Anwendung des Kreuzprodukts

Anwendung des Kreuzprodukts Übung

• Bestimme die Vektoren, deren Vektorprodukt für die Flächenberechnung des Parallelogramms berechnet werden muss.

  Tipps

  Schau dir die Skizze genau an.

  Welche Bedeutung hat der Vektor $\vec a$ und welche der Vektor $\vec b$.

  Der Ortsvektor eines Punktes $P(p_1|p_2|p_3)$ ist der Vektor $\vec p=\begin{pmatrix} p_1 \\ p_2\\ p_3 \end{pmatrix}$.

  Der Verbindungsvektor zweier Punkte $P$ und $Q$ ist die Differenz vom Ortsvektor des Endpunktes und dem des Anfangspunktes:

  $\vec{PQ}=\begin{pmatrix} q_1-p_1 \\ q_2-p_2\\ q_3-p_3 \end{pmatrix}$.

  Lösung

  Zur Berechnung des Flächeninhaltes des durch die Punkte $A$, $B$, $C$ und $D$ gegebenen Parallelogramms benötigt man die beiden in der Skizze zu erkennenden Vektoren $\vec a$ sowie $\vec b$.

  Es gilt

  $\vec a=\vec{AD}=\vec{BC}=\vec d -\vec a=\begin{pmatrix} -8 \\ 3\\ 1 \end{pmatrix}$

  sowie

  $\vec b=\vec{AB}=\vec{DC}=\vec b -\vec a=\begin{pmatrix} 2 \\ 2\\ 1 \end{pmatrix}$.

• Berechne den Flächeninhalt des Parallelogramms.

  Tipps

  Du kannst die folgende Merkregel zur Berechnung des Vektorproduktes verwenden:

  Schreibe die Vektoren zweimal untereinander und streiche die erste und letzte Zeile:

  $\begin{array}{c} \not{a_1}\\ a_2\\ a_3\\ a_1\\ a_2\\ \not{a_3} \end{array} \begin{array}{c} \times\\ \times\\ \times \end{array} \begin{array}{c} \not{b_1} \\ b_2\\ b_3\\ b_1\\ b_2\\ \not{b_3} \end{array}$

  Nun kannst du jeweils über Kreuz multiplizieren und die Differenz der Produkte bilden.

  Der Betrag, oder die Länge eines Vektors $\vec u$ ist wie folgt definiert:

  $\left| \vec u \right|=\sqrt{u_1^2+u_2^2+u_3^2}$.

  Lösung

  Es gilt $\vec a=\begin{pmatrix} -8 \\ 3\\ 1 \end{pmatrix}$ und $\vec b=\begin{pmatrix} 2 \\ 2\\ 1 \end{pmatrix}$.

  Die Formel zur Berechnung des Flächeninhaltes des Parallelogramms, welches von diesen beiden Vektoren aufgespannt wird, lautet:

  $A_P=\left| \begin{pmatrix} 2 \\ 2\\ 1 \end{pmatrix}\times\begin{pmatrix} -8 \\ 3\\ 1 \end{pmatrix}\right|$.

  Es muss also das Vektorprodukt der beiden Vektoren $\vec a$ und $\vec b$ gebildet werden.

  Dafür kann man eine Merkregel verwenden:

  • Schreibe die Vektoren jeweils zweimal untereinander,
  • streiche die erste und letzte Zeile,
  • multipliziere über Kreuz und subtrahiere die Produkte:

  $\begin{array}{c} \not{2}\\ 2\\ 1\\ 2\\ 2\\ \not{1} \end{array} \begin{array}{c} \times\\ \times\\ \times \end{array} \begin{array}{c} \not{-8} \\ 3\\ 1\\ -8\\ 3\\ \not{1} \end{array}=\begin{pmatrix} 2\cdot 1-1\cdot 3 \\ 1\cdot (-8)-2\cdot 1 \\ 2\cdot 3-2\cdot (-8) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -1 \\ -10\\ 22 \end{pmatrix}$.

  Von diesem Vektor muss die Länge berechnet werden:

  $A_P=\left|\begin{pmatrix} -1 \\ -10\\ 22 \end{pmatrix}\right|=\sqrt{(-1)^2+(-10)^2+22^2}=\sqrt{585}\approx24,19\text{ [FE]}$.

• Bestimme das Volumen des Spats.

  Tipps

  • $\times$ steht für das Vektorprodukt: das Ergebnis ist ein Vektor und
  • $\cdot$ steht für das Skalarprodukt: das Ergebnis ist eine Zahl.

  Das Skalarprodukt zweier Vektoren $\vec u$ und $\vec v$ ist wie folgt definiert:

  $\vec u\cdot \vec v=u_1\cdot v_1+u_2\cdot v_2+u_3\cdot v_3$.

  Die erste Koordinate des Vektorproduktes berechnet sich wie folgt:

  $-2\cdot 0-5\cdot 2$.

  Lösung

  Das Volumen eines Spats lässt sich mit dem Betrag des Spatprodukts der Vektoren berechnen, welche das Spat aufspannen.

  Das Spatprodukt dreier Vektoren $\vec a$, $\vec b$ und $\vec c$ ist wie folgt definiert:

  $\left(\vec a \times \vec b\right)\cdot \vec c$.

  Die Rechnung ist in dem Bild zu sehen.

  Zunächst muss das Vektorprodukt der beiden ersten Vektoren berechnet werden:

  $\begin{pmatrix} 3\\ -2\\ 5 \end{pmatrix}\times\begin{pmatrix} 2\\ 2\\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} (-2)\cdot0-5\cdot2 \\ 5\cdot 2-3\cdot 0\\ 3\cdot2-(-2)\cdot 2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -10 \\ 10 \\ 10 \end{pmatrix}$.

