Berechnen von Spurpunkten

Hallo, ich bin Giuliano und ich möchte mit dir zusammen Spurpunkte berechnen. Mit Spurpunkten kannst du beispielsweise berechnen, in welche Richtung ich diese Kugel hier gegen die Banden stoßen muss, um in die Tasche zu gelangen.Des Weiteren kann man mit Spurpunkten folgendes berechnen.Hier siehst du ein Rechteck im dreidimensionalen Koordinatensystem und wenn ich jetzt das Licht anschalte und parallele Strahlen auf dieses Rechteck fallen, dann kann ich mit Spurpunkten beispielsweise berechnen, welchen Schatten dieses Rechteck in der Ebene wirft.Im Folgenden erkläre ich dir erst, was Spurpunkte sind, und wir definieren die und dann zeige ich dir an Beispielen verschiedene Varianten.Jetzt möchte ich dir erklären was Spurpunkte sind. Dafür schreiben wir uns die Definition von Spurpunkten auf.Definition - Spurpunkte.Spurpunkte sind nichts anderes als, Spurpunkte sind die Schnittpunkte von Geraden mit den Koordinatenebenen.  Das möchte ich dir jetzt auch unten an einem dreidimensionalen Koordinatensystem erklären.Hier gibt es insgesamt drei Koordinatenebenen, einmal die x y Ebene, einmal y z Ebene, und einmal die x z Ebene und ich male jetzt eine beliebige Gerade hier in dieses dreidimensionale Koordinatensystem ein. Und jetzt kann man eigentlich ganz schlecht erkennen, wo genau diese Gerade durch geht, und mit Hilfe dieser Spurpunkte kann man eben in Zeichnung ziemlich genau berechnen, wo eben die Schnittpunkte mit den Koordinatenebenen sind.Und zwar gibt es potentiell drei Stück. Wir sagen jetzt einfach, hier ist der Schnittpunkt mit der x y Ebene. Ich versuche das jetzt einmal hier mit Ebenen um diesen Punkt herum einzuzeichnen.Hier ist also der Punkt S_xy. Also Schnittpunkt mit der x y Ebene. Dann gibt es noch den Schnittpunkt von dieser Geraden mit der y z Ebene, das versuche ich jetzt einmal hier einzuzeichnen. Hier auch wieder eine Ebene einzeichnen, um diesen Punkt herum. Hier ist dann der Schnittpunkt S_yz. Und schließlich hier hinten, das kann man jetzt eben nicht so gut erkennen, hier ist potentiell der Schnittpunkt, ich versuche jetzt hier eine Querebene einzuzeichnen, mit der Ebene x z. Das ist also der Schnittpunkt S_xz.Das heißt es gibt potentiell drei Schnittpunkte, S_xy, dann gibt es noch S_yz, und S_xz. Und jetzt möchte ich gerne an einem Beispiel das Ganze einmal durchrechnen.Das heißt wir schauen uns folgende Gerade an, die Gerade g mit der Parametergleichung x = (x y z) , ihr könnt alternativ x₁, x₂ und x₃ diese Koordinaten benennen bzw. diese Achsen, das ist eigentlich egal.Ich habe mich jetzt für x y z entschieden. Die Gerade g(x) = (-4 -3 12) + t * (-2 -3 4).So, als allererstes berechnen wir jetzt, wie ich es jetzt auch hier unten in der Zeichnung dargestellt habe den Schnittpunkt S_xy. Und was ist die Eigenschaft aller Punkte in dieser Ebene? Na klar, dass z = 0 ist. Das heißt wir müssen z gleich null setzen.Das bedeutet für unsere Gerade, dass wir die untere Zeile null setzen. Das heißt, 0 = 12 + 4 t. Wenn wir das Äquivalent umformen die 12 auf die andere Seite holen und dann durch 4 teilen erhalten wir t = -3.Das müssen wir jetzt zurück in die Geradengleichung einsetzen und erhalten unseren Schnittpunkt mit der x y Ebene. Das heißt, insgesamt haben wir dann (x y z) = (-4 -3 12) + (-3) * (-2 -3 4). Wenn wir das ausrechnen erhalten wir den Ortsvektor von dem Schnittpunkt S_xy.Das heißt OS_xy = (2 6 0).Kommen wir jetzt zum zweiten Spurpunkt. Dem Schnittpunkt S den Schnittpunkt von der Geraden mit der y z Ebene.Die y z Ebene, alle Punkte dieser Ebene haben die Eigenschaft, das x = 0 ist.  Das bedeutet, wir müssen die oberste Zeile gleich 0 setzen. Das heißt 0 = -4 - 2t. Wenn wir das wieder auflösen ergibt das t = -2.Das setzen wir dann wieder in unsere Geradengleichung ein, und erhalten den Ortsvektor von den Schnittpunkt S_yz. Das heißt (-4 -3 12) + (-2) * (-2 -3 4) und wenn wir das ausrechnen erhalten wir OS_yz = (0 3 4). Das heißt, die Koordinaten des Schnittpunktes sind (0 3 4).  Und jetzt noch den letzten Spurpunkt.Das ist eben der Spurpunkt S_xz. Hier ist y = 0, also müssen wir wieder null setzen. 