Lagebeziehungen von zwei Geraden im Raum

Lagebeziehungen von zwei Geraden im Raum Übung

• Gib jeweils die Lagebeziehung der Geraden an.

  Tipps

  Im Unterschied zu sich schneidenden Geraden berühren windschiefe Geraden einander nicht.

  Identische Geraden sind ebenfalls wie echt parallele Geraden parallel, jedoch haben identische Geraden ausschließlich gemeinsame Punkte und parallele Geraden keine gemeinsamen Punkte.

  Lösung

  Identische Geraden haben wie auch echt parallele Geraden stets parallele, also linear abhängige Richtungsvektoren. Der Unterschied ist, dass identische Geraden alle Punkte gemeinsam haben und echt parallele Geraden keine gemeinsamen Punkte besitzen.

  Sich schneidende Geraden sind nicht parallel und besitzen stets einen Schnittpunkt. Windschiefe Geraden sind ebenfalls nicht parallel, besitzen aber keine gemeinsamen Punkte.

• Bestimme bei den Geraden jeweils die passende Bedingung und Lagebeziehung.

  Tipps

  Welche Bedingungen gehören zu welchen Lagebeziehungen? Ordne sie paarweise den gegebenen Geraden zu.

  Prüfe die Geraden erst auf Parallelität, bevor du sie gleichsetzt und einen möglichen Schnittpunkt berechnest.

  Parallel sind Geraden, deren Richtungsvektoren Vielfache voneinander sind.

  Lösung

  Es gibt vier verschiedene Lagen, die zwei Geraden zueinander haben können.

  1. Bei windschiefe Geraden muss gelten, dass $\vec u \nparallel \vec v , g \cap h = \emptyset$. Ihre Richtungsvektoren sind nicht parallel und sie besitzen keinen Schnittpunkt.
  2. Für schneidende Geraden muss gelten, dass $\vec u \nparallel \vec v$. Zwei Geraden sind sich schneidende Geraden, wenn ihre Richtungsvektoren nicht parallel sind, sie jedoch einen Schnittpunkt besitzen.
  3. Echt parallele Geraden: $\vec u \parallel \vec v, A \notin h, B \notin g$. Es gilt, dass die Richtungsvektoren Vielfache voneinander sind, sie aber keine gemeinsamen Punkte besitzen.
  4. Bei identischen Geraden gilt, dass $\vec u || \vec v, A \in h, B \in g$. Zwei Geraden sind identische Geraden, wenn ihre Richtungsvektoren Vielfache voneinander sind und alle Punkte der einen Gerade jeweils auf der anderen Geraden liegen.

• Untersuche die Lage der Geraden zueinander. 

  Tipps

  Prüfe immer als Erstes, ob die Richtungsvektoren parallel zueinander sind.

  Den Schnittpunkt zweier Geraden berechnet man, indem man sie gleichsetzt und ein lineares Gleichungssystem aufstellt.

  Können Geraden in einer Ebene windschief sein?

  Lösung

  Zwei Geraden in einer Ebene können niemals windschief zueinander sein, da windschiefe Geraden stets in unterschiedlichen Ebenen liegen müssen, um sich nicht zu schneiden und nicht parallel zu sein. Somit können wir diese Lagebeziehung in allen Fällen ausschließen.

  Wir prüfen also als Erstes, ob die Geraden

  $g_1: \vec x = \left(\begin{array}{c} 8 \\ 2 \end{array}\right) + r \cdot \left(\begin{array}{c} 23 \\ -23 \end{array}\right)$ und

  $h_1: \vec x = \left(\begin{array}{c} 5 \\ 0 \end{array}\right) + s \cdot \left(\begin{array}{c} -4 \\ 5 \end{array}\right)$

  parallel sind.

  Es muss gelten, dass $\vec u = k \cdot \vec v, k\in \mathbb{R}$, doch

  $\left(\begin{array}{c} 23 \\ -23 \end{array}\right) \neq k \cdot \left(\begin{array}{c} -4 \\ 5 \end{array}\right)$

  Somit müssen die Geraden sich schneiden. Den Schnittpunkt kann man berechnen, indem man die Geraden gleichsetzt, das lineare Gleichungssystem löst und anschließend einen Parameter r oder s in die jeweilige Gleichung einsetzt. Man erhält den Ortsvektor des Schnittpunktes und somit seine Koordinaten.