  Dieser Vektor wird nun mit dem dritten Vektor multipliziert. Bei dieser Multiplikation handelt es sich um das Skalarprodukt.

  • $\times$ steht für das Vektorprodukt: das Ergebnis ist ein Vektor und
  • $\cdot$ steht für das Skalarprodukt: das Ergebnis ist eine Zahl.

  $\begin{pmatrix} -10\\ 10\\ 10 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} 3\\ 1\\ 1 \end{pmatrix}=-10\cdot 3+10\cdot 1+10\cdot 1=-10$.

  Nun muss noch der Betrag gebildet werden und das Volumen ist berechnet:

  $V_{Spat}=10$.

• Gib das Volumen der Pyramide an.

  Tipps

  Die drei Vektoren, welche du für die Berechnung des Spatproduktes benötigst, sind die Ortsvektoren der Schnittpunkte.

  Beachte, dass

  • $\times$ für das Vektorprodukt steht, das Ergebnis ist ein Vektor, und
  • $\cdot$ für das Skalarprodukt, das Ergebnis ist eine Zahl.

  Das Vektorprodukt ist wie folgt definiert:

  $\begin{pmatrix} a_1 \\ a_2\\ a_3 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2\\ b_3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a_2\cdot b_3-a_3\cdot b_2 \\ a_3\cdot b_1-a_1\cdot b_3 \\ a_1\cdot b_2-a_2\cdot b_1 \end{pmatrix}$.

  Das Skalarprodukt ist wie folgt definiert:

  $\vec a \cdot \vec b=a_1\cdot b_1+a_2\cdot b_2+a_3\cdot b_3$.

  Lösung

  Das Berechnen von Achsenschnittpunkten von Ebenen im Raum kommt häufig in Abituraufgaben vor. Wenn eine Ebene alle drei Koordinatenachsen schneidet, so kann man

  • zum einen ein Schrägbild der Ebene zeichnen und
  • zum anderen das Volumen der Dreieckspyramide berechnen, welche durch die drei Schnittpunkte und den Koordinatenursprung gegeben ist.

  Zur Volumenberechnung kann man das Spatprodukt verwenden:

  $V_{Dr.Pyr.}=\frac16\left|\left(\begin{pmatrix} 4\\ 0\\ 0 \end{pmatrix}\times\begin{pmatrix} 0\\ -3\\ 0 \end{pmatrix}\right)\cdot \begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 6 \end{pmatrix}\right|=\frac16\left|\begin{pmatrix} 0\\ 0\\ -12 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 6 \end{pmatrix}\right|=\frac{72}6=12$.

• Gib die Formeln zur Berechnung des Flächeninhaltes eines Parallelogramms sowie des Volumens eines Spats und einer Dreiseitigen Pyramide an.

  Tipps

  Schau dir an, wie welche Figur gebildet wird.

  Eine dreiseitige Pyramide kannst du aus einem Spat gewinnen.

  Lösung

  Die Formel zur Berechnung des Flächeninhaltes eines Parallelogramms lautet:

  $A_P=\left|\vec a \times \vec b\right|$.

  Ein Spat ist ein schiefes vierseitiges Prisma mit einem Parallelogramm als Grundfläche. Das Volumen eines Spats wird über das sogenannte Spatprodukt berechnet:

  $V_{Spat}=\left|\left(\vec a \times \vec b\right)\cdot \vec c\right|$.

  • $\times$ steht für das Vektorprodukt und
  • $\cdot$ für das Skalarprodukt.

  Eine Dreiseitige Pyramide lässt sich aus einem Spat herleiten: Durch Halbierung eines Spats erhält man ein Prisma mit dreieckiger Grundfläche. Eine Dreiseitige Pyramide (Dreieckspyramide) hat als Volumen gerade ein Drittel des Volumens des Prismas mit dreieckiger Grundfläche und der gleichen Höhe. Also gilt

  $V_{Dr.Pyr}=\frac 16 V_{Spat}=\frac 16 \left|\left(\vec a \times \vec b\right)\cdot \vec c\right|$.

• Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks.

  Tipps

  Wenn du noch einen Punkt zu dem Dreieck hinzufügst, erhältst du ein Parallelogramm.

  Betrachte das Parallelogramm, welches von den Vektoren

  • $\vec a=\vec{AB}$ sowie
  • $\vec b=\vec{AC}$

  aufgespannt wird.

  Verwende die Formel zur Berechnung des Flächeninhaltes eines Parallelogramms:

  $V_P=\left|\vec a\times \vec b\right|$.

  Der Flächeninhalt des Dreiecks ist die Hälfte des Flächeninhaltes eines Parallelogramms.

  $\vec a=\begin{pmatrix} -2\\ -1\\ 3 \end{pmatrix}$

  $\vec b=\begin{pmatrix} -1\\ -3\\ 4 \end{pmatrix}$

  Lösung

  An diesem Bild ist zu erkennen, dass die beiden Vektoren

  • $\vec a=\vec{AB}=\begin{pmatrix} -2\\ -1\\ 3 \end{pmatrix}$ sowie
  • $\vec b=\vec{AC}=\begin{pmatrix} -1\\ -3\\ 4 \end{pmatrix}$

  ein Parallelogramm aufspannen.

  Der Flächeninhalt des Dreiecks $ABC$ ist die Hälfte des Flächeninhaltes des Parallelogramms.

  $A_D=\frac12\left|\begin{pmatrix} -2\\ -1\\ 3 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} -1\\ -3\\ 4 \end{pmatrix}\right|=\frac12\left| \begin{pmatrix} 5\\ 5\\ 5 \end{pmatrix}\right|=\frac12 \cdot \sqrt{5^2+5^2+5^2}\approx 4,33$ [FE].