Gegenseitige Lage Gerade-Gerade – Beispiele

Gegenseitige Lage Gerade-Gerade – Beispiele Übung

• Schildere die Vorgehensweise beim Bestimmen der Lagebeziegung zweier Geraden im Raum.

  Tipps

  Das Gleichungssystem der Richtungsvektoren lautet $\vec u=r \cdot \vec v$.

  Linear abhängig bedeutet im Prinzip auch, dass die Vektoren in dieselbe Richtung zeigen.

  Die zweite Gleichung dieses LGS lautet $1=3$. Das ist eine Falschaussage.

  Lösung

  Wir prüfen die Lagebeziehung der Geraden in mehreren Schritten:

  1. Wir wollen zunächst feststellen, ob die Richtungsvektoren linear (un-)abhängig sind. Dazu stellst du ein Gleichungssystem auf. Die erste Zeile davon lautet $1=-4 \cdot r$. Teilst du auf beiden Seiten mit $-4$, so erhältst du als Lösung $ r = - \frac{1}{4}$. Die zweite Zeile lautet $ 0 = 0 \cdot r$. Diese Gleichung ist für jedes $r$ erfüllt, also auch für $ r = - \frac{1}{4}$. Die dritte Zeile $-2 = 8 \cdot r$ teilt man durch $8$ und erhält ebenfalls $ r = - \frac{1}{4}$. Du erhältst also für jede Zeile dieselbe Lösung. Folglich sind die Richtungsvektoren linear abhängig.
  2. Linear abhängig bedeutet anschaulich, das die Vektoren in dieselbe Richtung zeigen. Die Geraden sind also identisch oder echt parallel.
  3. Durch Gleichsetzen der Geraden kannst du überprüfen, ob die Geraden gemeinsame Punkte haben. Bei linear abhängigen Richtungsvektoren, kann das LGS keine bzw. unendlich viele Lösungen besitzen. Dies entspricht echt parallelen bzw. identischen Geraden.
  4. Tritt wie in unserem Beispiel in dem LGS eine Falschaussage auf, hat das LGS keine Lösung. Die Geraden haben damit keine gemeinsamen Punkte. Sie sind echt parallel.

• Bestimme die Lagebeziehung der Geraden $g$ und $h$.

  Tipps

  Linear abhängig bedeutet anschaulich auch, dass zwei Vektoren in dieselbe Richtung zeigen.

  Um das LGS zu lösen, musst du zwei der Gleichungen so geschickt miteinander kombinieren, dass s und/oder t weg fällt.

  Lineare (Un)abhängigkeit kannst du mit der Gleichung $\vec u = r \cdot \vec v$ überprüfen.

  Die Anzahl der Lösungen des LGS gibt dir darüber Auskunft, wie viele Punkte die beiden Geraden gemeinsam haben.

  Lösung

  • Zuerst überprüfst du die Richtungsvektoren auf lineare (Un)abhängikeit. Dazu schreibst du die Vektoren in ein Gleichungssystem. Dieses sieht wie folgt aus

  $\begin{align} -2 &= 4r &|& :4\\ 3 &= -6r &|& :(-6)\\ 5 &= -10r &|& :(-10) \end{align}$

  Führst du die Rechenoperationen aus, erhältst du in jeder Zeile $r=-\frac{1}{2}$. Die Richtungsvektoren sind also linear abhängig. Die Geraden können nur noch identisch oder echt parallel sein.

  • Nun musst du die Geraden g und h miteinander gleichsetzen um das LGS zu erhalten.

  $\begin{vmatrix} \mathord{\mathrm{I}} & 1 & -2s & = & 5 & +4t\\ \mathord{\mathrm{II}} & -2 & +3s & = & -8 & -6t\\ \mathord{\mathrm{III}} & 3 & +5s & = & -7 & -10t \end{vmatrix}$

  Jetzt kombinierst du die Gleichungen z.B. wie folgt

  $\begin{align} 3 \cdot (\mathord{\mathrm{I}}) + 2 \cdot (\mathord{\mathrm{II}}): \quad -1 &= -1\\ 5 \cdot (\mathord{\mathrm{II}}) - 3 \cdot (\mathord{\mathrm{III}}): \quad -19 &= -19 \end{align}$

  Du erhältst nur wahre Aussagen. Das LGS hat also unendlich viele Lösungen. Folglich sind die Geraden identisch.

