Lagebeziehungen im Raum – Beispiel Flugzeugkollision

Lagebeziehungen im Raum – Beispiel Flugzeugkollision Übung

• Bestimme den gemeinsamen Punkt der gemeinsamen Flugbahnen.

  Tipps

  Du erhältst drei Gleichungen mit zwei Unbekannten.

  Verwende zwei der drei Gleichungen, um eine mögliche Lösung zu finden.

  Diese Lösung muss auch die verbleibende Gleichung erfüllen.

  Du erhältst den Schnittpunkt, indem du einen der beiden Parameter in der entsprechenden Geradengleichung einsetzt.

  Lösung

  Diese beiden Geraden beschreiben die Flugbahnen zweier Flugzeuge.

  $\begin{array}{rcl}f_1&:&\vec x=\begin{pmatrix} 5 \\ 3 \\0,5 \end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix} -1 \\ 1\\0,5 \end{pmatrix}\\\\ f_2&:&\vec x=\begin{pmatrix} -6 \\ 10 \\4 \end{pmatrix}+s\cdot\begin{pmatrix} 2 \\ -1\\-0,5 \end{pmatrix} \end{array}$

  Um zu überprüfen, ob diese Flugzeuge überhaupt kollidieren können, müssen die beiden Funktionsgleichungen gleichgesetzt werden:

  $\begin{pmatrix} 5 \\ 3 \\0,5 \end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix} -1 \\ 1\\0,5 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -6 \\ 10 \\4 \end{pmatrix}+s\cdot\begin{pmatrix} 2 \\ -1\\-0,5 \end{pmatrix}$

  Die oberen beiden Gleichungen lauten

  (I) $5-t=-6+2s$

  (II) $3+t=10-s$

  Diese beiden Gleichungen werden addiert zu $8=4+s$. Nun wird $4$ subtrahiert zu $s=4$.

  Dieser Wert für $s$ wird in der oberen Gleichung eingesetzt: $5-t=-6+4\cdot 2$ oder, äquivalent dazu $5-t=2$. Dies führt zu $t=3$.

  Diese beiden Parameter müssen auch die dritte Gleichung erfüllen, dann schneiden sich die beiden Geraden:

  $0,5+0,5\cdot 3=4-0,5\cdot 4$.

  Es ist $2 = 2$. Also schneiden die Geraden sich.

  Den Schnittpunkt erhält man durch Einsetzen von $t$ in $f_1$: $S(2|6|2)$.

  Die Flugzeuge könnten gegebenenfalls kollidieren.

• Gib an, ob die Flugzeuge kollidieren können.

  Tipps

  Beachte, dass die Parameter jeweils für die Zeit in Minuten nach $8^{\underline{00}}$ stehen.

  Das bedeutet, dass die Parameter für die benötigte Zeit stehen.

  Die Flugbahnen müssen sich nicht nur kreuzen, also einen gemeinsamen Schnittpunkt haben, sondern die Flugzeuge müssen auch zum gleichen Zeitpunkt dort ankommen.

  Lösung

  Es ist bereits bekannt, dass die beiden Flugzeuge kollidieren könnten. Anders ausgedrückt: Die Flugbahnen $f_1$ und $f_2$ haben einen gemeinsamen Punkt $S(2|6|2)$.

  Die entsprechenden Parameter sind

  • $t=3$ für Flugzeug 1 auf $f_1$ und
  • $s=4$ für Flugzeug 2 auf $f_2$.

  Das bedeutet, dass Flugzeug 1 um $8^{\underline{03}}$ Uhr und Flugzeug 2 um $8^{\underline{04}}$ Uhr in dem gemeinsamen Punkt ankommen.

  Da die Parameter und damit auch die Zeiten verschieden sind, können die Flugzeuge nicht kollidieren.

• Prüfe, ob das Flugzeug und der Wetterballon kollidieren.

  Tipps

  Tatsächlich haben die Gerade $f$ und die Flugbahn des Wetterballons einen gemeinsamen Punkt.

  Die Flugbahn des Wetterballons kann beschrieben werden mit

  $w:\vec x=\begin{pmatrix} -1 \\ 9 \\3,5 \end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix} 0 \\ 0\\0,1 \end{pmatrix}$.

  Dabei steht $r$ für die Zeit in Minuten ab $7^{\underline{51}}$ Uhr.

