Berechnen von Spurpunkten

Berechnen von Spurpunkten Übung

• Berechne die Spurpunkte der Geraden $g$.

  Tipps

  Wie lautet ganz allgemein ein Punkt der $xy$-Ebene, wie einer der $yz$-Ebene und der $xz$-Ebene?

  Jede der drei Bestimmungen des Schnittpunktes führt zu einer Gleichung mit einer Unbekannten, dem Parameter $t$.

  Diese Gleichung wird nach $t$ aufgelöst.

  Lösung

  Gegeben ist die Gerade mit der Gleichung:

  $g:\vec x=\begin{pmatrix}-4 \\-3\\12\end{pmatrix}+t\cdot \begin{pmatrix}-2 \\-3\\4\end{pmatrix}$.

  Der Schnittpunkt mit der $xy$-Ebene besitzt die $z$-Koordinate $z=0$. Dies in der letzten Koordinate der Gerade eingesetzt, führt zu der Gleichung $0=12+4t$. Dies ist äquivalent zu $t=-3$. Dieses $t$ wird in die beiden anderen Koordinaten eingesetzt:

  • $x=-4+(-3)\cdot (-2)=2$ sowie
  • $y=-3+(-3)\cdot (-3)=6$.

  Somit ist der Spurpunkt $S_{xy}(2|6|0)$.

  Der Schnittpunkt mit der $yz$-Ebene besitzt die $x$-Koordinate $x=0$. Dies in der ersten Koordinate der Gerade eingesetzt, führt zu der Gleichung $0=-4-2t$. Dies ist äquivalent zu $t=-2$. Dieses $t$ wird in die beiden anderen Koordinaten eingesetzt:

  • $y=-3+(-2)\cdot (-3)=3$ sowie
  • $z=12+(-2)\cdot 4=4$.

  Somit ist der Spurpunkt $S_{yz}(0|3|4)$.

  Der Schnittpunkt mit der $xz$-Ebene besitzt die $y$-Koordinate $y=0$. Dies in der mittleren Koordinate der Gerade eingesetzt, führt zu der Gleichung $0=-3-3t$. Dies ist äquivalent zu $t=-1$. Dieses $t$ wird in die beiden anderen Koordinaten eingesetzt:

  • $x=-4+(-1)\cdot (-2)=-2$ sowie
  • $z=12+(-1)\cdot 4=8$.

  Somit ist der Spurpunkt $S_{xz}(-2|0|8)$.

• Gib an, wie viele Spurpunkte die Geraden besitzen.

  Tipps

  Unendlich viele Spurpunkte: Die Gerade liegt in einer Koordinatenebene. Das erkennst du darin, dass entweder immer $x=0$, $y=0$ oder $z=0$ gilt.

  Zwei Spurpunkte: Die Gerade ist parallel zu einer Koordinatenebene oder sie besitzt einen Spurpunkt auf einer Koordinatenachse.

  Wenn beim Richtungsvektor eine Koordinate $0$ ist, zum Beispiel die $x$-Koordinate, so verläuft die Gerade parallel zu einer Koordinatenebene.

  Ein Spurpunkt: Die Gerade liegt entweder parallel zu 2 Koordinatenebenen oder sie geht durch den Koordinatenursprung und hat einen Richtungsvektor, in welchem keine Koordinate $0$ ist.

  Eine Gerade kann

  • entwedet $1$ Spurpunkt,
  • $2$ Spurpunkte,
  • $3$ Spurpunkte oder
  • unendlich viele Spurpunkte besitzen.

  Lösung

  Spurpunkte sind die Schnittpunkte einer Geraden im Raum mit den Koordinatenebenen. Wie viele Spurpunkte kann eine Gerade besitzen?

  Eine Gerade muss mindestens einen Spurpunkt besitzen. Hätte sie keinen Spurpunkt, so müsste sie parallel zu allen drei Koordinatenebenen verlaufen. Eine solche Gerade gibt es nicht.

  • Ein Spurpunkt: Die Gerade liegt entweder parallel zu 2 Koordinatenebenen oder sie geht durch den Koordinatenursprung und hat einen Richtungsvektor, in welchem keine Koordinate $0$ ist. Dies gilt für die Gerade

  $h:\vec x=\begin{pmatrix}0 \\0\\0\end{pmatrix}+t\cdot \begin{pmatrix}2 \\3\\4\end{pmatrix}$ - diese Gerade besitzt einen Spurpunkt.

