Lagebeziehungen im Raum – Beispiel Flugbahnen

Lagebeziehungen im Raum – Beispiel Flugbahnen Übung

• Berechne die Geschwindigkeit des Hubschraubers.

  Tipps

  Hier siehst du an einem Beispiel, wie der Betrag oder auch die Länge eines Vektors berechnet wird.

  Beachte:

  • Der Stützvektor ist der Ortsvektor eines beliebigen Punktes der Geraden.
  • Der Richtungsvektor beschreibt die Lage der Geraden.

  Die Geschwindigkeit ist das Verhältnis von Strecke zu Zeit.

  Lösung

  Dies ist die Gleichung der Geraden, auf welcher der Hubschrauber sich geradlinig und bei gleichbleibender Geschwindigkeit bewegt.

  Der Parameter $t$ steht dabei für die Zeit in Minuten.

  Pro Minute legt der Hubschrauber eine Strecke der Länge des Richtungsvektors zurück:

  $\left|\begin{pmatrix} -1 \\ 2\\0,2 \end{pmatrix}\right|=\sqrt{(-1)^2+2^2+0,2^2}=\sqrt{5,04}\approx2,25$. Die zugehörige Maßeinheit ist $\frac{km}{min}$. Um nun die Geschwindigkeit in $\frac{km}{h}$ zu erhalten, muss mit $60$ erweitert werden:

  $v=2,25~\frac{km}{min}\cdot \frac{60}{60}=135~\frac{km}h$.

• Gib die Gleichung der Geraden an und prüfe, wann der Hubschrauber auf dem Berg landet.

  Tipps

  Der Ortsvektor eines der beiden Punkte ist der Stützvektor und der Verbindungsvektor der beiden Punkte der Richtungsvektor.

  Da der Hubschrauber von $A$ nach $B$ fliegt, wird der Verbindungsvektor auch in dieser Reihenfolge gewählt.

  Dieser Vektor wird nicht vereinfacht.

  Da sich der Hubschrauber für $s=1$ in $B$ befindet, gibt die Länge des Richtungsvektors den zurückgelegten Weg an.

  Beachte: Geschwindigkeit gleich Weg durch Zeit.

  Forme diese Gleichung nach der Zeit um.

  Lösung

  Zuerst wird die Geradengleichung erstellt. Da der Hubschrauber von $A$ nach $B$ fliegt, wird hierfür die 2-Punkt-Gleichung verwendet:

  $g:\vec x=\vec a+s\cdot(\vec b-\vec a)$.

  Also

  $g:\vec x=\begin{pmatrix} 3 \\ 8 \\0 \end{pmatrix}+s\cdot\begin{pmatrix} -10 \\ 20\\2 \end{pmatrix}$

  Die Länge des Richtungsvektors ist der zurückgelegte Weg von $A$ nach $B$:

  $\left|\begin{pmatrix} -10 \\ 20\\2 \end{pmatrix}\right|=\sqrt{(-10)^2+20^2+2^2}=\sqrt{504}$ [km].

  Diese Strecke muss zuletzt durch die Geschwindigkeit dividiert werden:

  $\frac{\sqrt{504}~km}{225~\frac{km}h}\approx 0,1~h$.

  Dies entspricht $6~min$. Das bedeutet, dass der Hubschrauber um $10^{\underline{06}}$ auf dem Berg landet.

  Übrigens: Hier kann man auch die Bedeutung des Parameters $s$ im Sachzusammenhang erkennen. $s$ steht für die Zeit in $6~min$ nach $10^{\underline{00}}$.

• Prüfe die folgenden Aussagen.

  Tipps

  Berechnung der Geschwindigkeit: Dividiere die Strecke durch die Zeit.

  Wenn eine andere Größe gesucht ist, musst du die Gleichung umstellen.

  Wenn du wissen möchtest, ob ein Punkt auf einer Geraden liegt, setzt du dessen Ortsvektor in der Geradengleichung und formst diese nach dem Parameter um.

  In einer Minute legt das Flugzeug eine Strecke der Länge

  $\sqrt{(-6)^2+4^2+0,5^2}\approx7,2~[km]$

  zurück.

  Lösung

  Diese Gerade beschreibt den Flug eines Flugzeuges. Dabei steht $s$ für die Zeit in Minuten.