• Ermittle die gegenseitige Lage der Geraden $g$ und $h$.

  Tipps

  Betrachte z.B. zwei sich schneidende Geraden. Wie stehen ihre Richtungsvektoren zueinander?

  Linear abhängige Vektoren zeigen in dieselbe Richtung.

  Überlege dir zu jeder der vier Lagebeziehungen, in welche Richtung die Geraden zeigen und wie viele gemeinsame Punkte sie haben.

  Die Anzahl der Lösungen des LGS gibt dir darüber Auskunft, wie viele Punkte die beiden Geraden gemeinsam haben.

  Lösung

  Für die Lage zweier Geraden im Raum gibt es insgesamt vier verschieden Möglichkeiten:

  • Sind zwei Geraden im Raum echt parallel zueinander, so zeigen ihre Richtungsvektoren in dieselbe Richtung. Sie sind also linear abhängig. Desweiteren können sie keinen Schnittpunkt haben, weshalb das LGS auch keine Lösung hat.
  • Die Richtungsvektoren von zwei identischen Geraden zeigen auch in dieselbe Richtung, sind also linear abhängig. Da sie identisch sind, haben sie quasi unendlich viele „Schnittpunkte“, womit das LGS auch unendlich viele Lösungen parat hält.
  • Die Richtungsvektoren zweier sich schneidenden Geraden zeigen in verschiedene Richtungen und die Geraden haben einen Schnittpunkt. Somit müssen die Richtungsvektoren linear unabhängig sein und das LGS genau eine Lösung haben.
  • Die Richtungsvektoren von zwei windschiefen Geraden zeigen auch in verschiedene Richtungen. Also sind sie linear unabhängig. Die Geraden schneiden sich jedoch nicht, somit hat das LGS auch keine Lösung.

• Bestimme die Lagebeziehung der Geraden im Raum.

  Tipps

  Zwei Vektoren, die linear abhängig sind, zeigen in dieselbe Richtung. Linear unabhängig bedeutet, dass sie in verschiedene Richtungen zeigen.

  Hast du die Frage der linearen (Un-)abhängigkeit gelöst und die Anzahl der Lösungen des linearen Gleichungssystem bestimmt, so kann du auf die Lagebeziehung schließen.

  Lösung

  Wir überprüfen die fünf Sätze auf ihre Richtigkeit:

  • Ein Stützvektor gibt lediglich einen Punkt der Geraden wieder, hat jedoch keinen direkten Zusammenhang mit der Richtung der Geraden. Daher sind Stützvektoren ungeeignet, um die lineare (Un)abhängigkeit zu überprüfen. Dafür sind immer die Richtungsvektoren heranzuziehen.

  • Das Gleichungssystems aus den Richtungsvektoren lautet

  $\begin{align} 4 &= -1 \cdot r &|& :(-1) \\ -2 &= 0,5 \cdot r &|& :0,5 \\ 3 &= -0,75 \cdot r &|& :(-0,75) \end{align}$

  und du erhältst für jede Zeile $r = -\frac{1}{4}$.

  • Da du für jede Zeile denselben Wert für $r$ erhältst sind die Richtungsvektoren linear abhängig. Die Geraden können also nur noch identisch oder echt parallel sein.

  • Du musst die Geradengleichungen gleichsetzen. Damit machst du nämlich die Annahme, dass die Geraden (zumindest in einem Punkt) gleich sind. Mit der Lösung des LGS kannst du entscheiden, ob die Geraden identisch (unendlich viele Lösungen) oder echt parallel (keine Lösung) sind.

  • Das LGS aus $g=h$ lautet

  $\begin{vmatrix} \mathord{\mathrm{I}} && 4s & = && -t \\ \mathord{\mathrm{II}} & 1 & -2s & = & 3 & +0,5t \\ \mathord{\mathrm{III}} & 1 & +3s & = & 3 & -7,5t \end{vmatrix}$

  Addierst du zu der ersten Zeile zweimal die zweite Zeile, so erhältst du $2=3$. Das ist eine falsche Aussage. Also hat das LGS keine Lösung und Geraden sind echt parallel.