  Du erhältst Werte für die Parameter $t$ und $r$. Dies ist die Zeit, die vergeht, bis das Flugzeug beziehungsweise der Wetterballon in dem gemeinsamen Punkt ankommen.

  Addiere diese Zeit zu dem Startzeitpunkt. Wenn diese Zeiten übereinstimmen, kollidieren das Flugzeug und der Wetterballon, ansonsten nicht.

  Der gemeinsame Punkt ist $P(-1|9|3,5)$.

  Lösung

  Da der Wetterballon senkrecht nach oben fliegt, lautet der gemeinsame Punkt der Flugbahnen des Ballons und des Flugzeuges $P(-1|9|z)$. Gesucht ist die z-Koordinate.

  Wenn man die ersten beiden Koordinaten in der Geradengleichung des Flugzeuges einsetzt, erhält man

  (I) $5-t=-1$, also $t=6$, sowie

  (II) $3+t=9$, also auch hier $t=6$.

  Das bedeutet

  • zum einen, dass die beiden Bahnen einen gemeinsamen Punkt haben, nämlich $P(-1|9|3,5)$, und
  • zum anderen, dass das Flugzeug nach $6~min$ dort ankommt, also um $8^{\underline{06}}$ Uhr.

  Wie kommt man zu der z-Koordinate des Punktes? $z=0,5+6\cdot 0,5=3,5$.

  Wann kommt der Wetterballon in dem Punkt $P$ an?

  Es gilt $z=2+r\cdot 0,1=3,5$. Zuerst wird $2$ subtrahiert und dann durch $0,1$ dividiert. Dies führt zu $r=15$.

  Also benötigt der Wetterballon $15~min$ bis zum Punkt $P$. Das heißt, er kommt dort ebenfalls um $8^{\underline{06}}$ Uhr an.

  Das Flugzeug und der Wetterballon kollidieren im Punkt $P(-1|9|3,5)$ um $8^{\underline{06}}$ Uhr.

• Entscheide, ob das Flugzeug steigt oder sinkt und gib die Geschwindigkeit an.

  Tipps

  Beachte: Innerhalb einer Minute legt jedes der beiden Flugzeug einen Weg der Länge des Richtungsvektors zurück.

  Eine Geradengleichung hat die Form

  $g:\vec x=\vec a+r\cdot \vec u$.

  Dabei ist $\vec a$ der Stütz- und $\vec u$ der Richtungsvektor der Geraden und $r$ ein Parameter.

  Hier siehst du an einem Beispiel, wie du die Länge eines Vektors berechnen kannst.

  Die z-Koordinate, am Beispiel Flugzeug 1, lautet

  $z=0,5+0,5t$.

  Lösung

  In diesem Beispiel werden die einzelnen Teile der Geraden im Sachzusammenhang behandelt:

  Die Bedeutung der z-Koordinate des Richtungsvektors:

  • Ist diese negativ, verringert sich die Höhe in Abhängigkeit von der Zeit,
  • ansonsten vergrößert sie sich.

  Das bedeutet, dass sich Flugzeug 1 im Steig- und Flugzeug 2 im Sinkflug befindet.

  Die Bedeutung des Richtungsvektors:

  Da die Parameter für die Zeit in Minuten stehen, kann man mit Hilfe des Richtungsvektors die Geschwindigkeit des entsprechenden Flugzeuges ausrechnen. Dabei gibt die Länge des Richtungsvektors den zurückgelegten Weg pro Minute an.

  Flugzeug 1

  $\left|\begin{pmatrix} -1 \\ 1\\0,5 \end{pmatrix}\right|=\sqrt{(-1)^2+1^2+0,5^2}=1,5$

  Das bedeutet, dass Flugzeug 1 $1,5~km$ pro Minute zurücklegt. Um die Geschwindigkeit in $\frac{km}h$ zu erhalten, muss man mit $60$ erweitern:

  $v_1=1,5~\frac{km}{min}\cdot\frac{60}{60}=90~\frac{km}h$.

  Ebenso kann die Geschwindigkeit bei Flugzeug 2 berechnet werden:

  $\left|\begin{pmatrix} 2 \\ -1\\-0,5 \end{pmatrix}\right|=\sqrt{2^2+(-1)^2+(-0,5)^2}=\frac{\sqrt{21}}2$

  Dies führt zu der Geschwindigkeit

  $v_2=\frac{\sqrt{21}}2~\frac{km}{min}\cdot\frac{60}{60}\approx 136,5~\frac{km}h$.

