Geradengleichungen in der Ebene – Überblick

Geradengleichungen in der Ebene – Überblick Übung

• Beschreibe, wie man von der Parametergleichung zu der Normalengleichung kommt.

  Tipps

  Der Stützvektor kann bei der Parameter- sowie der Normalengleichung gleich gewählt werden.

  Der Richtungsvektor der Parametergleichung ist daran zu erkennen, dass er mit dem Parameter multipliziert wird.

  Es gilt: Zwei Vektoren $\vec a$ und $\vec b$ sind orthogonal zueinander, wenn ihr Skalarprodukt $\vec a\cdot \vec b$ Null ergibt.

  Der Normalenvektor $\begin{pmatrix}n_1 \\n_2 \end{pmatrix}$ steht senkrecht auf den Richtungsvektor:

  $n_1-4n_2=0$.

  Lösung

  In der Parametergleichung

  $g:\vec x=\begin{pmatrix}1 \\-1 \end{pmatrix}+t\cdot \begin{pmatrix}1 \\-4\end{pmatrix}$

  ist

  • $\begin{pmatrix}1 \\-1 \end{pmatrix}$ der Stützvektor und
  • $\begin{pmatrix}1 \\-4\end{pmatrix}$ der Richtungsvektor.

  Da der Normalenvektor senkrecht auf den Richtungsvektor steht, gilt:

  $\begin{pmatrix}n_1\\n_2 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}1 \\-4\end{pmatrix}=0$.

  Dies ist äquivalent zu $n_1-4n_2=0$. Da diese Gleichung 2 Unbekannte hat, kann eine frei gewählt werden. Sei $n_1=4$, so ist $n_2=1$. Damit ist der Normalenvektor

  $\vec n=\begin{pmatrix}4 \\1 \end{pmatrix}$

  gegeben. Die Normalengleichung lautet somit

  $g:\left[\vec x-\begin{pmatrix}1 \\-1 \end{pmatrix}\right]\cdot \begin{pmatrix}4 \\1\end{pmatrix}=0$.

• Gib die Koordinatengleichung an, die aus der Parametergleichung hergeleitet wird.

  Tipps

  Wenn du den Richtungsvektor in ein Koordinatensystem zeichnest, kannst du erkennen, dass du ein Steigungsdreieck erhältst, wobei die Katheten die Länge $v_1$ und $v_2$ haben.

  Die Steigung ist das Verhältnis von Gegenkathete zu Ankathete im Steigungsdreieck.

  Sei bei einer Koordinatengleichung die Steigung gegeben, so erhältst du den y-Achsenabschnitt, indem du einen Punkt der Geraden in der Koordinatengleichung einsetzt.

  Der Punkt $P(p_1|p_2)$ liegt auf der Geraden.

  Die Steigung ist $\frac{v_2}{v_1}$ und der y-Achsenabschnitt $p_2-p_1\cdot \frac{v_2}{v_1}$.

  Lösung

  Sei eine Gerade in Parametergleichung gegeben:

  $g:\vec x=\begin{pmatrix}p_1 \\p_2 \end{pmatrix}+t\cdot \begin{pmatrix}v_1 \\v_2\end{pmatrix}$.

  Wenn man den Richtungsvektor in ein Koordinatensystem zeichnet, kann man sehen, dass dieser mit den beiden Katheten, die die Länge der $x$- sowie $y$-Koordinate des Richtungsvektors haben, ein Steigungsdreieck bildet. Die Steigung ist das Verhältnis von Gegenkathete zu Ankathete im Steigungsdreieck. Somit ist

  $a=\frac{v_2}{v_1}$.

  Gesucht ist noch der y-Achensabschnitt. Diesen erhält man, indem man einen bekannten Punkt in die Koordinatengleichung einsetzt. Ein solcher Punkt $P$ ist durch den Stützvektor gegeben: $P(p_1|p_2)$. Setzen wir diesen in die allgemeine Koordinatengleichung $y=a\cdot x+b$ mit $a=\frac{v_2}{v_1}$ ein, so erhalten wir:

  $p_2=\frac{v_2}{v_1}\cdot p_1+b$.

  Dies ist äquivalent zu

  $b=p_2-\frac{v_2}{v_1}\cdot p_1$.

  Damit ist die Formel vollständig:

  $y=\frac {v_2}{v_1}\cdot x+p_2-p_1\cdot \frac{v_2}{v_1}$.

• Charakterisiere den zu einem gegebenen Vektor $\vec{v}$ senkrechten Vektor $\vec{n}$.

  Tipps

  Es gilt: Zwei Vektoren $\vec a$ und $\vec b$ sind orthogonal zueinander, wenn ihr Skalarprodukt $\vec a\cdot \vec b$ Null ergibt.

  Das Skalarprodukt zweier Vektoren ist definiert als

  $\begin{pmatrix}a_1 \\a_2 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}b_1\\b_2\end{pmatrix}=a_1\cdot b_1+a_2\cdot b_2$.