  Start

  Da das Flugzeug in dem Punkt $S(x|y|0)$ startet, ist die Gleichung

  $6+0,5s=0$

  zu lösen. Dies führt zu $s=12$. Da $s$ die Zeit in Minuten ist, ist das Flugzeug vor $12~min$, also um $11^{\underline{18}}$ Uhr, gestartet.

  Punkt Q

  • Wenn man den Ortsvektor von $Q$ in der Geradengleichung einsetzt, erhält man in der dritten Koordinate $6+0,5s=8$, also $s=4$.
  • Dies führt in der ersten Koordinate zu $5+4\cdot(-6)=-19\neq -11$, also liegt der Punkt $Q(-7|11|8)$ nicht auf der Flugbahn.

  Geschwindigkeit

  Hierfür muss die Länge des Richtungsvektors berechnet werden:

  $\sqrt{(-6)^2+4^2+0,5^2}\approx7,2~[km]$ .

  Dies ist die zurückgelegte Strecke in einer Minute. Erweitern mit $60$ führt somit zu der Geschwindigkeit

  $v=433,70...~\frac{km}h\approx 434~\frac{km}h$.

  Maximale Höhe 10 km

  Hier geht man ähnlich vor wie beim Start. Es muss $z=10$ gelten, also

  $6+0,5s=10$.

  Dies führt zu $s=8$.

  Einsetzen von $s$ in der x- sowie y-Koordinate führt zu dem Punkt $R(-43|35|10)$.

  Der Abstand von diesem Punkt zu $P(5|3|6)$ ist gegeben durch

  $8\cdot\sqrt{(-6)^2+4^2+0,5^2}~km\approx57,8~km$.

• Untersuche den Flug des Adlers: Beantworte dabei einige Fragen.

  Tipps

  Die Geradengleichung ist gegeben durch die 2-Punktgleichung:

  $g:\vec x=\vec a+s\cdot(\vec b-\vec a)$.

  Wenn du die Länge und die Geschwindigkeit kennst, erhältst du die Zeit, indem du die Länge durch die Geschwindigkeit dividierst.

  Der Adler überfliegt den Turm im Punkt $S(-23|-7|h)$.

  Lösung

  Der Adler fliegt von $A(2|3|2)$ geradlinig nach $B(-3|1|1,8)$. Alle Angaben in $km$.

  Die Geradengleichung ist somit gegeben durch

  $g:\vec x=\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\2 \end{pmatrix}+s\cdot\begin{pmatrix} -5 \\ -2\\-0,2 \end{pmatrix}$.

  Nun können die einzelnen Fragen betrachtet werden.

  Wann kommt der Adler in B an?

  Zunächst muss die Länge des Richtungsvektors berechnet und dann diese Länge durch die gegebene Geschwindigkeit dividiert werden:

  $\left|\begin{pmatrix} -5 \\ -2\\-0,2 \end{pmatrix}\right|=\sqrt{(-5)^2+(-2)^2+(-0,2)^2}=\sqrt{29,4}$ [km]

  Also ist die dafür benötigte Zeit gegeben durch

  $\frac{\sqrt{29,4}~km}{163~\frac{km}{h}}\approx0,033~h$.

  Multiplikation mit $60$ führt zu ungefähr $2~min$.

  Dies ist auch die Bedeutung von $s$: Dieser Parameter steht für die Zeit in $2~min$.

  Wann überfliegt der Adler den Turm?

  • Der Adler überfliegt den Turm im Punkt $S(-23|-7|h)$. Dies führt zu der Gleichung in der ersten Koordinate: $2-5s=-23$.
  • Es werden $23$ sowie $5s$ addiert: $5s=25$. Division durch $5$ führt zu $s=5$.
  • Dieses $s$ muss auch die Gleichung in der zweiten Koordinate erfüllen: $3+5\cdot(-2)=-7~~~~~$ ✓.
  • Da $s$ die Zeit in $2~min$ ist, bedeutet dies, dass der Adler den Turm nach $10~min$ überfliegt.

  In welcher Höhe überfliegt der Adler den Turm?

  Das Einsetzen von $s$ in der dritten Koordinaten führt zu

  $h=2+5\cdot (-0,2)=2-1=1$.

  Das bedeutet, dass der Adler sich in $1000~m$ Höhe befindet, wenn er den Kirchturm überfliegt. Da der Turm $100~m$ hoch ist, fliegt der Adler $1000~m-100~m=900~m$ über der Kirchturmspitze.

• Bestimme die Ankunftszeit des Hubschraubers.

  Tipps

  Setze den Ortsvektor von $B$ in der Geradengleichung ein und löse die resultierende Gleichung.

