Lagebeziehungen im Raum – Flugzeugaufgabe

Lagebeziehungen im Raum – Flugzeugaufgabe Übung

• Berechne den Auftreffpunkt des Flugzeugs.

  Tipps

  Da sich der Boden in der $xy$-Ebene befindet, gilt für alle Punkte dieser Ebene $z = 0$.

  Den Schnittpunkt dieser Ebene mit $f$ kannst du berechnen, indem du die Komponenten von $f$ in die Ebenengleichung einsetzt und nach t umstellst.

  Setzt du dann das ermittelte $t$ in die Gerade $f$ ein, erhältst du den Punkt, in dem das Flugzeug auf die Ebene trifft.

  Lösung

  Ein Flugzeug, dass sich im geradlinigen und gleichschnellen Sinkflug befindet, bewegt sich auf einer Geraden mit der Geradengleichung $f$.

  • Da sich der Boden in der $xy$-Ebene befindet, gilt für alle Punkte dieser Ebene $z = 0$. Dies ist gleichzeitig die Ebenengleichung in Koordinatenform. Den Schnittpunkt dieser Ebene mit $f$ kannst du berechnen, indem du die Komponenten von $f$ in die Ebenengleichung einsetzt und nach t umstellst.

  \begin{align} 0 &= 2 - 0,1t &|&-0,1t \\ 0,1t &= 2 &|&:0,1 \\ t &= 20 \end{align}

  Das Flugzeug landet also um $12:20$.

  • Setzt du dann $t = 20$ in die Gerade $f$ ein, erhältst du den Punkt, bei dem das Flugzeug auf die Ebene trifft.

  \begin{align} t = 20~\text{in f: } \vec x = \begin{pmatrix} -4 \\ 10 \\ 2 \end{pmatrix} + 20 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ -0,1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 16 \\ -30 \\ 0 \end{pmatrix} \end{align}

  Das Flugzeug landet also im Punkt $S(16|-30|0)$.

• Bestimme die Geschwindigkeit und den Anflugwinkel des Flugzeugs.

  Tipps

  Die Länge eines Vektors wird folgendermaßen berechnet:

  Für Geschwindigkeiten gilt $\frac{km}{min} = 60\frac{km}{h}$.

  Sind $\vec n$ der Normalenvektor der $xy$-Ebene und $\vec u$ der Richtungsvektor der Geraden, so genügt der Anflugwinkel $\alpha$ folgender Gleichung:

  Die Geschwindigkeit ergibt sich aus dem Betrag des Richtungsvektors.

  Ein Normalenvektor der Ebene $E:~z=0$ ist $\left( \matrix{ 0 \\ 0 \\ 1}\right)$.

  Lösung

  Ein Flugzeug, dass sich im geradlinigen und gleichschnellen Sinkflug befindet, bewegt sich auf einer Geraden mit der Geradengleichung $f$.

  • Die Geschwindigkeit ergibt sich aus dem Betrag des Richtungsvektors. Du berechnest also

  \begin{align} \left| \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ -0,1 \end{pmatrix} \right| &= \sqrt{1^2 + (-2)^2 + (-0,1)^2} \approx 2,24 \end{align}

  Da die Koordinaten in km und die Zeit in Minuten angegeben sind, erhältst du $v \approx 2,24 \frac{km}{min}$.

  • Um das vorige Ergebnis in die Einheit $\frac{km}{h}$ umzurechnen, kannst du wie folgt vorgehen. Da eine Stunde 60 Minuten entspricht, kannst du mit 60 erweitern und erhältst die Geschwindigkeit in $\frac{km}{h}$: $v \approx 2,24 \cdot 60 \frac{km}{h}\approx 134 \frac{km}{h}$. Als Merkregel gilt:

  \begin{align} \frac{km}{min} \overset{\cdot 60}{\underset{: 60}{\rightleftharpoons}} \frac{km}{h} \end{align}

