Additionssatz für Wahrscheinlichkeiten

Additionssatz für Wahrscheinlichkeiten Übung

• Bestimme die gesuchten Wahrscheinlichkeiten beim Skat.

  Tipps

  • $A \cup B$: Die gezogene Karte hat die Farbe Kreuz oder ist ein Bube.
  • $A \cap B$: Die gezogene Karte ist ein Kreuzbube.

  $13$ von $52$ Karten sind Kreuzkarten.
  $4$ von $52$ Karten sind Buben.

  Lösung

  Wir betrachten das gegebene Beispiel:
  Aus einem Skatblatt mit $52$ Karten wird eine Karte gezogen.
  Frage: Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird eine Kreuzkarte oder ein Bube gezogen?

  Wir benennen die Ereignisse wie folgt:

  • $A$: Die gezogene Karte hat die Farbe Kreuz.
  • $B$: Die gezogene Karte ist ein Bube.

  Dementsprechend gilt für die Vereinigungsmenge:

  • $A \cup B$: Die gezogene Karte hat die Farbe Kreuz oder ist ein Bube.

  Und für die Schnittmenge gilt:

  • $A \cap B$: Die gezogene Karte ist ein Kreuzbube.

  Der Additionssatz für Wahrscheinlichkeiten lautet:

  $P(A \cup B) = {P(A) + P(B) - P(A \cap B)}$

  In Worten: Die Wahrscheinlichkeit der Vereinigung der Ereignisse $A$ und $B$ ist gleich der Wahrscheinlichkeit von $A$ plus die Wahrscheinlichkeit von $B$ abzüglich der Wahrscheinlichkeit der Schnittmenge von $A$ und $B$.

  Wir bestimmen also die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten:

  $13$ von $52$ Karten sind Kreuzkarten:
  $P(A)= \dfrac{13}{52}$

  $4$ von $52$ Karten sind Buben:
  $P(B)= \dfrac{4}{52}$

  $1$ von $52$ Karten ist ein Kreuzbube:
  $P(A \cap B)= \dfrac{1}{52}$

  Wir setzen in die Formel ein und erhalten:

  $P(A \cup B) = {P(A) + P(B) - P(A \cap B)} = \dfrac{13}{52} + \dfrac{4}{52} - \dfrac{1}{52} = \dfrac{16}{52}$

  Antwort: Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine Kreuzkarte oder ein Bube gezogen wird, beträgt $\frac{16}{52}$.

• Gib den Additionssatz für Wahrscheinlichkeiten an.

  Tipps

  Wenn wir lediglich die Wahrscheinlichkeiten von $A$ und $B$ addieren, dann zählen wir die Wahrscheinlichkeiten für die Ergebnisse, die sowohl in $A$ als auch in $B$ liegen, doppelt.

  Die Schnittmenge der beiden Mengen $A$ und $B$ umfasst alle Elemente, die in der Menge $A$ und in der Menge $B$ enthalten sind.

  Die Vereinigungsmenge der beiden Mengen $A$ und $B$ schließt alle Elemente ein, die in der Menge $A$ oder in der Menge $B$ oder in beiden Mengen enthalten sind.

  Lösung

  Der Additionssatz für Wahrscheinlichkeiten lautet:

  $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - \color{#99CC00}{P(A \cap B)}$

  In Worten: Die Wahrscheinlichkeit der Vereinigung der Ereignisse $A \cup B$ ist gleich der Wahrscheinlichkeit von $A$ plus die Wahrscheinlichkeit von $B$ abzüglich der Wahrscheinlichkeit der Schnittmenge von $A \cap B$.

  Begründung:

  Wenn wir lediglich die Wahrscheinlichkeiten von $A$ und $B$ addieren, dann zählen wir die Wahrscheinlichkeiten für die Ergebnisse, die sowohl in $A$ als auch in $B$ liegen, doppelt.
  Die Wahrscheinlichkeit, die wir in Summe erhalten, ist dann ggf. zu groß. Daher ziehen wir die Wahrscheinlichkeit der Schnittmenge von dieser Summe wieder ab.