  Der Punkt $B$ liegt auf der Geraden. Das bedeutet: Du findest einen Wert für $t$, für welchen

  $\vec b=\begin{pmatrix} 3 \\ 8 \\0 \end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix} -1 \\ 2\\0,2 \end{pmatrix}$

  ist.

  Dieses $t$ ist die Zeit in Minuten, die seit dem Start vergangen ist.

  Lösung

  Setze den Ortsvektor des Punktes $B$ in der Geradengleichung ein:

  $\begin{pmatrix} -7 \\ 28 \\2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3 \\ 8 \\0 \end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix} -1 \\ 2\\0,2 \end{pmatrix}$

  Die erste Gleichung lautet $-7=3-t$. Es werden sowohl $t$ als auch $7$ addiert. Dies führt zu $t=10$.

  Löst dieses $t$ auch die beiden anderen Gleichungen?

  • $28=8+10\cdot 2~~~~~$ ✓
  • $2=0+10\cdot 0,2~~~~$ ✓

  Das bedeutet nach $10$ Minuten, also um $8^{\underline{10}}$ Uhr, erreicht der Hubschrauber den Berg.

• Prüfe, ob der Adler und das Flugzeug kollidieren können.

  Tipps

  Du musst auf jeden Fall zuerst untersuchen, ob die beiden Geraden sich schneiden.

  Ist dies nicht der Fall, können der Adler und das Flugzeug nicht kollidieren.

  Du erhältst den Schnittpunkt, indem du die beiden Geradengleichungen gleichsetzt.

  Du erhältst ein Gleichungssystem mit drei Gleichungen und zwei Unbekannten, den Parametern $s$ und $t$.

  Das Flugzeug und der Adler kollidieren.

  Lösung

  Zunächst wird der Schnittpunkt der beiden Geraden bestimmt. Hierfür werden die beiden Geradengleichungen gleichgesetzt: $g=h$.

  Dies führt zu den folgenden Gleichungen:

  (I) $2-5s=4-2,7t$

  (II) $3-2s=4-1,1t$

  (III) $2-0,2s=3-0,2t$

  • Man multipliziert die dritte Gleichung mit $-10$ zu $-20+2s=-30-2t$.
  • Dann addiert man diese Gleichung zu der zweiten: $-17=-26+0,9t$.
  • Nun wird zuerst $26$ addiert zu $9=0,9t$ und durch $0,9$ dividiert zu $t=10$.

  Dieser Wert für $t$ wird in der zweiten Gleichung eingesetzt: $3-2s=4-11$. Dies führt zu $2s=10$ und somit $s=5$.

  Diese beiden Werte für die Parameter müssen auch noch in der ersten Gleichung eingesetzt werden: $2-5\cdot 5=4-2,7\cdot 10~~~~~$ ✓.

  Nun kann zum einen der Schnittpunkt angegeben werden und zum anderen, wann der Adler und wann das Flugzeug im Schnittpunkt ankommen.

  Der Schnittpunkt hat die folgenden Koordinaten:

  • $x=4+10\cdot(-2,7)=-23$
  • $y=4+10\cdot(-1,1)=-7$
  • $z=3+10\cdot (-0,2)=1$

  Also ist $S(-23|-7|1)$ der gesuchte Schnittpunkt.

  • Der Adler braucht vom Punkt $A$ aus $5\cdot 2~min=10~min$. Er kommt also um $10^{\underline{10}}$ Uhr im Schnittpunkt an.
  • Das Flugzeug startet um $10^{\underline{05}}$ Uhr im Punkt $P(4|4|3)$.
  • Bis zum Schnittpunkt legt das Flugzeug eine Strecke der Länge $\sqrt{(-23-4)^2+(-7-4)^2+(1-3)^2}=\sqrt{854}~[km]$ zurück.
  • Da das Flugzeug mit einer Geschwindigkeit von $360~\frac{km}h$ fliegt, benötigt es für diese Strecke

  $\frac{\sqrt{854}~km}{360~\frac{km}h}\approx0,811~h$.

  Dies sind ungefähr $5~min$.

  Wenn das Flugzeug um $10^{\underline{05}}$ Uhr im Punkt $P$ startet, kommt es um $10^{\underline{10}}$ Uhr im Schnittpunkt an.

  Da sowohl der Adler als auch das Flugzeug zum gleichen Zeitpunkt in dem Schnittpunkt ankommen, kollidieren sie.