Spurpunkte - Billard Bandenspiel

Spurpunkte - Billard Bandenspiel Übung

• Beschreibe, wie der Punkt berechnet werden kann, an welchem die Billardkugel auf die obere Bande trifft.

  Tipps

  Die erste Koordinate eines Punktes der Geraden ist die $x$-Koordinate, die zweite die $y$-Koordinate.

  Der Punkt liegt auf der oberen Bande. Welchen $y$-Wert hat der Punkt?

  Lösung

  Die Parametergleichung der Geraden lautet:

  $g:\vec x =\begin{pmatrix} 4,5 \\ 2 \end{pmatrix}+\alpha\cdot\begin{pmatrix} 5 \\ 4 \end{pmatrix}$.

  Da die Kugel an die obere Bande stößt, muss der Punkt die $y$-Koordinate $y=8$ besitzen. Dies führt zu der Gleichung $8=2+4\alpha$. Diese Gleichung wird nach $\alpha$ umgestellt und man erhält $\alpha=1,5$.

  Dieses $\alpha$ wird in der Geradengleichung eingesetzt:

  $\vec x =\begin{pmatrix} 4,5 \\ 2 \end{pmatrix}+1,5\cdot\begin{pmatrix} 5 \\ 4 \end{pmatrix}$.

  Also ist $S_1(12|8)$ der gesuchte Punkt.

• Gib die vier Punkte an, an welchen die Billardkugel die Banden berührt.

  Tipps

  Die Punkte der unteren Bande haben die $y$-Koordinate $y=0$.

  Die Punkte der oberen Bande haben die $y$-Koordinate $y=8$.

  Die Punkte der linken Bande haben die $x$-Koordinate $x=0$.

  Die Punkte der rechten Bande haben die $x$-Koordinate $x=16$.

  Zeichne die sechs Punkte in ein Koordinatensystem ein und überlege dir, ob die Punkte auf den Banden liegen.

  Lösung

  Die Punkte

  • der unteren Bande sind von der Form $(x|0)$,
  • der oberen Bande sind von der Form $(x|8)$,
  • der linken Bande sind von der Form $(0|y)$ und
  • der rechten Bande sind von der Form $(16|y)$.

  Wir wollen exemplarisch den Spurpunkt auf der rechten Bande berechnen. Wir gehen bereits davon aus, dass wir den Spurpunkt $S_1$ mit der oberen Bande als $S_1(12|8)$ bereits bestimmt haben. Die Parametergleichung der Geraden zur Berechnung des Schnittpunktes $S_2$ lautet:

  $h:\vec x =\begin{pmatrix} 12 \\ 8 \end{pmatrix}+\beta\cdot\begin{pmatrix} 5 \\ -4 \end{pmatrix}$.

  Der Stützvektor ist hierbei durch den Ortsvektor des Punktes $S_1$ gegeben. Den Richtungsvektor können wir uns anhand des Reflexionsgesetzes an der oberen Bande bestimmen: Wenn wir vorher 5 Einheiten nach rechts und 4 Einheiten nach oben gehen, müssen wir im Anschluss 5 Einheiten nach rechts und 4 Einheiten nach unten gehen.

  Da die Kugel an die rechte Bande stößt, muss der Punkt die $x$-Koordinate $x=16$ besitzen. Dies führt zu der Gleichung $16=12+5\beta$. Diese Gleichung wird nach $\beta$ umgestellt und man erhält $\beta=0,8$.

  Dieses $\beta$ wird in der Geradengleichung eingesetzt:

  $\vec x =\begin{pmatrix} 12 \\ 8 \end{pmatrix}+0,8\cdot\begin{pmatrix} 5 \\ -4 \end{pmatrix}$.

  Also ist $S_2(16|4,8)$ der Schnittpunkt mit der rechten Bande.

  Ebenso können die übrigen Schnittpunkte $S_1(12|8)$, $S_3(10|0)$ sowie $S_4(0|8)$, die linke obere Tasche, berechnet werden.

  $P(4,5|2)$ liegt auf dem Billardtisch und $(5|4)$ sind die Koordinaten des Richtungsvektors der ersten Bewegung der Billardkugel.

• Berechne die Spurpunkte der Geraden $g$ in der Ebene.

  Tipps

  Überlege, wie ein Punkt auf der x-Achse aussieht. Welche Koordinate ist $0$?

  Sowohl für die Bestimmung von $S_x$ als auch $S_y$ ist eine Gleichung zu lösen.

  Du erhältst einen Wert für den Parameter $t$.

  Durch Einsetzen des gefundenen Parameters kann der jeweilige Spurpunkt angegeben werden.

  Lösung

  Um Spurpunkte zu berechnen, muss jeweils eine Gleichung nach dem Parameter $t$ aufgelöst werden.

  Zur Bestimmung von $S_x$:

  • Es muss $y=0$ sein.
  • Zu lösen ist die Gleichung $0=3-t$.
  • Also ist $t=3$.
  • Dieser Parameter wird in der Parametergleichung eingesetzt.
  • Der Spurpunkt ist $S_x(9|0)$.

  Zur Bestimmung von $S_y$:

  • Es muss $x=0$ sein.
  • Zu lösen ist die Gleichung $0=3+2t$.
  • Also ist $t=-1,5$.
  • Dieser Parameter wird in der Parametergleichung eingesetzt.
  • Der Spurpunkt ist $S_y(0|4,5)$.