  • Zwei Spurpunkte: Die Gerade ist parallel zu einer Koordinatenebene oder sie besitzt einen Spurpunkt auf einer Koordinatenachse. Der Fall der Parallelität liegt bei

  $k:\vec x=\begin{pmatrix}2 \\3\\4\end{pmatrix}+t\cdot \begin{pmatrix}1 \\3\\0\end{pmatrix}$ vor. Diese Gerade besitzt also zwei Spurpunkte.

  • 3 Spurpunkte: Zum Beispiel die Gerade

  $g:\vec x=\begin{pmatrix}-4 \\3\\12\end{pmatrix}+t\cdot \begin{pmatrix}-2 \\-3\\4\end{pmatrix}$ - diese Gerade besitzt 3 Spurpunkte.

  • Wenn eine Gerade mehr als 3 Spurpunkte besitzt, so besitzt sie unendlich viele Spurpunkte. 4 Spurpunkte sind nicht möglich.
  • Unendlich viele Spurpunkte: Die Gerade liegt in einer Koordinatenebene, wie zum Beispiel:

  $l:\vec x=\begin{pmatrix}0 \\2\\4\end{pmatrix}+t\cdot \begin{pmatrix}0 \\1\\3\end{pmatrix}$ - diese Gerade besitzt unendlich viele Spurpunkte. Das erkennst du daran, dass immer $x=0$ gilt; die Gerade liegt also in der $yz$-Ebene.

• Ermittle alle Spurpunkte der Geraden $h$.

  Tipps

  • Jeder Punkt der $xy$-Ebene hat die $z$-Koordinate $z=0$.
  • Jeder Punkt der $xz$-Ebene hat die $y$-Koordinate $y=0$.
  • Jeder Punkt der $yz$-Ebene hat die $x$-Koordinate $x=0$.

  Die Gerade hat eine spezielle Lage. Sie liegt parallel zu einer Koordinatenebene.

  Die Gerade liegt parallel zur $yz$-Ebene. Kann sie dann einen Spurpunkt $S_{yz}$ besitzen?

  Die $x$-Koordinate eines beliebigen Punktes dieser Gerade ist $x=1$.

  Setze $y=0$ und löse die erste Gleichung nach $t$ auf. Durch Einsetzen des Parameters in die Geradengleichung erhältst du den Spurpunkt $S_{xz}$.

  Lösung

  Um die Spurpunkte der Geraden

  $h:\vec x=\begin{pmatrix}1 \\2\\3\end{pmatrix}+t\cdot \begin{pmatrix}0 \\2\\-1\end{pmatrix}$

  zu berechnen, muss jeweils eine Koordinate $0$ sein und eine Gleichung nach dem Parameter $t$ aufgelöst werden.

  • $x=0$ führt zu dem Spurpunkt $S_{yz}$ mit der $yz$-Ebene: Die zu lösende Gleichung lautet $0=1+0$. Da dies nie gilt, existiert ein solcher Spurpunkt nicht. Die Gerade liegt also echt parallel zur $yz$-Ebene.
  • $y=0$ führt zu dem Spurpunkt $S_{xz}$. Die zu lösende Gleichung lautet $0=2+2t$. Dies ist äquivalent zu $t=-1$. Dieses $t$ wird in den beiden anderen Koordinaten eingesetzt: $x=1$ und $z=3+(-1)\cdot (-1)=4$. Der Spurpunkt ist $S_{xz}(1|0|4)$.
  • $z=0$ führt zu dem Spurpunkt $S_{xy}$. Die zu lösende Gleichung lautet $0=3-t$. Dies ist äquivalent zu $t=3$. Dieses $t$ wird in den beiden anderen Koordinaten eingesetzt: $x=1$ und $y=2+3\cdot 2=8$. Der Spurpunkt ist $S_{xy}(1|8|0)$.

  Auf Grund der Parallelität zur $yz$-Ebene besitzt die Gerade nur zwei Spurpunkte.

• Bestimme die Spurpunkte der Geraden.