  Die Geraden

  $g_2: \vec x = \left(\begin{array}{c} -2 \\ 3 \\5 \end{array}\right) + r \cdot \left(\begin{array}{c} 2 \\ 6 \\ -4 \end{array}\right)$ und

  $h_2: \vec x = \left(\begin{array}{c} 0 \\ 6 \\ 4,5 \end{array}\right) + s \cdot \left(\begin{array}{c} -1 \\ -3 \\ 2 \end{array}\right)$

  sind echt parallel, da ihre Richtungvektoren kollinear sind:

  $\left(\begin{array}{c} 2 \\ 6 \\ -4 \end{array}\right) = -2 \cdot \left(\begin{array}{c} -1 \\ -3 \\ 2 \end{array}\right)$,

  und weil der Stützvektor der einen Gerade nicht in der anderen Gerade liegt:

  $\left(\begin{array}{c} -2 \\ 3 \\5 \end{array}\right) \neq \left(\begin{array}{c} 0 \\ 6 \\ 4,5 \end{array}\right) + s \cdot \left(\begin{array}{c} -1 \\ -3 \\ 2 \end{array}\right)$

  Auf dieselbe Weise ermitteln wir die Lage der Gerade $g_3$ und $h_3$.

• Bestimme die Geradengleichungen und die Lagebeziehungen.

  Tipps

  Wie berechnet man den Richtungsvektor einer Geraden, wenn zwei Punkte der Geraden gegeben sind?

  Allgemeine Geradengleichung in Parameterdarstellung: $\vec x = \vec a + r \cdot (\vec b - \vec a)$.

  Prüfe immer als Erstes, ob die Geraden parallel sind.

  Lösung

  Die allgemeine Geradengleichung in Parameterdarstellung sieht wie folgt aus:

  $\vec x = \vec a + r \cdot (\vec b - \vec a)$

  Wir setzen die Ortsvektoren der gegebenen Punkte ein und erhalten so nacheinander beide Geradengleichungen.

  $g: \vec x = \left(\begin{array}{c} 4 \\ 2 \\ 5 \end{array}\right) + r \cdot \left[\left(\begin{array}{c} 10 \\ 0 \\ 13 \end{array}\right) - \left(\begin{array}{c} 4 \\ 2 \\ 5 \end{array}\right)\right] = \left(\begin{array}{c} 4 \\ 2 \\ 5 \end{array}\right) + r \cdot \left(\begin{array}{c} 6 \\ -2 \\ 8 \end{array}\right)$

  $h: \vec x = \left(\begin{array}{c} 3 \\ 7 \\ 0 \end{array}\right) + s \cdot \left[\left(\begin{array}{c} 0 \\ 8 \\ -4 \end{array}\right) - \left(\begin{array}{c} 3 \\ 7 \\ 0 \end{array}\right)\right] = \left(\begin{array}{c} 3 \\ 7 \\ 0 \end{array}\right) + s \cdot \left(\begin{array}{c} -3 \\ 1 \\ -4 \end{array}\right)$

  Wir prüfen als Erstes, ob die Richtungsvektoren $u$ und $v$ parallel sind:

  Es muss gelten, dass $u = k \cdot v ~~~, k\in \mathbb{R}$

  $\left(\begin{array}{c} 6 \\ -2 \\ 8 \end{array}\right) = k \cdot \left(\begin{array}{c} -3 \\ 1 \\ -4 \end{array}\right)$

  Für $k=-2$ ist dies erfüllt, also sind die Geraden parallel. Nun müssen wir herausfinden, ob sie identisch oder echt parallel sind, indem wir ein $r$ finden, für das gilt:

  $\left(\begin{array}{c} 3 \\ 7 \\ 0 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} 4 \\ 2 \\ 5 \end{array}\right) + r \cdot \left(\begin{array}{c} 6 \\ -2 \\ 8 \end{array}\right)$

  Dafür stellen wir ein lineares Gleichungssystem auf und berechnen $r$:

  $ \begin{align*} \text{I.} \qquad 3 &= 4 + 6r \\ \text{II.}\qquad 7 &= 2 - 2r \\ \text{III.} \qquad 0 &= 5 + 8r \\ \\ \text{I.} \qquad r &= - \frac{1}{6} \\ \text{II.}\qquad r &= - 2,5 \\ \text{III.} \qquad r &= - \frac{5}{8} \\ \implies C \notin g \end{align*} $

  Die Geraden sind also echt parallel.

• Stelle die Geradengleichung in Parameterform auf.

  Tipps

  Wie sieht eine Geradengleichung in Parameterdarstellung allgemein aus?

  Beachte, welche Differenz du zur Berechnung des Richtungsvektors bildest, da die Subtraktion nicht kommutativ ist: $\vec a - \vec b \neq \vec b - \vec a$.

  Der Stützvektor ist der Ortsvektor eines beliebigen Punktes auf der Geraden.

  Lösung

  Allgemein sieht eine Geradengleichung in Parameterdarstellung wie folgt aus:

  $\vec x = \vec a + r \cdot (\vec b - \vec a)$

  Wir setzen die Ortsvektoren der gegebenen Punkte ein und erhalten die Geradengleichung.

