Kreuzprodukt – Definition

Kreuzprodukt – Definition Übung

• Definiere das Vektorprodukt.

  Tipps

  Du kannst die Vektoren zweimal untereinander schreiben und die erste und letzte Zeile streichen:

  $\begin{array}{c} \not{a_{1}}\\ a_2\\ a_3\\ a_1\\ a_2\\ \not{a_3} \end{array} \begin{array}{c} \times\\ \times\\ \times \end{array} \begin{array}{c} \not{b_1} \\ b_2\\ b_3\\ b_1\\ b_2\\ \not{b_3} \end{array}$

  Zunächst werden die zweite und dritte Koordinate über Kreuz multipliziert und die Produkte subtrahiert, dann die dritte und erste und zuletzt die erste und zweite.

  Lösung

  Das Vektorprodukt ist wie folgt definiert:

  $\begin{pmatrix} a_1 \\ a_2\\ a_3 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2\\ b_3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a_2\cdot b_3-a_3\cdot b_2 \\ a_3\cdot b_1-a_1\cdot b_3 \\ a_1\cdot b_2-a_2\cdot b_1 \end{pmatrix}$.

  Diese Definition kann man sich wie folgt einprägen:

  $\begin{array}{c} \not{a_1}\\ a_2\\ a_3\\ a_1\\ a_2\\ \not{a_3} \end{array} \begin{array}{c} \times\\ \times\\ \times \end{array} \begin{array}{c} \not{b_1} \\ b_2\\ b_3\\ b_1\\ b_2\\ \not{b_3} \end{array}=\begin{pmatrix} a_2\cdot b_3-a_3\cdot b_2 \\ a_3\cdot b_1-a_1\cdot b_3 \\ a_1\cdot b_2-a_2\cdot b_1 \end{pmatrix}$

  Das bedeutet,

  • man schreibt den jeweiligen Vektor zweimal übereinander und
  • streicht die erste und letzte Zeile.
  • Nun werden immer über Kreuz die Koordinaten multipliziert und subtrahiert.

• Berechne das Vektorprodukt.

  Tipps

  Das Vektorprodukt ist definiert als:

  $\begin{pmatrix} a_1 \\ a_2\\ a_3 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2\\ b_3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a_2\cdot b_3-a_3\cdot b_2 \\ a_3\cdot b_1-a_1\cdot b_3 \\ a_1\cdot b_2-a_2\cdot b_1 \end{pmatrix}$

  Schreibe negative Werte immer in Klammern.

  Lösung

  Das Vektorprodukt ist wie folgt definiert:

  $\begin{pmatrix} a_1 \\ a_2\\ a_3 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2\\ b_3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a_2\cdot b_3-a_3\cdot b_2 \\ a_3\cdot b_1-a_1\cdot b_3 \\ a_1\cdot b_2-a_2\cdot b_1 \end{pmatrix}$.

  Nun muss man die Vektoren ersetzen:

  $\begin{pmatrix} 1 \\-2\\3 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 2 \\ 0\\-2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} (-2)\cdot (-2)-3\cdot 0 \\ 3\cdot 2-1\cdot (-2) \\ 1\cdot 0-(-2)\cdot 2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 4 \\ 8\\ 4 \end{pmatrix}$.

• Prüfe, welcher Vektor orthogonal zu einem der vorgegebenen Vektoren ist.

  Tipps

  Zwei Vektoren sind orthogonal, bedeutet:

  $\vec u \perp \vec \Leftrightarrow \vec u \cdot \vec v=0$.

  Das Skalarprodukt zweier Vektoren ist wie folgt definiert:

  $\begin{pmatrix} u_1 \\ u_2\\ u_3 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2\\ v_3 \end{pmatrix} =u_1\cdot v_1+u_2\cdot v_2+u_3\cdot v_3$.

  Du kannst einen zu einem Vektor senkrechten Vektor finden, indem du eine Koordinate auf $0$ setzt, die beiden anderen Koordinaten vertauschst und bei einer Koordinate das Vorzeichen wechselst.

  Zum Beispiel:

  $\vec v=\begin{pmatrix} 1 \\ 2\\ 3 \end{pmatrix}$,

  dann steht der Vektor

  $\vec u=\begin{pmatrix} 0 \\ 3\\ -2 \end{pmatrix}$

  senkrecht auf $\vec v$.

  Wenn ein Vektor $\vec v$ senkrecht auf den Vektor $\vec u$ steht, so steht auch jedes Vielfache von $\vec v$ senkrecht auf $\vec u$.

  Ein Vektor steht weder auf $\vec a$ noch auf $\vec b$ senkrecht.

  Lösung

  Um zu überprüfen, ob zwei Vektoren orthogonal sind, berechnet man das Skalarprodukt. Dieses muss $0$ sein.

  (1)

  $\begin{pmatrix} 1 \\ 1\\ 2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ -2\\ 1 \end{pmatrix}=1\cdot 0+1\cdot(-2)+2\cdot 1=0$.

  Bei diesen beiden Vektoren kann man erkennen, dass der zweite aus dem ersten hervorgeht durch

  • erste Koordinate gleich $0$ setzen,
  • Vertauschen der zweiten und dritten Koordinate sowie
  • Vertauschen des Vorzeichens in der zweiten Koordinate.

  (2)

  $\begin{pmatrix} 3 \\-2\\ -1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1\\ 1 \end{pmatrix}=3\cdot 1+(-2)\cdot1+(-1)\cdot 1=0$.