0 = -3 - 3t  wenn wir das umformen erhalten wir t = -1.Und letztlich haben wir dann den Ortsvektor OS_xz = (-2 0 8).Jetzt haben wir die drei Schnittpunkte mit den Koordinatenebenen.Als letztes möchte ich dir noch einige Beispiele  zeigen, wo wir noch einige Varianten sehen von Geraden.Jetzt schauen wir uns die verschiedenen Möglichkeiten an, wie viele Spurpunkte eine Gerade besitzen kann.Und zwar, der erste Fall ist folgender und zwar kann eine Gerade nur einen Spurpunkt besitzen. Das ist dann der Fall, wenn die Gerade parallel zu zwei Koordinatenebenen ist.Das bedeutet also, wenn ich jetzt beispielsweise einen Stab nehme und den senkrecht auf den Boden halte und der Boden meine x y Ebene ist, dann geht dieser Stab eben nur durch die x y Ebene und ist gleichzeitig jetzt parallel zur Tafel, Das jetzt eben die z y Ebene sein kann und beispielsweise zu der Wand an meiner linken, das jetzt eben die x z Ebene sein kann.Es gibt aber auch eine zweite Möglichkeit, und die möchte ich dir an einem Beispiel einmal zeigen.Und zwar nehmen wir die Gerade g, die die folgende Form hat, der Vektor x = (0 0 0) als Stützvektor,  + t * (2 3 4).Diese Gerade hat den Stützvektor (0 0 0) was der Ursprung eines dreidimensionalen Koordinatensystems darstellt. Das heißt dieser Ursprung ist der einzige Schnittpunkt, aller drei Koordinatenebenen zusammen. Und der Richtungsvektor enthält keine Null, deswegen geht diese Gerade vom Ursprung aus in eine beliebige Richtung und deswegen gibt es nur einen Spurpunkt und zwar den Ursprung.In dem Falle, wenn ich jetzt p den allgemeinen Stützvektor einer Geraden nenne die Koordinaten eben (0 0 0) und der Richtungsvektor hat die allgemeinen Koordinaten (a b c)  wobei a, b, c ungleich null sein müssen.Kommen wir jetzt zum zweiten Fall. Die zweite Möglichkeit ist:  zwei Spurpunkte. Also eine Gerade hat zwei Spurpunkte. Dort gibt es wieder genauso zwei Möglichkeiten, genauso wie oben die erste Möglichkeit, die Gerade ist parallel zu einer Koordinatenebene.Und das möchte ich auch wieder an einem Beispiel zeigen.Das heißt wir haben die Gerade h: x Vektor = (2 3 4) + t * (1 3 0). Dieser Richtungsvektor hier, den ich jetzt auch wieder mit v bezeichne, (1 3 0) ist parallel zu der x y Ebene, weil die z Koordinate null ist. Also ist parallel zur x y Ebene. Jetzt ist ganz entscheidend, dass der Stützvektor keine null enthält, wie wir gleich im dritten Fall sehen werden. Das bedeutet diese Gerade ist parallel zur x y Ebene, und hat damit eben nur zwei Spurpunkte und keinen dritten Spurpunkt mit der x, z Ebene.Jetzt gibt es aber noch eine zweite Möglichkeit, dass eine Gerade zwei Spurpunkte besitzt. Und zwar wenn ein Spurpunkt auf einer Koordinatenachse liegt. Die Achse, z.B. wenn wir hier die y-Achse nehmen, gehört einmal zur x y Ebene und einmal zur y z Ebene, das heißt wenn da ein Spurpunkt drauf ist, haben wir keine zwei Spurpunkte sondern nur einen Spurpunkt für beide Ebenen.Jetzt kommen wir zum dritten Fall, den habe ich ja eben schon ein wenig angedeutet und zwar ist das "unendlich" Spurpunkte. Eine Gerade hat genau dann unendliche Spurpunkte, wenn die Gerade selber in einer Koordinatenebene liegt.Dazu wollen wir uns auch ein Beispiel angucken.Und zwar nehmen wir dafür die Gerade l: Vektor x = (0 2 4) + t * (0 1 3).Jetzt ist hier die erste Zeile enthält eine Null, das heißt es gibt keine x Werte. Das heißt wenn ich jetzt den Spurpunkt von y z ausrechnen müsste, setze ich x gleich Null dann steht da aber, 0 = 0, und das ist für alle x erfüllt. Das bedeutet eben, dass diese komplette Gerade in der z y Ebene liegt und damit habe ich eben unendlich viele Spurpunkte.Kommen wir nun zum letzten Fall, das ist in Anführungsstrichen jetzt der Fall den wir schon gemacht haben.Und zwar, sind das eben 3 Spurpunkte, hier vorne seht ihr das nochmal in diesem dreidimensionalen Koordinatensystem, mit den 3 Spurpunkten.Jetzt möchte ich nochmal wiederholen was du heute gelernt hast:Wir haben zu Beginn Spurpunkte definiert, und zwar sind Spurpunkte nichts anderes als die Schnittpunkte von Geraden mit den Koordinatenebenen. Dann haben wir an einer Beispielgerade mit drei Spurpunkten die drei Spurpunkte auch berechnet und als letztes haben wir die verschiedenen Möglichkeiten gesehen, wie viele Spurpunkte eine Gerade besitzen kann.Ich hoffe, dass du alles verstanden hast, bis zum nächsten Mal. Dein Giuliano