  • Den Winkel zwischen einer Geraden und einer Ebene kannst du mit der Formel $\sin{(\alpha)} = \frac{\left| \vec u \cdot \vec n \right|}{\left| \vec u \right| \cdot \left| \vec n \right|}$ berechnen. $\vec u$ und $\vec n$ entsprechen dem Richtungsvektor der Geraden und dem Normalenvektor der Ebene, $\alpha$ beschreibt den Winkel zwischen der Geraden und Ebene. Für die $xy$-Ebene lautet der Normalenvektor einfach $\vec n = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$. Demnach erhältst du

  \begin{align} \sin{(\alpha)} &= \frac{\left| \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ -0,1 \end{pmatrix} \right|}{\left| \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \right| \cdot \left| \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ -0,1 \end{pmatrix} \right|} = \frac{0,1}{\sqrt{5,01}} &&|\sin^{-1} \\ \\ \Rightarrow \quad \alpha &= \sin^{-1}{\left( \frac {0,1}{\sqrt{5,01}} \right)} \approx 2,56^\circ \end{align}

• Ermittle die Geschwindigkeiten.

  Tipps

  Welche Komponente der Geradengleichung ist für die Geschwindigkeit relevant?

  Der Betrag eines Vektors ist folgendermaßen definiert.

  Die Geschwindigkeit wird durch den Betrag der Richtungsvektoren angegeben. Also musst du die Beträge miteinander vergleichen.

  Lösung

  Die Geschwindigkeit wird durch den Betrag der Richtungsvektoren angegeben. Also musst du die Beträge miteinander vergleichen. Die Berechnungen lauten wie folgt.

  \begin{align} \left| \begin{pmatrix} 1,5 \\ 0,5 \\ 0 \end{pmatrix} \right| &= \sqrt{1,5^2 + 0,5^2 + 0^2} \approx 1,58 \\ \left| \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 2,3 \end{pmatrix} \right| &= \sqrt{0^2 + 0^2 + 2,3^2} = 2,3 \\ \left| \begin{pmatrix} -2,4 \\ 1,4 \\ -0,05 \end{pmatrix} \right| &= \sqrt{(-2,4)^2 + 1,4^2 + (-0,05)^2} \approx 2,78 \\ \left| \begin{pmatrix} 2 \\ 6 \\ 3 \end{pmatrix} \right| &= \sqrt{2^2 + 6^2 + 3^2} = 7 \end{align}

  Und da $1,58 < 2,3 < 2,78 < 7$ gilt, lautet die Reihenfolge von oben nach unten: $j$, $h$, $f$ und $g$.

• Bestimme den minimalen Abstand des Flugzeugs von der Turmspitze und den dazugehörigen Zeitpunkt.

  Tipps

  Bei dieser Aufgabe geht es um den Abstand von Punkt und Gerade. Bestimme also $d(f,T)$.

  Stelle eine Hilfsebene $H$ auf, welche durch den Punkt $T$ geht. Als Normalenvektor wählst du den Richtungsvektor der Geraden $f$. Damit geht die Gerade senkrecht durch die Ebene und die Distanz ist am kürzesten, wo sich $H$ und $f$ schneiden.

  Die Gleichung der Hilfsebene lautet:

  \begin{align} H: \left[ \vec x - \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0,25 \end{pmatrix} \right] \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ -0,2 \end{pmatrix} = 0 \end{align}

  Die Koordinatenform der Hilfsebene lautet:

  $-2x + y - 0,2z + 0,05 = 0$

  Nun berechnest du den Schnittpunkt der Geraden $f$ mit der Hilfsebene $H$, indem du die Koordinaten von $f$ in $H$ einsetzt und nach $t$ umstellst.

  Setzt du dieses $t$ in die Geradengleichung ein, erhältst du den Schnittpunkt.

  Bei $t \approx 5,08$ kommt das Flugzeug der Turmspitze am nächsten.

  Lösung

  Es handelt sich um eine Abstandsberechnung zwischen einem Punkt und einer Geraden. Mit Abstand ist die kürzeste Distanz gemeint. Den Punkt der Geraden, für den das gilt, kannst du wie folgt ermitteln.

