Determinante berechnen

Determinante einer Matrix

Anhand der Determinante kannst du direkt ablesen, ob eine Matrix $A$ invertierbar ist:

• Hat die Determinante von $A$ den Wert $0$ so ist die Matrix nicht invertierbar.
• Gilt dagegen $\text{det}(A) \neq 0$, so kann die Inverse $A^{-1}$ gebildet werden.

Im Folgenden betrachten wir Möglichkeiten zur Berechnung der Determinante. Außerdem zeigen wir dir, wo du die Determinante in Mathe anwenden kannst.

Determinante – Eigenschaften und Rechenregeln

Für die Determinante einer $n{\times}n$-Matrix $A$ gilt:

• Determinante der Transponierten $A^{\text{T}}$ (Zeilen und Spalten vertauscht):
  $\text{det}(A^{\text{T}})$ = $\text{det}(A)$
• Determinante der Inversen $A^{-1}$:
  $\text{det}(A^{-1}) = \dfrac{1}{\text{det}(A)}$
• Determinante des Produkts mit einem Skalar $a \in \mathbb{R}$:
  $\text{det}(a \cdot A) = a^n \cdot \text{det}(A)$
• Determinante des Produkts mit einer $n{\times}n$-Matrix $B$:
  $\text{det}(A \cdot B) = \text{det}(A) \cdot \text{det}(B)$
• Bei Vertauschung von zwei Zeilen oder Spalten ändert sich lediglich das Vorzeichen der Determinante.
• Wird eine einzelne Zeile oder Spalte der Matrix mit einem Faktor $a \in \mathbb{R}$ multipliziert, so ändert sich auch die Determinante um diesen Faktor.
• Bei Addition eines Vielfachen einer Zeile oder Spalte zu einer anderen Zeile oder Spalte bleibt der Wert der Determinante unverändert.

Determinante berechnen

Je nach Dimension einer quadratischen Matrix gibt es verschiedene Möglichkeiten die Determinante zu berechnen.

Hat eine Matrix nur einen Eintrag, so entspricht dieser auch dem Wert der Determinante:

Für $A = \begin{pmatrix} a \end{pmatrix}$ ist $\text{det}(A) = a$.

Determinante einer $2{\times}2$-Matrix

Formel für die Determinante einer $2{\times}2$-Matrix:

$\text{det}\begin{pmatrix} a& b \\c&d \end{pmatrix}=\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = a \cdot d - c \cdot b$

Lass uns dies einmal an einem Beispiel üben.

$\begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 4 & -1 \end{vmatrix} = 2\cdot ({-}1)-4\cdot 3=-2-12=-14$

Übrigens ist die Determinante einer Matrix $0$, wenn eine Zeile ein Vielfaches der anderen ist. Hier ein Beispiel:

$\begin{vmatrix} 2 & 4 \\ -1 & -2 \end{vmatrix} = 2\cdot ({-}2) - ({-}1) \cdot 4 = -4 - ({-}4) = -4 + 4 = 0$

Determinante einer $3{\times}3$-Matrix

Auch zur Berechnung der Determinante einer $3{\times}3$-Matrix verwendest du die Haupt- und Nebendiagonalen der Matrix. Die Regel ist nach dem französischen Mathematiker Pierre Frédéric Sarrus benannt.

Regel von Sarrus – Formel

$\begin{array}{rccccccc} \begin{array}{|ccc|cc} a & b & c & \color{dodgerblue}{a} & \color{dodgerblue}{b} \\ d & e & f & \color{dodgerblue}{d} & \color{dodgerblue}{e} \\ g & h & i & \color{dodgerblue}{g} & \color{dodgerblue}{h} \end{array} & = && a \cdot e \cdot i &+& b \cdot f \cdot g &+& c \cdot d \cdot h \\ &&-& g \cdot e \cdot c &-& h \cdot f \cdot a &-& i \cdot d \cdot b \end{array}$

Wir berechnen zwei Beispiele mit Hilfe der Regel:

$\begin{array}{rrcl} \bullet & \begin{array}{|rrr|rr} 2 & 5 & -1 & \color{dodgerblue}{2} & \color{dodgerblue}{5} \\ -3 & 1 & 0 & \color{dodgerblue}{-3} & \color{dodgerblue}{1} \\ 4 & -2 & 2 & \color{dodgerblue}{4} & \color{dodgerblue}{-2} \end{array} & = & 2 \cdot 1 \cdot 2 + 5 \cdot 0 \cdot 4 + ({-}1) \cdot ({-}3) \cdot ({-}2) \\ &&& - 4 \cdot 1 \cdot ({-}1) - ({-}2) \cdot 0 \cdot 2 - 2 \cdot ({-}3) \cdot 5 \\ \\ && = & 4 + 0 + ({-}6) - ({-}4) - 0 - ({-}30) \\ \\ && = & \underline{\underline{32}} \end{array}$