  Spezialfall:

  Die Ereignisse $A$ und $B$ können auch keine beziehungsweise eine leere Schnittmenge haben:

  $P(A \cap B) = \color{#99CC00}{\{~\}}$

  In diesem Fall ist die Wahrscheinlichkeit der Vereinigungsmenge einfach gleich der addierten Wahrscheinlichkeiten von $A $ und $B$:

  $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$

  Hinweis: Zwei Ereignisse, die eine leere Schnittmenge haben, werden in der Mathematik auch disjunkt oder unvereinbar genannt.

• Berechne die gesuchten Wahrscheinlichkeiten.

  Tipps

  Berechne zuerst die Wahrscheinlichkeiten der vier gegebenen Ereignisse.

  Verwende diese Übersicht, um dir die Verknüpfungen der Ereignisse zu veranschaulichen.

  Die Und-Verknüpfungen lauten wie folgt:

  • $A \cap B$: Die Karte ist eine Herzdame.
  • $A \cap C$: Die Karte ist eine Herz $2$, $3$ oder $4$.
  • $A \cap D$: Die Karte ist eine Herzkarte, aber kein Ass.
  • $B \cap C$: Dies ist nicht möglich.
  • $B \cap D$: Die Karte ist eine Dame.
  • $C \cap D$: Die Karte ist kleiner als $5$.

  Lösung

  Additionssatz für Wahrscheinlichkeiten:

  Die Wahrscheinlichkeit der Vereinigung der Ereignisse $A$ und $B$ ist gleich der Wahrscheinlichkeit von $A$ plus die Wahrscheinlichkeit von $B$ abzüglich der Wahrscheinlichkeit der Schnittmenge von $A$ und $B$:

  $P(A \cup B) = {P(A) + P(B) - P(A \cap B)}$

  Um den Satz auf die gegebenen Beispiele anzuwenden, berechnen wir zunächst die Wahrscheinlichkeiten der gegebenen Ereignisse:

  • $A$: Die gezogene Karte ist eine Herzkarte.

  $\quad P(A)=\dfrac{13}{52}$

  • $B$: Die gezogene Karte ist eine Dame.

  $\quad P(B)=\dfrac{4}{52}$

  • $C$: Die gezogene Karte ist eine Zahl kleiner als $5$.

  $\quad P(C)=\dfrac{12}{52}$

  • $D$: Die gezogene Karte ist kein Ass.

  $\quad P(D)=\dfrac{48}{52}$

  Nun formulieren wir die Ereignisse der Und-Verknüpfungen und bestimmen deren Wahrscheinlichkeiten. Der Vollständigkeit halber werden alle Verknüpfungen betrachtet:

  • $A \cap C$: Die Karte ist eine Herz $2$, $3$ oder $4$.

  $\quad P(A \cap C) = \dfrac{3}{52}$

  • $A \cap D$: Die Karte ist eine Herzkarte, aber kein Ass.

  $\quad P(A \cap D) = \dfrac{12}{52}$

  • $B \cap C$: Dies ist nicht möglich.

  $\quad P(B \cap C) = 0$

  • $B \cap D$: Die Karte ist eine Dame.

  $\quad P(B \cap D) = \dfrac{4}{52}$

  Jetzt formulieren wir alle Ereignisse der Oder-Verknüpfungen und ermitteln deren Wahrscheinlichkeiten mithilfe der bereits bestimmten Werte:

  • $A \cup C$: Die Karte ist eine Herzkarte oder eine Zahl kleiner als $5$.

  $P(A \cup C) = {P(A) + P(C) - P(A \cap C)} = \dfrac{13}{52} + \dfrac{12}{52} - \dfrac{3}{52} = \dfrac{22}{52} = \color{#99CC00}{\dfrac{11}{26}}$

  • $A \cup D$: Die Karte ist eine Herzkarte oder kein Ass.

  $P(A \cup D) = {P(A) + P(D) - P(A \cap D)} = \dfrac{13}{52} + \dfrac{48}{52} - \dfrac{12}{52} = \color{#99CC00}{\dfrac{49}{52}}$

  • $B \cup C$: Die Karte ist eine Dame oder eine Zahl kleiner als $5$.

