Besondere Vierecke mit Vektoren bestimmen

Besondere Vierecke mit Vektoren bestimmen Übung

• Beschreibe, wie man nachweisen kann, dass das gegebene Viereck ein Parallelogramm ist.

  Tipps

  In einem Parallelogramm sind die gegenüberliegenden Seiten parallel.

  Das bedeutet, dass die entsprechenden Vektoren kollinear sein müssen. Insbesondere sind diese Seiten gleich lang.

  Den Verbindungsvektor zweier Vektoren erhältst du, indem du von dem Ortsvektor des Endpunktes den des Anfangspunktes subtrahierst.

  Zwei Vektoren heißen kollinear, wenn der eine Vektor sich als Vielfaches des anderen darstellen lässt.

  Insbesondere sind identische Vektoren kollinear.

  Lösung

  Bei den gegebenen Punkten $A(1|1|2)$, $B(3|1|3)$, $C(2|3|1)$ und $D(0|3|0)$ soll nachgewiesen werden, dass das zugehörige Viereck ein Parallelogramm ist. Dafür genügt es zu zeigen, dass die gegenüberliegenden Seiten parallel sind. Um nicht alle Verbindungsvektoren aufzustellen, verwendet man eine Planskizze für die Bezeichnung der Ecken eines Vierecks. Diese ist hier zu sehen.

  Es müssen also die Verbindungsvektoren $\vec{AB}$, $\vec{BC}$, $\vec{AD}$ und $\vec{DC}$ bestimmt werden:

  $\vec{AB}=\begin{pmatrix} 2 \\ 0\\1 \end{pmatrix}=\vec{DC}$

  Diese beiden Vektoren sind identisch, also kollinear. Das bedeutet, dass die beiden Seiten parallel sind.

  $\vec{AD}=\begin{pmatrix} -1 \\ 2\\-2 \end{pmatrix}=\vec{BC}$

  Auch diese beiden Vektoren sind identisch, also kollinear. Die entsprechenden Seiten sind parallel.

  Das Viereck $ABCD$ ist somit ein Parallelogramm.

• Ergänze den Weg, wie man überprüft, ob das gegebene Viereck ein Drachenviereck ist.

  Tipps

  Hier siehst du ein Beispiel für ein Drachenviereck.

  Die Symmetrieachse steht senkrecht auf der anderen Achse.

  Zwei Vektoren stehen senkrecht aufeinander, $\vec u\perp\vec v$, wenn das Skalarprodukt der beiden Vektoren $0$ ist.

  Beim Drachen müssen zusätzlich zwei nebeneinanderliegende Seiten gleich lang sein.

  Lösung

  In einem Drachenviereck

  • stehen die Diagonalen senkrecht aufeinander,
  • schneidet eine der Diagonalen die andere in der Mitte und deshalb
  • sind zwei nebeneinander liegende Seiten gleich lang.

  Die Diagonalen sind gegeben durch $\vec{AC}$ sowie $\vec{BD}$

  $\vec{AC}=\begin{pmatrix} 1 \\ 3\\4 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 3 \\ 1\\2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -2 \\ 2\\2 \end{pmatrix}$

  Ebenso kann $\vec{BD}$ berechnet werden:

  $\vec{BD}=\begin{pmatrix} 3 \\ 3\\0 \end{pmatrix}$

  Das Skalarprodukt dieser beiden Vektoren ist

  $\begin{pmatrix} -2 \\ 2\\2 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 3\\0 \end{pmatrix}=-6+6+0=0$

  Die beiden Vektoren stehen also senkrecht aufeinander.

  Zusätzlich ist

  $\vec{AD}=\sqrt{11}$ und $\vec{DC}=\sqrt{11}$. Die beiden Vektoren (und somit die beiden Seiten) sind gleich lang. Es liegt also ein Drachenviereck vor.

• Prüfe, ob das gegebene Viereck mit den Punkten $A(3|-3|7)$, $B(3|-6|3)$, $C(3|-2|0)$ und $D(3|1|4)$ ein Quadrat ist.

  Tipps

  In einem Quadrat sind alle Seiten gleich lang und alle Winkel rechte Winkel.

  Es genügt nicht, nur die Eigenschaft der gleichen Länge zu zeigen. Dies könnte auch eine Raute sein.