$\begin{array}{rrcl} \bullet & \begin{array}{|rrr|rr} 3 & -1 & 2 & \color{dodgerblue}{3} & \color{dodgerblue}{-1} \\ 1 & 1 & 2 & \color{dodgerblue}{1} & \color{dodgerblue}{1} \\ 2 & 1 & -1 & \color{dodgerblue}{2} & \color{dodgerblue}{1} \end{array} &=& 3\cdot 1\cdot (-1) + ({-}1) \cdot 2 \cdot 2 + 2 \cdot 1\cdot 1 \\ &&& - 2 \cdot 1 \cdot 2 - 1 \cdot 2 \cdot 3 - ({-}1) \cdot 1 \cdot ({-}1) \\ \\ &&=& -3 - 4 + 2 - 4 - 6 - 1 \\ \\ &&=& \underline{\underline{-16}} \end{array}$

Determinante einer $n{\times}n$-Matrix

Die Determinante einer $n{\times}n$-Matrix kann ganz allgemein auch mit dem Laplace'schen Entwicklungssatz berechnet werden. Dabei wird die Determinante entweder spalten- oder zeilenweise entwickelt.

Zum Beispiel kannst du die Determinante der zweiten $3{\times}3$-Matrix von oben auch mit der ersten Spalte entwickeln:

• Du multiplizierst das $(-1)^{i+1}$-fache des Elementes in der $i$-ten Zeile und ersten Spalte mit der Determinante der Untermatrix, welche entsteht, wenn du aus der Ausgangsmatrix die $i$-te Zeile und erste Spalte streichst.
• Dieses Produkt berechnest du für jedes Element in der ersten Spalte und
• addierst die Produkte.

$\begin{vmatrix} \color{gold}{3} & -1 & 2 \\ \color{gold}{1} & 1 & 2 \\ \color{gold}{2} & 1 & -1 \end{vmatrix}$ $\begin{array}{rcl} \\ & = & ({-}1)^{1+1} \cdot \color{gold}{3} \color{#666666}{~\cdot~} \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} + ({-}1)^{2+1} \cdot \color{gold}{1} \color{#666666}{~\cdot~} \begin{vmatrix} -1 & 2 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} + ({-}1)^{3+1} \cdot \color{gold}{2} \color{#666666}{~\cdot~} \begin{vmatrix} -1 & 2 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} \\ \\ &=& 3 \cdot ({-}1-2) -1 \cdot (1-2) + 2 \cdot ({-}2-2) \\ \\ &=& -9 + 1 - 8 \\ \\ &=& \underline{\underline{-16}} \end{array}$

Wie du siehst, erhalten wir den gleichen Wert für die Determinante.

So reduzierst du die Berechnung der Determinante einer $n{\times}n$-Matrix in $n - 2$ Schritten auf die Berechnung der Determinante einer $2{\times}2$-Matrix.

Determinante – Anwendung

Im Folgenden betrachten wir die wichtigsten Anwendungen der Determinante.

Flächenberechnung mit Determinante

Du kannst durch die Berechnung der Determinante einer $2{\times}2$-Matrix die Fläche einer ebenen Figur berechnen.

Flächeninhalt Parallelogramm – Herleitung

Um zu verstehen, wie wir die Determinante und der Flächeninhalt eines Parallelogramms zusammenhängen, betrachten wir die folgende Abbildung:

Wir wollen den Flächeninhalt $A$ des Parallelogramms $ABCD$ bestimmen. Es wird durch die zwei Vektoren $\vec{a} = \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$ und $\vec{b} = \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}$ aufgespannt. Die beiden Vektoren können wir in der Komponentenschreibweise auch folgendermaßen aufschreiben:

$\vec{a} = \begin{pmatrix} a_x \\ a_y \end{pmatrix} \quad$ und $\quad \vec{b} = \begin{pmatrix} b_x \\ b_y \end{pmatrix}$

Wenn wir ein Rechteck mit den Eckpunkten $A$, $E$, $C$ und $F$ um das Parallelogramm zeichnen, können wir die Seiten des Rechtecks jeweils als Summe der Komponenten der Vektoren darstellen. Die Seite $\overline{AF}$ setzt sich beispielsweise aus den Komponenten $b_y$ und $a_y$ zusammen.