  Es gilt $(k\cdot \vec a)\cdot \vec b=k\cdot (\vec a \cdot \vec b)$.

  Sei $\vec a=\begin{pmatrix}a_1 \\a_2 \end{pmatrix}$ und $\vec b= \begin{pmatrix}-a_2 \\a_1\end{pmatrix}$. Berechne das Skalarprodukt der beiden Vektoren. Was kannst du feststellen?

  Lösung

  Es gilt $\vec v=\begin{pmatrix}2 \\-1 \end{pmatrix}$.

  • Die Vertauschung der Koordinaten und der Wechsel eines Vorzeichens führt zu dem Vektor $\begin{pmatrix}1 \\2\end{pmatrix}$. Das Skalarprodukt dieser beiden Vektoren ist $2\cdot 1-1\cdot 2=2-2=0$. Also steht der so erhaltene Vektor tatsächlich senkrecht auf $\vec v$.
  • Da $\vec n=\begin{pmatrix}n_1 \\n_2 \end{pmatrix}$ senkrecht auf $\vec v$ steht, gilt, dass das Skalarprodukt der beiden Vektoren $0$ sein muss, also $2n_1-n_2=0$.
  • $\begin{pmatrix}1 \\2\end{pmatrix}$ ist ein zu $\vec v$ senkrechter Vektor.

  • Es gilt $\left( k\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} \right) \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix}= k\cdot \left(\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix}\right)=k\cdot 0=0$.

  Also steht auch jedes Vielfache eines zu $\vec v$ senkrechten Vektors senkrecht auf $\vec v$.

  Dass der Normalenvektor nicht eindeutig ist, ist auch bereits daran zu erkennen, dass die Gleichung $2n_1-n_2=0$ unendlich viele Lösungen besitzt.

• Ordne den jeweiligen Geraden die beiden anderen Geradengleichungen zu.

  Tipps

  Der Richtungsvektor $\vec v$ und der Normalenvektor $\vec n$ einer Geraden stehen senkrecht aufeinander. Das heißt: $\vec v \cdot \vec n=0$.

  Die Koordinatenform lautet $g:y=ax+b$ mit Anstieg a und y-Achsenabschnitt b.

  Die Parametergleichung mit Stützvektor $\vec p$ und Richtungsvektor $\vec v$ ist folgendermaßen gegeben:

  $g:~\vec{x} = \vec{p}+t\cdot \vec{v}$

  Die Normalgleichung mit Stützvektor $\vec p$ und Normalenvektor $\vec n$ ist folgendermaßen gegeben:

  $g:~(\vec{x}-\vec{p})\cdot \vec{n} = 0$

  Lösung

  Die allgemeine Parametergleichung mit Stützvektor $\vec p$ und Richtungsvektor $\vec v$ ist folgendermaßen gegeben:

  $g:~\vec{x} = \vec{p}+t\cdot \vec{v}$.

  Sei die Gerade in Parametergleichung konkret gegeben:

  $g:\vec x=\begin{pmatrix}3 \\3 \end{pmatrix}+t\cdot \begin{pmatrix}1 \\3 \end{pmatrix}$.

  • Für die Normalengleichung $g:~(\vec{x}-\vec{p})\cdot \vec{n} = 0$ benötigt man einen Normalenvektor, welcher senkrecht auf den Richtungsvektor steht. Diesen kann man zum Beispiel erhalten, indem man die Koordinaten des Richtungsvektors tauscht und bei einer Koordinate das Vorzeichen wechselt.

  $\vec n= \begin{pmatrix}-3 \\1 \end{pmatrix}$.

  Die Normalengleichung lautet:

  $g:\left[\vec x-\begin{pmatrix}3 \\3 \end{pmatrix}\right]\cdot \begin{pmatrix}-3 \\1 \end{pmatrix}=0$.

  • Die Koordinatengleichung $g:y=ax+b$ kann mit der Formel

  $y=\frac{v_2}{v_1}\cdot x+p_2-p_1\cdot \frac{v_2}{v_1}$

  hergeleitet werden. $v_1=1$ und $v_2=-3$ sind die Koordinaten des Richtungsvektors und $p_1=3$ sowie $p_2=3$ die des Stützvektors:

  $g: y=3x-6$.

  Sei die Gerade in Normalengleichung gegeben:

  $g:\left[\vec x-\begin{pmatrix}3 \\3 \end{pmatrix}\right]\cdot \begin{pmatrix}-3 \\2 \end{pmatrix}=0$.

  • Für die Parametergleichung $g:~\vec{x} = \vec{p}+t\cdot \vec{v}$ benötigt man einen Richtungsvektor, welcher senkrecht auf den Normalenvektor steht. Also muss man bei dem Normalenvektor nur die Koordinaten vertauschen und bei einer das Vorzeichen ändern zu

  $\vec v=\begin{pmatrix}2 \\3 \end{pmatrix}$.