  • Du stellst eine Hilfsebene $H$ auf, welche durch den Punkt $T$ geht. Als Normalenvektor wählst du den Richtungsvektor der Geraden $f$. Damit geht die Gerade senkrecht durch die Ebene und die Distanz ist am kürzesten, wo sich $H$ und $f$ schneiden. In Normalenform lautet die Ebenengleichung dann

  \begin{align} H: ~~ \left[ \vec x - \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0,25 \end{pmatrix} \right] \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ -0,2 \end{pmatrix} = 0 \end{align}

  • Durch Ausmultiplizieren erhältst du die Koordinatenform

  $-2x + y - 0,2z + 0,05 = 0$

  • Nun berechnest du den Schnittpunkt der Geraden $f$ mit der Hilfsebene $H$, indem du die Koordinaten von $f$ in $H$ einsetzt und nach $t$ umstellst:

  \begin{align} -2 \cdot (18-2t) + (11 + t) - 0,2 \cdot (3,25 - 0,2t) + 0,05 &= 0 \\ -25,6 + 5,04t & = 0 &&|+25,6 \\ 5,04t &= 25,6 &&|:5,04 \\ t &\approx 5,08 \end{align}

  Das Flugzeug kommt der Turmspitze also ungefähr um $16:05$ Uhr am nächsten.

  • Setzt du dieses $t$ in die Geradengleichung ein, erhältst du den Schnittpunkt

  $\vec x = \begin{pmatrix} 18 \\ 11 \\ 3,25 \end{pmatrix} + 5,08 \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ -0,2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7,84 \\ 16,08 \\ 2,234 \end{pmatrix}$

  Das Flugzeug kommt der Turmspitze also im Punkt $F(7,84|16,08|2,234)$ am nächsten.

  • Den Abstand der Punkte kannst du dann wie folgt berechnen

  $d(T,f) = \left| \begin{pmatrix} 7,84 \\ 16,08 \\ 2,234 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0,25 \end{pmatrix} \right| = \sqrt{7,84^2 + 16,08^2 + 1,984^2} \approx 18$

  Das Flugzeug ist im Punkt $F$ also ca. $18~km$ von der Turmspitze entfernt.

• Berechne die Aufenthaltsorte eines Flugzeuges zu unterschiedlichen Zeiten.

  Tipps

  Da t die Zeit in Minuten nach $10~Uhr$ angibt, gilt z.B. $t = 8$ um $10:08$.

  Setzt du nun für t die entsprechenden Werte ein, erhältst du die Koordinaten der Punkte.

  Lösung

  Um den Punkt zu berechnen, in dem sich das Flugzeug befindet, musst du den entsprechenden Wert für t in die Gleichung einsetzen. So erhältst du den Ortsvektor des Flugzeugs, welcher auch gleichzeitig die Koordinaten des Punktes angibt. Da t die Zeit in Minuten nach $10~Uhr$ angibt, gilt z.B. $t = 8$ um $10:08$. Setzt du nun für t die entsprechenden Werte ein, erhältst du die Koordinaten der Punkte.

  \begin{align} t = 8 \text{ in f: } \vec x = \begin{pmatrix} -4 \\ 10 \\ 2 \end{pmatrix} + 8 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ -0,1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ -6 \\ 1,2 \end{pmatrix} \end{align}

  Also befindet sich das Flugzeug um $10:08$ im Punkt $P(4|-6|1,2)$.

  \begin{align} t = 20 \text{ in f: } \vec x = \begin{pmatrix} -4 \\ 10 \\ 2 \end{pmatrix} + 20 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ -0,1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 16 \\ -30 \\ 0 \end{pmatrix} \end{align}

  Also befindet sich das Flugzeug um $10:20$ im Punkt $P(16|-30|0)$.

  \begin{align} t = 0 \text{ in f: } \vec x = \begin{pmatrix} -4 \\ 10 \\ 2 \end{pmatrix} + 0 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ -0,1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 \\ 10 \\ 2 \end{pmatrix} \end{align}

  Also befindet sich das Flugzeug um $10:00$ im Punkt $P(-4|10|2)$.

  \begin{align} t = 4,83 \text{ in f: } \vec x = \begin{pmatrix} -4 \\ 10 \\ 2 \end{pmatrix} + 4,83 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ -0,1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0,83 \\ 0,34 \\ 1,517 \end{pmatrix} \end{align}

  Also befindet sich das Flugzeug um $10~Uhr$ und $4,83~min$ im Punkt $P(0,83|0,34|1,517)$.