Mit den eingezeichneten Vektorkomponenten ergeben sich sechs weitere, kleine Flächen, die das Parallelogramm umgeben. Um die Fläche des Parallelogramms zu bestimmen, können wir daher die Gesamtfläche des Rechtecks $A_{\text{Ges}}$ berechnen und diese sechs Flächen abziehen.

Die Fläche des Rechtecks berechnen wir folgendermaßen:

$\begin{array}{rcl} A_{\text{Ges}} &=& (a_x + b_x) \cdot (a_y + b_y) \\ \\ &=& a_x \cdot a_y + a_x \cdot b_y + b_x \cdot a_y + b_x \cdot b_y \end{array}$

Um die Fläche des Parallelogramms zu erhalten, müssen wir jetzt die sechs kleineren Flächen abziehen. Zunächst betrachten wir das blau schraffierte rechtwinklige Dreieck. Seine Katheten haben die Längen $b_y$ und $b_x$. Das Dreieck hat damit die Fläche:

• $A_{\color{blue}{\triangle}} = \frac{1}{2} \cdot b_y \cdot b_x$

Das gelb schraffierte Dreieck hat Katheten der Länge $a_y$ und $a_x$ und die Fläche:

• $A_{\color{gold}{\triangle}} = \frac{1}{2} \cdot a_y \cdot a_x$

Das rot schraffierte, kleine Rechteck hat die Seitenlängen $a_y$ und $b_x$ und folglich den Flächeninhalt:

• $A_{\color{red}{\square}} = a_y \cdot b_x$

Da die zwei Dreiecke und das Rechteck unter dem Parallelogramm exakt dieselben Maße haben und lediglich gespiegelt sind, müssen wir die drei so bestimmten Flächeninhalten jeweils zweimal abziehen:

$A_{\text{Parallelogramm}} = A_{\text{Ges}} - 2 \cdot A_{\color{blue}{\triangle}} - 2 \cdot A_{\color{gold}{\triangle}} - 2 \cdot A_{\color{red}{\square}}$

Wir setzten ein und fassen gleichnamige Terme zusammen:

$\begin{array}{rcl} A_{\text{Parallelogramm}} &=& a_x \cdot a_y + a_x \cdot b_y + b_x \cdot a_y + b_x \cdot b_y - b_y \cdot b_x - a_y \cdot a_x - 2 \cdot a_y \cdot b_x \\ &=& a_x \cdot a_y - a_x \cdot a_y + a_x \cdot b_y + b_x \cdot b_y - b_x \cdot b_y + a_y \cdot b_x - 2 \cdot a_y \cdot b_x \\ &=& a_x \cdot b_y - a_y \cdot b_x \end{array}$

Weil mehrere Terme sowohl mit positivem als auch negativem Vorzeichen auftreten, addieren sie sich zu null und fallen weg. Wir erhalten somit:

$A_{\text{Parallelogramm}} = a_x \cdot b_y - a_y \cdot b_x$

Das entspricht der Determinante einer $2{\times}2$-Matrix:

$A_{\text{Parallelogramm}} = \text{det}\begin{pmatrix} a_x & b_x \\ a_y & b_y \end{pmatrix} = a_x \cdot b_y - a_y \cdot b_x$

Die Matrix $\begin{pmatrix} a_x & b_x \\ a_y & b_y \end{pmatrix}$ enthält die Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$, die den Seiten des Parallelogramms entsprechen, als Spalten. Die Determinante ist aber nur dann gleich dem Flächeninhalt des von den Vektoren aufgespannten Parallelogramms, wenn zwei Bedingungen erfüllt sind:

• Die beiden Vektoren müssen denselben Fußpunkt haben.
• Der Vektor in der ersten Spalte der Matrix muss – in der Zeichnung gegen den Uhrzeigersinn zu dem Vektor der zweiten Spalte gedreht – die Fläche des Parallelogramms überstreichen.

Sind diese Bedingungen nicht erfüllt, kann man die Determinante zwar trotzdem berechnen, sie kann aber einen negativen Wert liefern, der dann im Betrag dem Flächeninhalt des Parallelogramms entspricht.

Flächeninhalt Dreieck

Wenn du ein Dreieck an einer seiner Seiten spiegelt, erhältst du ein Parallelogramm, dessen Flächeninhalt genau doppelt so groß ist, wie der des Dreiecks. Entsprechend hat das Dreieck genau den halben Flächeninhalt des Parallelogramms. Wir können also auch hier die Formel für den Flächeninhalt eines Parallelogramms mit der Determinante aus dem letzten Kapitel nutzen.

