Teilverhältnisse in geometrischen Figuren bestimmen – Beispiel (2)

Teilverhältnisse in geometrischen Figuren bestimmen – Beispiel (2) Übung

• Gib die Bedingungen an, welche für die Berechnung der Teilungsverhältnisse in dem Trapez verwendet werden.

  Tipps

  Es gilt $\vec{AA}=\vec 0$.

  Du kannst dir alle Vektorzüge an dem oben gezeigten Bild klar machen.

  Die Addition oder Subtraktion von Vektoren liefert wieder einen Vektor.

  Lösung

  Da $\vec{AA}=\vec 0$ ist, kann

  $\vec{AS}-\vec{DS}-\vec a=\vec 0$

  abgeleitet werden. Wichtig ist, dass rechts vom Gleichheitszeichen der Nullvektor steht, da die Addition oder Subtraktion von Vektoren wieder einen Vektor ergibt.

  Wie kommt man von $A$ zu $C$? Man geht von $A$ den Vektor $\vec a$ und dann den Vektor $\frac12 \vec b$. Also ist

  $\vec{AC}=\vec a+\frac 12 \vec b$.

  Wie gelangt man von $D$ zu $B$? Man geht in entgegengesetzter Richtung des Vektors $\vec a$ und dann $\vec b$. Dies führt zu

  $\vec{DB}=-\vec a+\vec b$.

• Berechne die Teilungsverhältnisse, in die der Schnittpunkt S die Diagonalen jeweils teilt.

  Tipps

  Zwei Vektoren $\vec u$ und $\vec v$ sind linear unabhängig, wenn die Gleichung

  $r\cdot \vec u+s\cdot \vec v=\vec 0$

  nur die Lösung $r=s=0$ liefert.

  • Verwende die oben angegebenen Bedingungen,
  • multipliziere die Klammern aus und
  • fasse alle Terme, in welchen sich $\vec a$ befindet, zusammen.
  • Fasse auch alle Terme zusammen, in welchen $\vec b$ vorkommt.

  Du erhältst ein Gleichungssystem mit den Unbekannten $x$ und $y$, welches du nach diesen auflösen kannst.

  Lösung

  Es gilt

  • $\vec{AS}=x\cdot \vec{AC}$ bei unbekanntem Teilungsverhältnis $0<x<1$ und ebenso
  • $\vec{DS}=y\cdot \vec{DB}$ bei unbekanntem Teilungsverhältnis $0<y<1$.

  Nun können diese beiden Gleichungen in $\vec{AS}-\vec{DS}-\vec a=\vec 0$ eingesetzt werden:

  $x\cdot \vec{AC}-y\cdot \vec{DB}-\vec a=\vec0$.

  Unter Verwendung von

  • $\vec{AC}=\vec a+\frac 12 \vec b$ sowie
  • $\vec{DB}=-\vec a+\vec b$

  erhält man

  \begin{align*} x\cdot \left(\vec a+\frac 12 \vec b\right)-y\cdot(-\vec a+\vec b)-\vec a&=\vec0\\ x\cdot \vec a+\frac12\cdot x\cdot \vec b+y\cdot \vec a-y\cdot \vec b-\vec a&=\vec 0\\ \vec a\cdot(x+y-1)+\vec b\cdot\left(\frac12x-y\right)&=\vec 0. \end{align*}

  Da die beiden Vektoren $\vec a$ und $\vec b$ linear unabhängig sind, muss das folgende lineare Gleichungssystem gelöst werden:

  \begin{align*} &\text(I)& x+y-1&=0\\ &\text(II)& \frac12x-y&=0. \end{align*}

  Die zweite Gleichung ist äquivalent zu $y=\frac12x$. Dieses $y$ kann in der ersten Gleichung eingesetzt werden:

  \begin{align*} x+\frac12x-1&=0\\ \frac32x-1&=0&|&+1\\ \frac32x&=1&|&\cdot \frac23\\ x&=\frac23. \end{align*}

  Dieses $x$ wird in $y=\frac12x$ eingesetzt und somit erhält man

  $y=\frac 12 \cdot \frac 23=\frac 13$.

  Dies sind die gesuchten Teilungsverhältnisse. Was bedeutet dies?

  • Die Strecke $\overline{AS}$ ist doppelt so lang wie $\overline{SC}$, das Teilungsverhältnis ist also $2:1$ und
  • die Strecke $\overline{DS}$ ist halb so lang wie $\overline{SB}$, das Teilungsverhältnis ist $1:2$.

• Leite Gleichungen für die Vektoren her.

  Tipps

  Schau das obige Parallelogramm an, die Vektoren $\vec a$ und $\vec b$ sind bereits eingetragen.