  Tipps

  Setze jeweils eine Koordinate $0$. Du erhältst eine Gleichung, welche du nach dem Parameter auflösen kannst.

  Den so gefundenen Parameter setzt du in die Parametergleichung der Geraden ein.

  Lösung

  Die Gerade

  $g:\vec x=\begin{pmatrix}-1 \\2\\4\end{pmatrix}+t\cdot \begin{pmatrix} 1\\4\\-2\end{pmatrix}$

  besitzt 3 Spurpunkte. Diese werden berechnet, indem jeweils eine Koordinate $0$ gesetzt wird:

  $S_{xy}:$

  • Es gilt $z=0$.
  • Die zu lösende Gleichung lautet $0=4-2t$; also ist $t=2$.
  • Dieses $t$ wird in der Parametergleichung eingesetzt und man erhält $S_{xy}(1|10|0)$.

  $S_{xz}:$

  • Es gilt $y=0$.
  • Die zu lösende Gleichung lautet $0=2+4t$; also ist $t=-0,5$.
  • Dieses $t$ wird in der Parametergleichung eingesetzt und man erhält $S_{xz}(-1,5|0|5)$.

  $S_{yz}:$

  • Es gilt $x=0$.
  • Die zu lösende Gleichung lautet $0=-1+t$; also ist $t=1$.
  • Dieses $t$ wird in der Parametergleichung eingesetzt und man erhält $S_{yz}(0|6|2)$.

• Ergänze die Definition von Spurpunkten.

  Tipps

  Wie liegt eine Gerade im Raum?

  Wie kann sie in Relation zu den Koordinatenebenen liegen?

  Stell dir in dem Raum, in welchem du dich befindest, eine Gerade in einem Koordinatensystem vor, zum Beispiel einen Lichtstrahl. Wo fällt dieser Lichtsstrahl auf die $xy$-, $xz$- und $yz$-Ebene?

  Lösung

  Spurpunkte sind die Schnittpunkte einer Geraden im Raum mit den Koordinatenebenen.

  Es kann zum Beispiel drei solcher Schnittpunkte geben. Diese werden dann wie folgt beschrieben:

  • $S_{xy}$ ist der Schnittpunkt mit der $xy$-Ebene.
  • $S_{yz}$ ist der Schnittpunkt mit der $yz$-Ebene.
  • $S_{xz}$ ist der Schnittpunkt mit der $xz$-Ebene.

  Eine Gerade kann auch nur einen oder zwei Spurpunkte besitzen. Sie kann auch unendlich viele Spurpunkte besitzen.

  • Einen Spurpunkt hat zum Beispiel eine Gerade, welche echt parallel zu genau zwei Koordinatenebenen verläuft.
  • Zwei Spurpunkte hat zum Beispiel eine Gerade, welche echt parallel zu genau einer Koordinatenebene verläuft.
  • Unendliche viele Spurpunkte hat zum Beispiel eine Gerade, welche in einer Koordinatenebene liegt.

• Bestimme die Eckpunkte des Bildes des Fensters auf dem Boden.

  Tipps

  Es sind nur die Spurpunkte der beiden Geraden mit der $xy$-Ebene zu berechnen.

  Setze jeweils $z=0$ und löse die lineare Gleichung in $t$.

  Lösung

  Es müssen jeweils die Spurpunkte mit der $xy$-Ebene berechnet werden. Das heißt, dass $z=0$ ist.

  Für $k_1$: Es ist die Gleichung $0=3+12t$ zu lösen. Also ist $t=-0,25$. Die beiden übrigen Koordinaten ergeben sich durch Einsetzen von diesem $t$:

  • $x=2+(-0,25)\cdot(-5)=3,25$ und
  • $y=4+(-0,25)\cdot 8=2$.
  • Der gesuchte Punkt ist $P_1(3,25|2|0)$.

  Für $k_2$: Es ist die Gleichung $0=3+12t$ zu lösen. Also ist $t=-0,25$. Die beiden übrigen Koordinaten ergeben sich durch Einsetzen von diesem $t$:

  • $x=-1+(-0,25)\cdot(-2)=-0,5$ und
  • $y=4+(-0,25)\cdot 8=2$.
  • Der gesuchte Punkt ist $P_2(-0,5|2|0)$.