  Damit ist die Parametergleichung gegeben, da der Stützvektor der gleiche wie bei der Normalengleichung ist:

  $g:\vec x=\begin{pmatrix}3 \\3 \end{pmatrix}+t\cdot \begin{pmatrix}2 \\3 \end{pmatrix}$.

  • Wir formen die Normalengleichung um:

  $\vec x \cdot \begin{pmatrix}-3 \\2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3 \\3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}-3 \\2 \end{pmatrix}$

  Wenn man die Skalarprodukte ausmultipliziert, erhält man

  $\begin{align*} -3x+2y&=-3&|&+3x\\ 2y&=3x-3&|&:2\\ y&=1,5x-1,5. \end{align*}$

  Dies ist die gesuchte Koordinatengleichung.

• Ergänze die Darstellungsformen von Geraden.

  Tipps

  Die Parametergleichung heißt Parametergleichung, da in ihr ein Parameter vorkommt.

  Die Normalengleichung heißt Normalengleichung, da in ihr ein Normalenvektor vorkommt. Dieser steht senkrecht auf der Geraden.

  Es gilt: Zwei Vektoren $\vec a$ und $\vec b$ sind orthogonal zueinander, wenn ihr Skalarprodukt $\vec a\cdot \vec b$ Null ergibt.

  Die Koordinatengleichung kennst du vielleicht bereits als lineare Funktionsgleichung. Die Bezeichnung sind vollkommen identisch.

  Lösung

  Es gibt die 3 Darstellungsformen einer Geraden in der Ebene:

  Parametergleichung

  $g:\vec x=\vec p+t\cdot \vec v$, dabei ist

  • $\vec p$ der Stützvektor
  • $t$ der Parameter und
  • $\vec v$ der Richtungsvektor der Geraden.

  Normalengleichung

  $g:[\vec x-\vec p]\cdot \vec n=0$, dabei ist

  • $\vec p$ der Stützvektor und
  • $\vec n$ der Normalenvektor der Geraden. Dieser steht senkrecht auf der Geraden, also orthogonal auf dem Richtungsvektor der Geraden.

  Koordinatengleichung

  $g:y=ax+b$, dabei ist

  • $a$ die Steigung und
  • $b$ der y-Achsenabschnitt der Geraden.

  Diese Darstellung ist vielleicht bereits bekannt als lineare Funktion mit den entsprechenden Bezeichnungen.

• Leite die Koordinatengleichung einer Geraden durch zwei vorgegebene Punkte her.

  Tipps

  Stelle zunächst die Parametergleichung $g:~\vec{x}=\vec{p}+t\cdot \vec{v}$ der Geraden auf.

  Der Ortsvektor von einem der beiden Punkte ist der Stützvektor der Geraden.

  Der Verbindungsvektor $\vec{AB}$ ist der Richtungsvektor der Geraden.

  1. Methode: Man kann die Normalengleichung herleiten und damit die Koordinatengleichung.

  Der Normalenvektor $\vec n=\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \end{pmatrix}$ steht senkrecht auf den Richtungsvektor.

  Ein möglicher Normalenvektor ist $\vec n=\begin{pmatrix} 1 \\ -4 \end{pmatrix}$.

  2.Methode: Verwende die Formel $y=\frac{v_2}{v_1}\cdot x+p_2-p_1\cdot \frac{v_2}{v_1}$, wobei $v_1$ und $v_2$ die Koordinaten des Richtungsvektors und $p_1$ sowie $p_2$ die Koordinaten des Stützvektors sind.

  Lösung

  Zunächst muss man eine Parametergleichung der Geraden aufstellen. Dafür benötigt man

  • einen Stützvektor $\vec{p}=\begin{pmatrix} p_1 \\ p_2 \end{pmatrix}$: Dies ist zum Beispiel der Ortsvektor $\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \end{pmatrix}$ des Punktes $A$.
  • und einen Richtungsvektor $\vec{v}=\begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \end{pmatrix}$. Dies ist der Verbindungsvektor $\vec{AB}=\begin{pmatrix} 4 \\ 1 \end{pmatrix}$.

  Entweder kann man nun die Normalengleichung herleiten und damit die Koordinatengleichung oder man verwendet die Formel:

  $y=\frac{v_2}{v_1}\cdot x+p_2-p_1\cdot \frac{v_2}{v_1}$,

  wobei $v_1=4$ und $v_2=1$ die Koordinaten des Richtungsvektors und $p_1=2$ sowie $p_2=2$ die Koordinaten des Stützvektors sind.

  Unter Verwendung der Formel erhält man:

  • $a=\frac{v_2}{v_1}=\frac14=0,25$ und
  • $b=p_2-p_1\cdot \frac{v_2}{v_1}=2-2\cdot 0,25=2-0,5=1,5$.

  Die Koordinatengleichung lautet $g:y=0,25x+1,5$.