• Charakterisiere die Eigenschaften von Spurpunkten in der Ebene und im Raum.

  Tipps

  Überlege dir einen beliebigen Punkt im Koordinatensystem auf der $x$-Achse. Welche Koordinate ist $0$?

  Gib einen Punkt der $xy$-Koordinatenebene an. Welche Koordinaten müssen $0$ sein?

  Lösung

  Spurpunkte sind definiert als Schnittpunkte von Geraden

  • mit den Koordinatenachsen in der Ebene oder
  • mit den Koordinatenebenen im Raum.

  Zur Berechnung von Spurpunkten ist es gut zu wissen, wie Punkte der Koordinatenachsen oder -ebenen aussehen:

  • Ein Punkt der $x$-Achse in der Ebene ist $(x|0)$. Die $y$-Koordinate ist also Null.
  • Ein Punkt der $y$-Achse in der Ebene ist $(0|y)$. Die $x$-Koordinate ist also Null.
  • Ein Punkt der $xy$-Koordinatenebene ist $(x|y|0)$. Die $z$-Koordinate ist also Null.
  • Ein Punkt der $xz$-Koordinatenebene ist $(x|0|z)$. Die $y$-Koordinate ist also Null.
  • Ein Punkt der $yz$-Koordinatenebene ist $(0|y|z)$. Die $x$-Koordinate ist also Null.

  Der entsprechende Spurpunkt hat die gleiche Form und Eigenschaft.

• Gib an, was Spurpunkte sind.

  Tipps

  Der Billardtisch ist rechteckig. Die längere Seite ist doppelt so lang wie die kürzere.

  Zwei Seiten des Rechteckes liegen auf den Koordinatenachsen.

  Die Berechnung der Schnittpunkte mit den zu den Koordinatenachsen parallelen Seiten des Billardtisches verläuft ähnlich wie die Berechnung von Spurpunkten. Die entsprechende Koordinate ist, anders als bei Spurpunkten, ungleich $0$.

  Lösung

  Spurpunkte sind die Schnittpunkt von Geraden in der Ebene mit den Koordinatenachsen.

  Da zwei Banden des Billardtisches mit den Ecken $(0|0)$, $(16|0)$, $(0|8)$ und $(16|8)$ nicht auf den Koordinatenachsen liegen, kann man in diesem Zusammenhang nicht von Spurpunkten sprechen.

  Die Berechnung verläuft aber ähnlich:

  • bei Spurpunkten ist die entsprechenden Koordinate $0$. Es wird eine Gleichung mit $0$ auf der linken Seite gelöst.
  • bei den Schnittpunkten mit den Banden des Billardtisches, welche nicht auf den Koordinatenachsen liegen, wird eine Gleichung mit einer von Null verschiedenen linken Seite gelöst, wie zum Beispiel $x=16$ zur Bestimmung des Schnittpunktes mit der rechten Bande.

• Bestimme den Punkt auf dem Boden, auf welchem der Lichtstrahl auftrifft.

  Tipps

  Der gesuchte Punkt liegt in der $xy$-Koordinatenebene.

  Bestimme zunächst die Parametergleichung der Geraden bis zu der Glasscheibe, dann den Schnittpunkt mit der Glasscheibe und schließlich die Parametergleichung der Geraden von der Scheibe zum Boden.

  Die Parametergleichung der Geraden bis zu der Glasscheibe lautet:

  $g:\vec x =\begin{pmatrix} -3 \\ 5\\ 12 \end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ -2\end{pmatrix}$.

  Der Punkt, in welchem der Lichtstrahl auf die Scheibe trifft, ist $Q(0|2|6)$.

  Die Parametergleichung der Geraden von der Scheibe zum Boden lautet:

  $h:\vec x =\begin{pmatrix} 0 \\ 2\\ 6 \end{pmatrix}+s\cdot\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ -2\end{pmatrix}$.

  Lösung

  Zunächst stellt man die Gerade auf, welche den Weg des Lichtstrahls bis zur Scheibe beschreibt. Der Ortsvektor des Punktes der Lichtquelle ist der Stützvektor und die vorgegebene Richtung der Richtungsvektor:

  $g:\vec x =\begin{pmatrix} -3 \\ 5\\ 12 \end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ -2\end{pmatrix}$.

  Da der Lichtstrahl auf eine Glasscheibe trifft, welche sich in der $yz$-Koordinatenebene befindet, muss $x=0$ sein. Dies führt zu der Gleichung: $0=-3+t$, also $t=3$.

  Dieser Parameter wird in der Geradengleichung eingesetzt und es ergibt sich der Punkt $Q(0|2|6)$, in welchem der Lichtstrahl auf die Scheibe trifft.

  Der Ortsvektor dieses Punktes ist der Stützvektor der Geraden, welche den Weg des Lichtstrahls hinter der Scheibe beschreibt, und die Richtung der Ablenkung den Richtungsvektor:

  $h:\vec x =\begin{pmatrix} 0 \\ 2\\ 6 \end{pmatrix}+s\cdot\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ -2\end{pmatrix}$.

  Nun muss $z=0$ sein, da der Punkt auf dem Boden, der $xy$-Koordinatenebene gesucht ist. Dies führt zu der Gleichung $0=6-2s$, also $s=3$.

  Dieser Parameter wird in der Parametergleichung eingesetzt und man erhält den gesuchten Punkt:

  $S_{xy}(3|-4|0)$.