  Um einen Verbindungsvektor zuzuordnen, schaue wie du von dem Anfangspunkt zu dem Endpunkt kommst.

  Wenn man den Verbindungsvektor eines Punktes mit sich selbst bestimmt, erhält man den Nullvektor.

  Lösung

  Seien die unbekannten Teilungsverhältnisse $0<x<1$ sowie $0<y<1$, so gilt:

  • $\vec{AM}=x\cdot \vec{AC}$ sowie
  • $\vec{DM}=y\cdot \vec{DB}$.

  Es gilt $\vec 0=\vec{AA}=\vec{AM}-\vec{DM}-\vec a$.

  Um die Teilungsverhältnisse zu berechnen, müssen sowohl der Vektor $\vec{AC}$ als auch $\vec{DB}$ in Abhängigkeit der Vektoren $\vec a$ sowie $\vec b$ geschrieben werden:

  • $\vec{AC}=\vec a+\vec b$ und
  • $\vec{DB}=\vec b -\vec a$.

• Leite die Teilungsverhältnisse der Diagonalen in einem Parallelogramm her.

  Tipps

  Zwei Vektoren $\vec u$ und $\vec v$ sind linear unabhängig, wenn die Gleichung

  $r\cdot \vec u+s\cdot \vec v=\vec 0$

  nur die Lösung $r=s=0$ liefert.

  Du kannst alle oben angegebenen Gleichungen verwenden.

  Diese führen auf ein lineares Gleichungssystem mit den Unbekannten $x$ und $y$.

  Wenn die Teilstrecke sich als Bruch $\frac uv$ zwischen $0$ und $1$ multipliziert mit der gesamten Strecke schreiben lässt, dann ist das Teilungsverhältnis gegeben durch

  $|u|:(|v|-|u|)$.

  Sei zum Beispiel $\frac uv=\frac 15$, so ist das Teilungsverhältnis $1:(5-1)$, also $1:4$.

  Lösung

  Beginnend mit $\vec{AM}-\vec{DM}-\vec a=\vec 0$, kann man

  • $\vec{AM}=x\cdot \vec{AC}$ sowie
  • $\vec{DM}=y\cdot \vec{DB}$

  bei unbekannten Teilungsverhältnissen $0<x<1$ und $0<y<1$ einsetzen. Man erhält:

  $x\cdot \vec{AC}-y\cdot \vec{DB}-\vec a=\vec 0$.

  Nun können

  • $\vec{AC}=\vec a+\vec b$ und
  • $\vec{DB}=\vec b -\vec a$

  verwendet werden:

  $x\cdot (\vec a+\vec b)-y\cdot(\vec b -\vec a)-\vec a=\vec 0$.

  Die Klammern werden ausmultipliziert zu

  $x\cdot \vec a+x\cdot\vec b-y\cdot \vec b +a\cdot \vec a -\vec a=\vec 0$.

  Nun werden alle Terme mit $\vec a$ und die mit $\vec b$ zusammengefasst:

  $\vec a(x+y-1)+\vec b(x-y)=\vec 0$.

  Da die beiden Vektoren $\vec a$ und $\vec b$ linear unabhängig sind, gilt

  \begin{align*} &\text{I.}&x+y-1&=0\\ &\text{II.}&x-y&=0 \end{align*}

  Die zweite Gleichung ist äquivalent zu $x=y$. Dies kann in der ersten Gleichung eingesetzt werden:

  $2x-1=0$. Damit ergibt sich $x=y=\frac12$.

  Das Teilungsverhältnis beider Diagonalen durch den Punkt $M$ ist also gleich: $1:(2-1)=1:1$. Das bedeutet, dass die Diagonalen sich genau in der Mitte schneiden.

• Ergänze die Erklärung zum Teilungsverhältnis.

  Tipps

  Was bedeutet es, wenn sich bei zwei Vektoren der eine als Vielfaches des anderen darstellen lässt?

  Wenn eine Strecke zum Beispiel im Verhältnis $3:1$ geteilt wird, so besteht sie aus $4=3+1$ gleich großen Teilen.

  Das Teilungsverhältnis $3:1$ für die Strecke $\overline{AB}$, welche durch $T$ geteilt wird, bedeutet, dass die Strecke von $A$ nach $T$ dreimal so lang ist wie die von $T$ nach $B$.

  Lösung

  Wenn zwei Vektoren kollinear sind, so bedeutet dies, dass der eine sich als Vielfaches des anderen darstellen lässt, also

  $\vec{AT}=\frac ab \cdot \vec{AB}$ mit $0<\frac ab<1$.