• Bestimme die linear abhängigen Vektorpaare.

  Tipps

  Linear abhängig bedeutet auch, dass die Vektoren in dieselbe Richtung zeigen. Sie unterscheiden sich also höchsten in ihrer Länge, um einen Faktor $r$.

  Mit der Gleichung $\vec{u}=r\cdot \vec{v}$ prüfst du, ob die beiden Vektoren linear abhängig oder linear unabhängig sind.

  Lösung

  Um die Vektoren auf lineare (Un)abhängigkeit zu überprüfen, schreibst du sie in ein Gleichungssystem der Form $\vec u = r \cdot \vec v$. Wenn du in jeder Zeile dasselbe $r$ erhältst, sind die Vektoren linear abhängig. Ist dies nicht der Fall, so sind sie linear unabhängig.

  1.: Zeilenweise geschrieben lautet dieses Gleichungssystem

  $\begin{align} -2 &= 4r &|& :4\\ 3 &= -6r &|& :(-6)\\ 5 &= -10r &|& :(-10) \end{align}$

  Du erhältst für jede Zeile denselben Wert, nämlich $r=- \frac{1}{2}$. Die Vektoren sind demnach linear abhängig. Zwei Geraden mit diesen Vektoren als Richtungsvektor können also nur noch identisch bzw. echt parallel sein.

  2.: Dieses Gleichungssystem wird durch die Gleichungen

  $\begin{align} 1 &= 0 \cdot r\\ 0 &= r\\ -3 &= 4r \end{align}$

  beschrieben. Die erste Zeile lautet also $1 = 0 \cdot r = 0$. Das ist eine falsche Aussage, demnach sind die Vektoren linear unabhängig. Zwei Geraden mit diesen Vektoren als Richtungsvektor können sich also nur noch schneiden bzw. windschief sein.

  3.: Im diesem Fall lautet das Gleichungssystem

  $\begin{align} 1 &= -4r &|& :(-4)\\ 0 &= 0 \cdot r \\ -2 &= 8r &|& :8 \end{align}$

  Die erste und dritte Zeile ergeben $r=- \frac{1}{4}$. Die zweite Zeile ist immer erfüllt, da $0 \cdot r$ immer gleich Null ist. Also auch für $r=- \frac{1}{4}$. Da du in jeder Zeile dasselbe $r$ erhältst, sind die Vektoren linear abhängig. Zwei Geraden mit diesen Vektoren als Richtungsvektor können also nur noch identisch bzw. echt parallel sein.

  4.: Für das letzte Vektorpaar lautet das Gleichungssystem

  $\begin{align} 1 &= -4r &|& :(-4)\\ 0 &= 0 \cdot r\\ -3 &= 8r &|& :8 \end{align}$

  Die ersten beiden Zeilen sind identisch mit denen aus dem dritten Fall, also erhältst du hier $r=- \frac{1}{4}$. In der dritten Zeile erhältst du hingegen $r=- \frac{3}{8}$. Da du nicht in jeder Zeile dasselbe r erhältst, sind die Vektoren linear unabhängig. Zwei Geraden mit diesen Vektoren als Richtungsvektor können sich also nur noch schneiden bzw. windschief sein.

• Ermittle, welche der Geraden $h$ identisch mit $g$ sind.

  Tipps

  Mit der Gleichung $\vec{u} =r\cdot \vec{v}$ kannst du die lineare (Un-)abhängigkeit der Richtungsvektoren überprüfen.

  Bei identische Geraden sind die Richtungsvektoren linear abhängig und das LGS hat unendlich viele Lösungen.

  Lösung

  Um die Lagebeziehung der Geraden g und h zu bestimmen, überprüft man zum einen die Richtungsvektoren auf lineare (Un)abhängigkeit. Desweiteren setzt man die Geraden gleich und löst das LGS. Für den Fall, dass $g$ und $h$ identisch sind, müssen die Richtungsvektoren linear abhängig sein und das LGS unendlich viele Lösungen haben.

  1.: Du stellst mit den Richtungsvektoren ein Gleichungssystem auf.