  Es genügt nicht, nur die Rechtwinkligkeit zu zeigen, dies gilt auch für ein Rechteck.

  Um einen Verbindungsvektor zu bestimmen, ziehst du von dem Ortsvektor des Endpunktes den des Anfangspunktes ab.

  Lösung

  Die Punkte sind bereits so angeordnet, wie sie in dem Quadrat (?) liegen.

  Es müssen also die folgenden Verbindungsvektoren bestimmt werden

  $\vec{AB}=\begin{pmatrix} 3 \\-6\\3 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 3 \\ -3\\7 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 \\ -3\\-4 \end{pmatrix}$

  Ebenso können die weiteren Verbindungsvektoren bestimmt werden

  $\vec{DC}=\begin{pmatrix} 0 \\ -3\\-4 \end{pmatrix}$

  $\vec{AD}=\begin{pmatrix} 0 \\ 4\\-3 \end{pmatrix}$

  $\vec{BC}=\begin{pmatrix} 0 \\ 4\\-3 \end{pmatrix}$

  Die Länge, diese ist bei allen Vektoren gleich groß, beträgt

  $\left|\begin{pmatrix} 0 \\ -3\\-4 \end{pmatrix}\right|=\sqrt{(-3)^2+(-4)^2}=\sqrt{9+16}=5$

  Es könnte also ein Quadrat oder eine Raute vorliegen. Bei einem Quadrat sind alle Winkel rechte Winkel. Es muss also das Skalarprodukt zweier Vektoren berechnet werden, die am gleichen Punkt anliegen:

  $\vec{AD}\cdot\vec{AB}=\begin{pmatrix} 0 \\ 4\\-3 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 0 \\ -3\\-4 \end{pmatrix}=0-12+12=0$.

  Damit ist auch die Rechtwinkligkeit nachgewiesen. Das Viereck $ABCD$ ist also ein Quadrat.

• Bestimme den Punkt $D$ so, dass das Viereck $ABCD$ ein Rechteck ist.

  Tipps

  Es muss gelten $\vec{AB}=\vec{DC}$.

  Weiterhin muss $\vec{AD}=\vec{BC}$ gelten.

  Zum Nachweis der Rechtwinkligkeit genügt es, das Skalarprodukt der beiden Vektoren $\vec{AB}$ und $\vec{BC}$ zu berechnen.

  Wenn dieses $0$ ist, dann sind auch alle anderen Winkel rechte Winkel.

  Lösung

  Es ist

  $\vec{AB}=\begin{pmatrix} 4 \\ 2\\-4 \end{pmatrix}$

  und

  $\vec{BC}=\begin{pmatrix} -2 \\ 0\\-2 \end{pmatrix}$

  Das Skalarprodukt dieser beiden Vektoren ist

  $\begin{pmatrix} 4 \\ 2\\-4 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 0\\-2 \end{pmatrix}=-8+0+8=0$

  Damit ist nachgewiesen, dass ein rechter Winkel in $B$ vorliegt.

  Der Punkt $D$ muss also so gewählt werden, dass $\vec{DC}=\vec{AB}$ ist. Damit ist auch $\vec{AD}=\vec{BC}$.

  Diesen Punkt kann man zum Beispiel dadurch finden, dass man zu dem Ortsvektor von $A$ den Vektor $\vec{BC}$ addiert:

  $\begin{pmatrix} 2 \\ 2\\5 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} -2 \\ 0\\-2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 \\ 2\\3 \end{pmatrix}$

  Dies ist der Ortsvektor von $D$, also ist der gesuchte Punkt $D(0|2|3)$.

• Nenne die Zusammenhänge zwischen den einzelnen Vierecken.

  Tipps

  In einem Rechteck sind jeweils die gegenüberliegenden Seiten parallel. Zusätzlich sind alle (vier!) Winkel rechte Winkel.

  In einem Parallelogramm sind die gegenüberliegenden Seiten parallel zueinander.

  In einem Drachen stehen die Diagonalen senkrecht aufeinander. Dabei teilt eine der beiden Diagonalen (die Symmetrieachse) die andere in der Mitte.

  Das bedeutet, dass zwei aneinanderliegende Seiten gleich lang sind.

  Lösung

  Hier ist das Haus der Vierecke zu sehen.

  Ganz oben ist ein allgemeines Viereck.