$A_{\text{Dreieck}} = \dfrac{1}{2} \cdot \left\vert\text{det}\begin{pmatrix} a_x & b_x \\ a_y & b_y \end{pmatrix}\right\vert = \dfrac{1}{2} \cdot \vert a_x \cdot b_y - a_y \cdot b_x \vert$

Auch hier sind die Koeffizienten der Matrix die Einträge von Vektoren, die Seiten des Dreiecks beschreiben.

Volumenberechnung mit Determinante

Ein Spat oder auch Parallelepiped ist ein geometrischer Körper. Die begrenzenden Flächen sind paarweise kongruente, in parallelen Ebenen liegende Parallelogramme. Hier siehst du einen Spat.

Dieser Spat wird von den drei Vektoren $\vec a$, $\vec b$ und $\vec c$ aus dem $\mathbb{R}^3$ aufgespannt.

Das Volumen eines solchen Spats ist gegeben durch das Spatprodukt:

$V_{\text{Spat}}=\left|\left(\vec a\times\vec b\right)\cdot \vec c \right| $

Dieses Spatprodukt ist der Betrag der Determinante der $3{\times}3$-Matrix, welche entsteht, wenn du die drei Vektoren $\vec a$, $\vec b$ und $\vec c$ nebeneinander schreibst.

Gleichungssysteme lösen mit Determinante

Mit Hilfe der Cramerschen Regel kannst du lineare Gleichungssysteme lösen. Dies ist hier am Beispiel eines Gleichungssystems mit zwei Gleichungen und zwei Unbekannten zu sehen.

$\begin{array}{rcrcr} 2x&-&3y&=&7\\ x&+&4y&=&-2 \end{array}$

$~~$

• Zuerst stellst du die Koeffizientenmatrix $A$ dieser Gleichung auf. Diese erhältst du, indem du die Koeffizienten der Unbekannten in einer $2{\times}2$-Matrix aufschreibst. Von dieser Matrix berechnest du die Determinante.

$\quad~~~\text{det}(A)=\begin{vmatrix} 2 & -3 \\ 1 & 4 \end{vmatrix} = 8-({-}3) = 11$

• Zur Berechnung der Lösung für $x$ ersetzt du in der Koeffizientenmatrix die entsprechende, also die erste, Spalte durch die rechte Seite der Gleichung und berechnest von der so erhaltenen Matrix $A_x$ wieder die Determinante.

$\quad~~~\text{det}(A_x) = \begin{vmatrix} 7 & -3 \\ -2 & 4 \end{vmatrix} = 28-6 =22$

• Nun kannst du $x$ berechnen. Du dividierst dazu die berechneten Determinanten.

$\quad~~~x=\dfrac{\text{det}(A_x)}{\text{det}(A)}=\dfrac{22}{11}=2$

• Ebenso kannst du die Lösung für $y$ ermitteln. Dieses Mal ersetzt du in der Koeffizientenmatrix die zweite Spalte ($y$-Spalte) durch die rechte Seite der Gleichung und berechnest die Determinante.

$\quad~~~\text{det}(A_y) = \begin{vmatrix} 2 & 7 \\ 1 & -2 \end{vmatrix} = -11$

• Du erhältst für $y$ als Quotient der Determinanten:

$\quad~~~y=\dfrac{\text{det}(A_y)}{\text{det}(A)}=\dfrac{-11}{11}=-1$

Abhängigkeit von Vektoren prüfen mit Determinante

Eine weitere Anwendung findet die Determinante, wenn du Vektoren auf lineare Unabhängigkeit prüfen möchtest. Sind Vektoren linear abhängig, so ist dies gleichbedeutend damit, dass sich einer der Vektoren als Linearkombination der anderen Vektoren schreiben lässt.

Zur Überprüfung schreibst du die Vektoren nebeneinander in eine Matrix und berechnest die Determinante.
Sind die Vektoren linear abhängig, so ergibt sich für die Determinante der Wert $0$. Umgekehrt weißt du, dass bei einer Ergebnis ungleich $0$ die Vektoren linear unabhängig sind.

Ausblick – das lernst du nach Determinante berechnen

Als nächstes kommen die Themen Cramersche Regel und Inverse Matrizen auf dich zu. Erweitere dein Wissen mit dem Thema Eigenwerten und Eigenvektoren und entdecke wie lineare Abbildungen mit Matrizen zusammenhängen.

Häufig gestellte Fragen zum Thema Determinante

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