  $\vec x = \left(\begin{array}{c} 2 \\ 3 \\ -1 \end{array}\right) + r \cdot \left[\left(\begin{array}{c} 4 \\ -2 \\ 2 \end{array}\right) - \left(\begin{array}{c} 2 \\ 3 \\ -1 \end{array}\right)\right] = \left(\begin{array}{c} 2 \\ 3 \\ -1 \end{array}\right) + r \cdot \left(\begin{array}{c} 2 \\ -5 \\ 3 \end{array}\right)$

• Berechne, ob die Schüler sich auf dem Weg zur Schule treffen.

  Tipps

  Stelle als Erstes die beiden Wege als Geradengleichungen dar, um anschließend durch die Gleichsetzung beider Geraden den Schnittpunkt zu berechnen.

  Das lineare Gleichungssystem kannst du mit Hilfe des Additions-, Einsetzungs- oder Gleichsetzungsverfahren lösen.

  Setze einen der berechneten Parameter in die dazugehörige Geradengleichung ein, um den Ortsvektor und somit die Koordinaten des Schnittpunktes herauszufinden.

  Wir müssen herausfinden, um wie viel Uhr jeweils beide Schüler am Schnittpunkt sind. Aber wie weit ist der Schnittpunkt überhaupt von ihren Wohnungen entfernt?

  Stelle die Gleichung zur Berechnung von Geschwindigkeiten nach der gesuchten Größe um.

  $v = \frac{s}{t}$

  Lösung

  a) Wir stellen die Geradengleichung für Nimas Weg auf.

  Gegeben sind die Punkte $Z_N(2|3)$ und $B(12|13)$.

  Somit ist die Grade $g: \vec x = \left(\begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array}\right) + r \cdot \left(\begin{array}{c} 10 \\ 10 \end{array}\right)$.

  Nun die Geradengleichung durch $Z_L(2|9)$ und $U(22|19)$ für Lauras Weg: $h: \vec x = \left(\begin{array}{c} 2 \\ 9 \end{array}\right) + s \cdot \left(\begin{array}{c} 20 \\ 10 \end{array}\right)$.

  Wir untersuchen, ob die beiden Geraden sich schneiden, indem wir die Gleichungen gleichsetzen:

  $\left(\begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array}\right) + r \cdot \left(\begin{array}{c} 10 \\ 10 \end{array}\right) =\left(\begin{array}{c} 2 \\ 9 \end{array}\right) + s \cdot \left(\begin{array}{c} 20 \\ 10 \end{array}\right)$

  $ \begin{align*} \text{I.} \qquad 2+ 10r &= 2+20s \\ \text{II.}\qquad 3+10r &= 9+10s \\ \\ \text{I.}+(-1)\cdot \text{II.}\qquad -1 &= -7 +10s \\ s&=0,6 \\ \\ \text{s in I.} \qquad 2+10r &= 2+20\cdot 0,6 \\ r&=1,2 \\ Probe:\qquad 3+12 &= 9 + 6\\ 15&=15 \end{align*} $

  Durch das Einsetzen eines Parameters in die zugehörige Geradengleichung erhalten wir den Ortsvektor und somit die Koordinaten des Schnittpunktes: $\vec x = \left(\begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array}\right) + 1,2 \cdot \left(\begin{array}{c} 10 \\ 10 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} 14 \\ 15 \end{array}\right) \implies S(14|15)$.

  b) Um die Uhrzeit herauszufinden, wann die Schüler jeweils am Schnittpunkt sind, müssen wir erst wissen, wie weit ihr Weg von zu Hause bis zum Punkt $S(14|15)$ ist. Wir berechnen also die Länge der Vektoren $\overrightarrow{ Z_NS}= \left(\begin{array}{c} 12 \\ 12 \end{array}\right)$ und $\overrightarrow{Z_LS}= \left(\begin{array}{c} 12 \\ 6 \end{array}\right)$:

  $|\overrightarrow{ Z_NS}| = \sqrt{12^2+12^2} = 12 \cdot \sqrt{2} \approx 16,97 = 169,7~m$

  $|\overrightarrow{Z_LS}| = \sqrt{12^2+ 6^2} = 6 \cdot \sqrt{5} \approx 13,42 = 134,2~m$

  Nun berechnen wir die jeweils benötigte Zeit mit $v = \frac{s}{t} \Leftrightarrow t = \frac{s}{v}$:

  $t_N=\frac{169,7~m}{300\frac{m}{min}} \approx 0,57~min = 34~s$

  $t_L=\frac{134,2~m}{60\frac{m}{min}} \approx 2,24~min = 2~min~14~s$

  Laura ist um $7:32:14$ Uhr und Nima ist um $7:35:34$ Uhr am Schnittpunkt, somit ist Laura früher daran vorbeigelaufen und sie treffen sich tatsächlich nicht auf dem Weg zur Schule.