  Ganz unten befindet sich ein Quadrat. Die Pfeile von dem Quadrat zu

  • dem Rechteck oder
  • der Raute (Rhombus)

  zeigen an, dass jedes Quadrat auch ein Rechteck und eine Raute ist.

  Der Pfeil von dem Rechteck zu dem Parallelogramm zeigt, dass jedes Rechteck auch ein Parallelogramm ist. Umgekehrt ist dies nicht richtig. In einem Rechteck sind die gegenüber liegenden Seiten parallel; dies ist auch bei einem Parallelogramm so. Bei einem Rechteck sind alle Winkel rechte Winkel.

  Da weder von einem Rechteck noch von einem Parallelogramm ein Pfeil (auch über Umwege) zu dem Drachenviereck führt, sind weder Rechtecke noch Parallelogramme Drachenvierecke.

  Da jedes Quadrat auch eine Raute ist und jede Raute ein Drachenviereck ist, ist auch jedes Quadrat ein Drachenviereck.

• Weise nach, dass eine Diagonale eines Drachenvierecks die andere in der Mitte schneidet.

  Tipps

  Zur Berechnung des Schnittpunktes werden die beiden Geradengleichungen gleichgesetzt.

  Du erhältst drei Gleichungen mit zwei Unbekannten.

  Die letzte Gleichung beinhaltet nur den Parameter $r$. Forme diese nach $r$ um und berechne damit $s$.

  Durch Einsetzen eines der beiden Parameter (egal welchem!) in der entsprechenden Geradengleichung erhältst du den Schnittpunkt.

  Berechne jeweils die Verbindungsvektoren.

  Du erhältst die Länge eines Vektors, indem du die einzelnen Koordinaten quadrierst, die Quadrate addierst und aus der Summe die Wurzel ziehst.

  Zwei der Längen stimmen überein.

  Lösung

  Die beiden oben angegebenen Geraden schneiden sich. Der Schnittpunkt kann berechnet werden durch Gleichsetzen der beiden Geradengleichungen:

  $\begin{pmatrix} 3 \\ 1\\2 \end{pmatrix}+r\begin{pmatrix} -2 \\ 2\\2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 \\ 1\\3 \end{pmatrix}+s\begin{pmatrix} 3 \\ 3\\0 \end{pmatrix}$

  Dies führt zu den Gleichungen

  $\begin{array}{lrcl} I&3-2r&=&1+3s\\ II&1+2r&=&1+3s\\ III&2+2r&=&3 \end{array}$

  Die dritte Gleichung liefert $r=0,5$. Wenn man dieses $r$ zum Beispiel in der zweiten Gleichung einsetzt, erhält man $3-1=1+3s$. Subtraktion von $1$ und Division durch $3$ führen zu $s=\frac13$. $r=0,5$ und $s=\frac13$ lösen auch die erste Gleichung. Einsetzen von $r=0,5$ in $g_1$ führt zu dem Schnittpunkt $S(2|2|3)$.

  Mit diesem Schnittpunkt kann nun der Abstand zu jedem der vier Eckpunkte bestimmt werden. Dabei müssen zwei Abstände überein stimmen. Damit ist bewiesen, dass eine der beiden Diagonalen die andere in der Mitte schneidet.

  $|\vec{AS}|=\left|\begin{pmatrix} -1 \\ 1\\1 \end{pmatrix}\right|=\sqrt{(-1)^2+1^2+1^2}=\sqrt{3}$

  $|\vec{BS}|=\left|\begin{pmatrix} 1 \\ 1\\0 \end{pmatrix}\right|=\sqrt{1^2+1^2+0^2}=\sqrt{2}$

  $|\vec{CS}|=\left|\begin{pmatrix} 1 \\ -1\\-1 \end{pmatrix}\right|=\sqrt{1^2+(-1)^2+(-1)^2}=\sqrt{3}$

  $|\vec{DS}|=\left|\begin{pmatrix} -2 \\ -2\\0 \end{pmatrix}\right|=\sqrt{(-2)^2+(-2)^2+0^2}=\sqrt{8}$

  Das bedeutet, dass die Diagonale, die die Punkte $B$ und $D$ verbindet, die Diagonale, die $A$ und $C$ verbindet, genau in der Mitte $S(2|2|3)$ schneidet.