}$ sowie $d$ und die Koordinaten des Punktes $Q$ ein, erhält man:

  $ r = \left| \frac {4 \cdot 1 - 3 \cdot 2 + 2 \cdot (-1) - 10 } { \sqrt { 4^2 + (-3)^2 + 2^2 } } \right| $.

• Berechne den Abstand zwischen der Ebene und dem Punkt.

  Tipps

  Forme die Ebenengleichung zuerst in die Koordinatenform um.

  Die Ebene lautet in der Koordinatenform:

  $E: x + 2 \cdot y + 2 \cdot z +1 = 0 $.

  Setze die Kompontenten $n_{x}$, $n_{y}$ und $n_{z}$ sowie $d$ aus der Koordinatenform und die Koordinaten des Punktes $R$ in die Abstandsformel ein.

  Lösung

  Zuerst wird die Ebene in die Koordinatenform gebracht:

  $E:~ x+2y+2z - (1-4+2)=0$

  $E:~x+2y+2z=-1$

  Nun werden die Komponenten $n_x$, $n_y$, $n_z$ und $d$ sowie die Koordinaten des Punktes $R$ in die allgemeine Abstandsformel eingesetzt:

  $r=\left|\frac{n_x\cdot x_R + n_y \cdot y_R + n_z \cdot z_R-d}{\sqrt{n_x^2 + n_y^2 + n_z^2}}\right| = \left|\frac{1\cdot 9 + 2 \cdot 4 + 2 \cdot (-3)+1}{\sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2}}\right| $.

  Es ergibt sich:

  $r=\left|\frac{9+8-6+1}{\sqrt{1+4+4}}\right| = \left|\frac{12}{3}\right|=4$.

  Die Ebene $E$ und der Punkt $R$ haben also einen Abstand $4$ LE (Längeneinheiten) voneinander.

• Bestimme die Anzahl aller Punkte $P(x|-2|z)$, die zu der Ebene den Abstand $r = 3$ haben.

  Tipps

  Setze den Punkt $P(x|-2|z)$ in die Abstandsformel ein.

  Kannst du die Aufgabe eindeutig lösen oder kannst du Parameter frei wählen?

  Wenn es freie Parameter gibt, existiert mehr als nur eine Lösung, da du mehrere Werte einsetzen kannst und die Gleichung trotzdem stimmt.

  Lösung

  Setzt du den Punkt $P(x|-2|z)$ in die Abstandsformel ein, so kannst du die Aufgabe nicht eindeutig lösen. In der Gleichung sind zwei frei wählbare Koordinaten. Du kannst beliebig viele Koordinatenpaare für $x$ und $z$ finden, so dass der Punkt $P(x|-2|z)$ den Abstand $r=3$ zu der Ebene $E$ hat.

• Vervollständige die Aussagen zur Hesseschen Normalenform.

  Tipps

  Als was kann der Betrag eines Vektors noch interpretiert werden?

  Ebenen können in Parameterform oder in einer parameterfreien Form dargestellt werden. Um welche Darstellungsform handelt es sich bei der Hesseschen Normalenform?

  Lösung

  Die Hessesche Normalenform lautet allgemein:

  $ \frac { n_{x} \cdot x_{Q} + n_{y} \cdot y_{Q} + n_{z} \cdot z_{Q} - d } { \sqrt { n_{x}^2 + n_{y}^2 + n_{z}^2 } } = 0 $ .

  Sie ist eine parameterfreie Darstellungsform für Ebenen.

  $n_{x}$ , $n_{y}$ und $n_{z}$ sind die Komponenten des Normalenvektors $\vec{n}=\left(\begin{array}{c} n_{x} \\ n_{y} \\ n_{z}\end{array}\right)$.

  Unter dem Bruchstrich steht der Betrag des Normalenvektors, also seine Länge.

  Da es unendliche viele parallele Ebenen gibt, die den Normalenvektor $\vec{n}$ und den Punkt $P(x|y|z)$ enthalten, wird mit Hilfe von $d$ die genaue Lage der Ebene angegeben.

• Berechne den Abstand der Ebenen $E_{1}$ und $E_{2}$.

  Tipps

  Was weißt du über parallele Ebenen?

  Kannst du das Problem auf ein „Abstand von Punkt und Ebene“-Problem reduzieren?

  Finde einen Punkt, der in einer der beiden Ebenen enthalten ist, und bestimme dessen Abstand von der anderen Ebene.

  Versuche es mit dem Punkt $P(2|1|3)$. Er ist ein Punkt der Ebene $E_{1}$.

  Lösung

  Gehen wir die Lösung dieses Problems schrittweise durch:

  1. Sind zwei Ebenen parallel, so ist ihr Abstand an jeder Stelle gleich groß.
  2. Das heißt, wir können einen beliebigen Punkt einer Ebene nehmen und dessen Abstand zu der anderen Ebene berechnen und erhalten dadurch den Abstand der Ebenen.
  3. Ein möglicher Punkt, der in der Ebene $E_{1}$ liegt, ist $P(2|1|3)$.
  4. Die Abstandsformel für den Abstand des Punktes $P$ von der Ebene $E_{2}$ lautet: $r = \left| \frac{-4 \cdot 1 - 2 \cdot 1 + 2 \cdot 3 -5} {\sqrt{(-4)^2 + (-2)^2 + 2^2}} \right|$
  5. Damit ergibt sich $r = \frac{9}{\sqrt{24}} \approx 1,84 $.
  6. Der Abstand $r$ der beiden Ebenen beträgt rund $1,84$ Längeneinheiten.