  (3)

  $\begin{pmatrix} 1 \\ 1\\ 2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1\\ 0 \end{pmatrix}\neq0$ und

  $\begin{pmatrix} 3 \\ -2\\ -1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1\\ 0 \end{pmatrix}\neq0$.

  (4)

  $\begin{pmatrix} 1 \\ 1\\ 2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ -3\\ 0 \end{pmatrix}=1\cdot (-3)+1\cdot(-3)+2\cdot 0=0$.

  (5)

  $\begin{pmatrix} 3 \\-2\\ -1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 3\\ 0 \end{pmatrix}=3\cdot 2+(-2)\cdot3+(-1)\cdot 0=0$.

• Bestimme einen zu den beiden Vektoren senkrechten Vektor durch das Vektorprodukt.

  Tipps

  Beachte:

  • das Vektorprodukt zweier Vektoren ist eindeutig,
  • ein zu zwei Vektoren orthogonaler Vektor ist nicht eindeutig, da jedes beliebige Vielfache des orthogonalen Vektors auch wieder orthogonal ist.

  Es genügt nicht zu überprüfen, welcher Vektor orthogonal zu den beiden vorgegebenen Vektoren ist.

  Es gilt $\vec a \times \vec b=-\vec b \times \vec a$.

  Lösung

  Das Vektorprodukt ist wie folgt definiert:

  $\begin{pmatrix} a_1 \\ a_2\\ a_3 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2\\ b_3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a_2\cdot b_3-a_3\cdot b_2 \\ a_3\cdot b_1-a_1\cdot b_3 \\ a_1\cdot b_2-a_2\cdot b_1 \end{pmatrix}$.

  Das Ergebnis des Vektorproduktes ist eindeutig. Wird die Reihenfolge der Multiplikation vertauscht, so ändert sich das Vorzeichen in jeder Koordinate des Vektors.

  Nun muss man die Vektoren ersetzen:

  $\begin{pmatrix} 1 \\1\\2 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 3 \\ -2\\-1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1\cdot (-1)-2\cdot (-2) \\ 2\cdot 3-1\cdot (-1) \\ 1\cdot (-2)-1\cdot 3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3\\ 7\\ -5 \end{pmatrix}$.

  Ob der gefundene Vektor tatsächlich orthogonal zu den beiden Vektoren steht, kann mit dem Skalarprodukt überprüft werden.

  $\begin{pmatrix} 1 \\1\\2 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 3\\ 7\\ -5 \end{pmatrix}=1\cdot 3+1\cdot 7+2\cdot (-5)=0~\surd$.

  $\begin{pmatrix} 3 \\-2\\-1 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 3\\ 7\\ -5 \end{pmatrix}=3\cdot 3+(-2)\cdot 7+(-1)\cdot (-5)=0~\surd$.

• Ergänze die Bedeutung des Vektorproduktes.

  Tipps

  Das Vektorprodukt von $\vec a=\begin{pmatrix} 1 \\ 1\\ 1 \end{pmatrix}$ sowie $\vec b=\begin{pmatrix} 1 \\ 0\\ 2 \end{pmatrix}$ ist $\vec n=\begin{pmatrix} 2 \\ -1\\ -1 \end{pmatrix}$.

  Das Skalarprodukt zweier Vektoren liefert eine Zahl, einen Skalar.

  Zwei Vektoren sind orthogonal, wenn ihr Skalarprodukt $0$ ist.

  Lösung

  Wenn man zu zwei gegebenen Vektoren einen Vektor finden muss, welcher senkrecht, das heißt orthogonal, zu den beiden Vektoren steht, so kann man dies durch Lösen von Gleichungen tun.

  Dies geht einfacher: mit dem Vektorprodukt.

  Das Vektorprodukt zweier Vektoren, $\vec a$ und $\vec b$, liefert einen Vektor, $\vec n$, im Gegensatz zu dem Skalarprodukt, welches einen Skalar liefert.

  Dieser Vektor ist orthogonal zu den beiden Vektoren, welche multipliziert werden. Das heißt:

  • $\vec n \perp \vec a$ und
  • $\vec n \perp \vec b$.

  Das Vektorprodukt entspricht außerdem dem Flächeninhalt des Parallelogramms, welches durch die beiden Vektoren und deren Gegenvektoren aufgespannt wird.

• Berechne das Vektorprodukt der beiden Vektoren.

  Tipps

  Das Vektorprodukt ist wie folgt definiert:

  $\begin{pmatrix} a_1 \\ a_2\\ a_3 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2\\ b_3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a_2\cdot b_3-a_3\cdot b_2 \\ a_3\cdot b_1-a_1\cdot b_3 \\ a_1\cdot b_2-a_2\cdot b_1 \end{pmatrix}$.

  Du kannst überprüfen, ob dein Ergebnis stimmt: Das Skalarprodukt des Ergebnisvektors mit jedem der beiden multiplizierten Vektoren muss $0$ sein.

  Lösung

  Unter Verwendung der Definition des Vektorproduktes

  $\begin{pmatrix} a_1 \\ a_2\\ a_3 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2\\ b_3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a_2\cdot b_3-a_3\cdot b_2 \\ a_3\cdot b_1-a_1\cdot b_3 \\ a_1\cdot b_2-a_2\cdot b_1 \end{pmatrix}$

  erhält man die folgende Rechnung.

  $\begin{pmatrix} 0 \\ 11\\ 3 \end{pmatrix}\times\begin{pmatrix} 5 \\ -1\\ 3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 11\cdot3-3\cdot(-1) \\ 3\cdot 5-0\cdot 3\\ 0\cdot(-1)-11\cdot 5 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 36 \\ 15 \\ -55 \end{pmatrix}$