• Beschreibe, wie überprüft wird, ob die Flugzeuge kollidieren könnten.

  Tipps

  Beachte: Ein Gleichungssystem wird nur dann gelöst, wenn alle Gleichungen gelöst werden.

  Wenn die Geraden sich nicht schneiden, können die Flugzeuge sicher nicht kollidieren.

  Der Schnittpunkt liegt auf jeder der beiden Geraden.

  Lösung

  Da für die beiden Flugzeuge die Geradengleichungen gegeben sind, müssen diese gleichgesetzt werden. Damit wird herausgefunden, ob die Geraden einen gemeinsamen Punkt haben.

  Nur in diesem Fall können die Flugzeuge überhaupt kollidieren.

  Das so erhaltene Gleichungssystem besteht aus drei Gleichungen und zwei Unbekannten.

  Mit zwei der drei Gleichungen findet man Lösungen für diese Unbekannten. Diese müssen aber auch noch die dritte Gleichung erfüllen.

  Es genügt allerdings nicht, einen Schnittpunkt zu finden. Es muss auch noch geprüft werden, ob die Flugzeuge zum gleichen Zeitpunkt in dem Schnittpunkt eintreffen.

• Untersuche, ob der Adler die Maus fängt.

  Tipps

  Der Adler kommt zu einer anderen Zeit in dem Punkt an als die Maus.

  Das bedeutet, der Adler fängt die Maus nicht.

  Um den gemeinsamen Punkt zu berechnen, setzt du die Geradengleichung für den Adler mit der für die Maus gleich.

  Die Geradengleichung für die Maus lautet

  $m:\vec x=\begin{pmatrix} -10 \\ 12 \\0 \end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix} 0,2 \\ 0,3\\0,1 \end{pmatrix}$.

  Dabei steht $r$ für die Zeit in Minuten ab $10^{\underline{24}}$ Uhr.

  Wenn du das entstehende Gleichungssystem löst, erhält du Werte für die Parameter $s$ und $r$.

  Dies sind Minutenangaben. Addiere diese zu den gegebenen Anfangszeiten.

  Die Maus ist eine Minute früher an dem Punkt angelangt. Das bedeutet, dass sie zu dem Zeitpunkt, zu dem der Adler in dem Punkt ankommt, sich bereits in dem Punkt $R(-8,8|13,8|0,6)$ befindet.

  $R$ steht für geRettet.

  Lösung

  Zunächst stellt man die Geradengleichung auf für die Gerade, auf welcher die Maus sich bewegt:

  $m:\vec x=\begin{pmatrix} -10 \\ 12 \\0 \end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix} 0,2 \\ 0,3\\0,1 \end{pmatrix}$.

  Dabei steht $r$ für die Zeit in Minuten ab $10^{\underline{24}}$ Uhr.

  Nun werden die beiden Geradengleichungen $a$ und $m$ gleichgesetzt. So erhält man

  (I) $5-2s=-10+0,2r$

  (II) $3+1,5s=12+0,3r$

  (III) $1,2-0,1s=0+0,1r$

  Wenn man die dritte Gleichung mit $-2$ multipliziert und zu der ersten addiert, erhält man

  $2,6-1,8s=-10$.

  • Nun wird $2,6$ subtrahiert und anschließend durch $-1,8$ dividiert. Dies führt zu $s=7$.
  • Damit erhält man durch Einsetzen in der ersten Gleichung $5-14=-10+0,2r$.
  • Addition von $10$ und Multiplikation mit $5$ führt zu $r=5$.

  Diese beiden Werte $s=7$ und $r=5$ werden in der zweiten Gleichung eingesetzt. Dies führt zu

  $3+1,5\cdot 7=12+0,3\cdot 5$, also $13,5=13,5~\surd$.

  Nun kann der Punkt $S$ bestimmt werden. Man setzt, zum Beispiel $r=5$ in der Geraden $m$ ein: $S(-9|13,5|0,5)$.

  Da die Maus $5~min$ bis zu diesem Punkt benötigt, also um $10^{\underline{29}}$ Uhr in diesem Punkt ankommt, der Adler jedoch nach $7~min$, also um $10^{\underline{30}}$, kann der Adler die Maus nicht fangen.

  Pech für den Adler und Glück für die Maus!