  Daraus lässt sich das Teilungsverhältnis der Strecke $\overline{AB}$ durch den Punkt ablesen. Es beträgt:

  $|a|:(|b|-|a|)$.

• Bestimme das Teilungsverhältnis der Seitenhalbierenden in einem beliebigen Dreieck.

  Tipps

  Leite die Vektorbeziehungen aus dem obigen Bild des Dreiecks her.

  Du erhältst eine Gleichung, in welcher du die lineare Abhängigkeit von jeweils $2$ der Vektoren $\vec a$, $\vec b$ und $\vec c$ verwenden kannst.

  Die Rechnung führt zu einem linearen Gleichungssystem, mit dem du $x$ und $y$ bestimmen kannst.

  Lösung

  Die Mittelpunkte der Strecken seien:

  • $M_{AB}$ der Strecke $\overline{AB}$ und
  • $M_{BC}$ der Strecke $\overline{BC}$.

  Man beginnt mit der Gleichung: $\frac12\vec c+\vec{M_{AB}S}-\vec{AS}=\vec 0$. Diese erhält man, indem man bei $A$ startet und über $M_{AB}$ sowie $S$ zurück zu $A$ gelangt.

  Seien die unbekannten Teilungsverhältnisse $0<x<1$ und $0<y<1$, so ist

  • $\vec{M_{AB}S}=x\cdot \vec{M_{AB}C}$ sowie
  • $\vec{M_{BC}S}=y\cdot \vec{M_{BC}A}$.

  Nun können $\vec{M_{AB}C}$ und $\vec{M_{BC}A}$ wie folgt geschrieben werden:

  • $\vec{M_{AB}C}=\frac12\vec c+\vec a$ und
  • $\vec{M_{BC}A}=-\frac12\vec a-\vec c$.

  Diese beiden Beziehungen sowie die folgende Gleichung für $\vec{AS}$ kann man sich an dem Dreieck deutlich machen:

  $\vec{AS}=-(\vec{M_{BC}A}-\vec{M_{BC}S})=-(\vec{M_{BC}A}-y\cdot \vec{M_{BC}A})=(y-1)\vec{M_{BC}A}$

  Dies kann zusammengefasst werden zu:

  \begin{align*} \frac12\vec c+x\cdot \vec{M_{AB}C}-(y-1)\vec{M_{BC}A}&=\vec 0\\ \frac12\vec c+x\cdot \left(\frac12\vec c+\vec a\right)-(y-1)\left(-\frac12\vec a-\vec c\right)&=\vec 0. \end{align*}

  Die Klammern werden ausmultipliziert und die Terme mit $\vec a$ sowie $\vec c$ zusammengefasst:

  \begin{align*} \frac12\vec c+x\cdot \left(\frac12\vec c+\vec a\right)-(y-1)\left(-\frac12\vec a-\vec c\right)&=\vec 0\\ \frac12\vec c+\frac12\cdot x\cdot \vec c+x\cdot \vec a+\frac12\cdot y \cdot \vec a-\frac12\cdot\vec a+y\cdot \vec c-\vec c&=\vec 0\\ \vec a\left(x+\frac12\cdot y-\frac12\right)+\vec c\left(\frac12\cdot x+y-\frac12 \right)&=\vec0. \end{align*}

  Da die beiden Vektoren $\vec a$ und $\vec c$ linear unabhängig sind, gilt

  \begin{align*} &\text{I}&x+\frac12\cdot y-\frac12&=0\\ &\text{II}&\frac12\cdot x+y-\frac12&=0. \end{align*}

  Durch Subtraktion des Zweifachen der zweiten Zeile von der ersten erhält man:

  $\begin{array}{rclc|l} x+\frac12 y-\frac12&=&0\\ \\ \frac12x+y-\frac12&=&0&&\cdot(-2)\\ \\ \hline \\ x+\frac12 y-\frac12&=&0&&\\ &\\ -x-2y+1&=&0&&+x\\ \\ \hline\\ -\frac32y+\frac12&=&0&&-\frac12\\ \\ -\frac32y&=&-\frac12&&\cdot\left(-\frac23\right) \\ \\ y&=&\frac13. \end{array}$

  Dieses $y$ kann in einer der beiden Gleichungen eingesetzt werden, um $x$ zu berechnen:

  \begin{align*} x+\frac12 \cdot \frac13-\frac12&=0\\ x-\frac13&=0&|&+\frac13\\ x&=\frac13. \end{align*}

  Damit kann das Teilungsverhältnis angegeben werden, in welchem die Diagonalen sich schneiden: es beträgt $1:(3-1)=1:2$.