  $\begin{align} 1 &=2,5 \cdot r &|& :2,5 \\ 1 &= 2,5 \cdot r &|& :2,5 \\ 3 &= 7,5 \cdot r &|& :7,5 \end{align}$

  Führst du die Rechenoperationen aus, so erhältst du in jeder Zeile $ r = 0,4$. Du erhältst also für jede Zeile dieselbe Lösung. Folglich sind die Richtungsvektoren linear abhängig. Setzt du nun $g$ und $h$ miteinander gleich, erhältst du das LGS

  $\begin{vmatrix} \mathord{\mathrm{I}} & 2 & +s & = & 1 & +2,5t \\ \mathord{\mathrm{II}} && s & = & -1 & +2,5t \\ \mathord{\mathrm{III}} & 4 & +3s & = & 1 & +7,5t \end{vmatrix}$

  $\begin{align} (\mathord{\mathrm{I}} - \mathord{\mathrm{II}}): \quad 2 &= 2 \\ (3 \cdot \mathord{\mathrm{II}} - \mathord{\mathrm{III}}): \quad -4 & = -4 \end{align}$

  Du erhältst also nur wahre Aussagen, das LGS hat demnach unendlich viele Lösungen. Die Geraden sind also identisch.

  2.: Wieder stellst du mit den Richtungsvektoren ein Gleichungssystem auf. Dieses lautet

  $\begin{align} 1 &=3 \cdot r &|& :3 \\ 1 &= 3 \cdot r &|& :3 \\ 3 &= 9 \cdot r &|& :9 \end{align}$

  Du erhältst also in jeder Zeile dieselbe Lösung, nämlich $ r = \frac{1}{3}$. Folglich sind die Richtungsvektoren linear abhängig. Setzt du nun $g$ und $h$ miteinander gleich, erhältst du das LGS

  $\begin{vmatrix} \mathord{\mathrm{I}} & 2 & +s & = & 4 & +3t \\ \mathord{\mathrm{II}} && +s & = & 2 & +3t \\ \mathord{\mathrm{III}} & 4 & +3s & = && 9t \end{vmatrix}$

  $\begin{align} (\mathord{\mathrm{I}} - \mathord{\mathrm{II}}): \quad 2 & = 2 \\ (3 \cdot \mathord{\mathrm{II}} - \mathord{\mathrm{III}}): \quad -4 & = 6 \end{align}$

  Du erhältst also eine falsche Aussage; das LGS hat demnach keine Lösung. Die Geraden sind also nicht identisch sondern echt parallel.

  3.: Du stellst wieder mit den Richtungsvektoren ein Gleichungssystem auf.

  $\begin{align} 1 &= 3 \cdot r &|& :3 \\ 1 &= 3 \cdot r &|& :3 \\ 3 &= 1 \cdot r \end{align}$

  In den ersten beiden Zeilen erhältst du $r = \frac{1}{3}$, in der dritten Zeile jedoch $r = 3$. Du erhältst also nicht in jeder Zeile dasselbe $r$. Folglich sind die Richtungsvektoren linear unabhängig. Die Geraden können also nur noch windschief sein oder sich schneiden.

  4.: Du könntest auch hier wieder ein Gleichungssystem mit den Richtungsvektoren aufstellen. Als Lösung erhältst du dann für jede Zeile $r = 1$. Guckst du dir die Richtungsvektoren genau an, erkennst du, dass sie identisch sind. Sie müssen also auch linear abhängig sein. Setzt du nun $g$ und $h$ miteinander gleich, erhältst du das LGS

  $\begin{vmatrix} \mathord{\mathrm{I}} & 2 & +s & = & 4 & +t \\ \mathord{\mathrm{II}} && s & = & 2 & +t \\ \mathord{\mathrm{III}} & 4 & +3s & = & 10 & +3t \end{vmatrix}$

  $\begin{align} (\mathord{\mathrm{I}} - \mathord{\mathrm{II}}): \quad 2 & = 2 \\ (3 \cdot \mathord{\mathrm{II}} - \mathord{\mathrm{III}}): \quad -4 & = -4 \end{align}$

  Du erhältst also nur wahre Aussagen; das LGS hat demnach unendlich viele Lösungen. Die Geraden sind also identisch.