• Ermittle die gesuchten Größen.

  Tipps

  Die Koordinaten sind in $km$ angegeben.

  Es ist der Schnittpunkt der Geraden mit Ebene $E: z = 0,2$ gesucht.

  Die Geschwindigkeit ergibt sich aus dem Betrag des Richtungsvektors. Es gilt:

  $v = \left| \vec u \right|$

  Für geradlinig gleichförmige Bewegungen ist die Geschwindigkeit gleich der zurückgelegten Strecke pro Zeit, die dafür benötigt wird. Stellst du diese Gleichung also nach $s$ um, kannst du die Strecke berechnen.

  Lösung

  • Der Pilot landet in $200~m$ Höhe. Da die Koordinaten in km angegeben sind, lautet die Koordinatengleichung dieser Ebene $E: z = 0,2$. Den Schnittpunkt dieser Ebene mit $f$ kannst du berechnen, indem du die $z$-Komponente von $f$ in die Ebenengleichung einsetzt und nach $t$ umstellst.

  \begin{align} 2,1 - 0,05t &= 0,2 &|& +0,05t \\ 2,1 &= 0,2 + 0,05t &|& -0,2 \\ 1,9 &=0,05t &|& :0,05 \\ t &= 38 \end{align}

  Das Flugzeug trifft demnach $38$ Minuten nach $12$ Uhr auf die Ebene. Es landet also um $12:38$ Uhr.

  • Setzt du dann $t = 38$ in die Gerade $f$ ein, erhältst du den Punkt, in dem sie auf die Ebene trifft.

  $t = 38~\text{in f: } \vec x = \begin{pmatrix} 0,5 \\ 1 \\ 2,1 \end{pmatrix} + 38 \cdot \begin{pmatrix} 2,3 \\ 1,6 \\ -0,05 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 87,9 \\ 61,8 \\ 0,2 \end{pmatrix}$

  Das Flugzeug landet also im Punkt $L(87,9|61,8|0,2)$.

  • Die Geschwindigkeit ergibt sich aus dem Betrag des Richtungsvektors. Du berechnest also

  $v = \left| \begin{pmatrix} 2,3 \\ 1,6 \\ -0,05 \end{pmatrix} \right| = \sqrt{2,3^2+1,6^2+(-0,05)^2} \approx 2,8~\frac{km}{min}$.

  Das Flugzeug fliegt also mit einer Geschwindigkeit von $v \approx 2,8~\frac{km}{min}$.

  • Um dieses Ergebnis in die Einheit $\frac{km}{h}$ umzurechnen, kannst du wie folgt vorgehen. Da eine Stunde $60$ Minuten entspricht, kannst du die Gleichung $1~h = 60~min$ aufstellen. Teilst du mit $60$ erhältst du $1~min = \frac{1}{60}~h$. Setzt du diese Beziehung in das vorige Ergebnis ein, erhältst du

  $v \approx 2,8~\frac{km}{\frac{1}{60}~h} = 2,8 \cdot 60 \frac{km}{h} = 168~\frac{km}{h}$.

  Als Merkregel gilt:

  $\frac{km}{min} \overset{\cdot 60}{\underset{: 60}{\rightleftharpoons}} \frac{km}{h}$

  Die Geschwindigkeit beträgt demnach auch $v \approx 168~\frac{km}{h}$.

  • Da das Flugzeug mit konstanter Geschwindigkeit auf einer Geraden fliegt, kannst du die aus der Physik bekannte Formel $v = \frac{s}{t}$ verwenden. Diese Gleichung gilt für alle geradlinig gleichförmigen Bewegungen. Nach Umstellen erhältst du für den Weg $s = v \cdot t$. Mit den zuvor berechneten Werten ergibt sich ein Weg von

  $s \approx 2,8~\frac{km}{min} \cdot 38~min \approx 106~km$.