  $P(B \cup C) = {P(B) + P(C) - P(B \cap C)} = \dfrac{4}{52} + \dfrac{12}{52} - 0 = \dfrac{16}{52} = \color{#99CC00}{\dfrac{4}{13}}$

  • $B \cup D$: Die Karte ist kein Ass.

  $P(B \cup D) = {P(B) + P(D) - P(B \cap D)} = \dfrac{4}{52} + \dfrac{48}{52} - \dfrac{4}{52} = \dfrac{48}{52} = \color{#99CC00}{\dfrac{12}{13}}$

  Genauso kannst du die Wahrscheinlichkeit der weiteren Verknüpfungen berechnen:

  • $A \cap B$: Die Karte ist eine Herzdame.

  $\quad P(A \cap B) = \dfrac{1}{52}$

  • $A \cup B$: Die Karte ist eine Herzkarte oder eine Dame.

  $P(A \cup B) = {P(A) + P(B) - P(A \cap B)} = \dfrac{13}{52} + \dfrac{4}{52} - \dfrac{1}{52} = \dfrac{16}{52} = \dfrac{4}{13}$

  
  

  • $C \cap D$: Die Karte ist kleiner als $5$.

  $\quad P(C \cap D) = \dfrac{12}{52}$

  • $C \cup D$: Die Karte ist kein Ass.

  $P(C \cup D) = {P(C) + P(D) - P(C \cap D)} = \dfrac{12}{52} + \dfrac{48}{52} - \dfrac{12}{52} = \dfrac{48}{52} = \dfrac{12}{13}$

• Überprüfe die Aussagen zu den Wahrscheinlichkeiten.

  Tipps

  Definiere jeweils zuerst passende Ereignisse $A$ und $B$. Formuliere die Schnittmenge und die Vereinigungsmenge.

  Bestimme dann die Wahrscheinlichkeiten $P(A)$, $P(B)$ und $P(A \cap B)$. Setze die Werte in den Additionssatz für Wahrscheinlichkeiten ein.

  Es sind zwei Aussagen richtig.

  Lösung

  Erste Aussage

  Mit einer Wahrscheinlichkeit von $\dfrac{13}{40}$ wird eine rote Kugel oder eine $3$ gezogen.

  Wir definieren die Ereignisse:

  • $A$: Die gezogene Kugel ist rot.
  • $B$: Die gezogene Kugel ist eine $3$.

  Somit gilt:

  • $A \cap B$: Die gezogene Kugel ist eine rote $3$.
  • $A \cup B$: Die gezogene Kugel ist rot oder eine $3$.

  Nun bestimmen wir die Wahrscheinlichkeiten:

  • $P(A) = \dfrac{10}{40} \qquad P(B) = \dfrac{4}{40}$
  • $P(A \cap B) = \dfrac{1}{40}$

  Wir wenden den Additionssatz für Wahrscheinlichkeiten an:

  $P(A \cup B) = {P(A) + P(B) - P(A \cap B)} = \dfrac{10}{40} + \dfrac{4}{40} - \dfrac{1}{40} = \dfrac{13}{40}$

  $\longrightarrow$ Die Aussage ist richtig:

  Mit einer Wahrscheinlichkeit von $\dfrac{13}{40}$ wird eine rote Kugel oder eine $3$ gezogen.

  Zweite Aussage

  Mit einer Wahrscheinlichkeit von $\dfrac{13}{20}$ wird eine rote Kugel oder eine gerade Zahl gezogen.

  Wir definieren die Ereignisse:

  • $A$: Die gezogene Kugel ist rot.
  • $B$: Die gezogene Kugel ist eine gerade Zahl.

  Demnach gilt:

  • $A \cap B$: Die gezogene Kugel ist eine gerade Zahl und rot.
  • $A \cup B$: Die gezogene Kugel ist rot oder eine gerade Zahl.

  Jetzt bestimmen wir die Wahrscheinlichkeiten:

  • $P(A) = \dfrac{10}{40} \qquad P(B) = \dfrac{20}{40}$
  • $P(A \cap B) = \dfrac{5}{40}$

  Wir wenden den Additionssatz für Wahrscheinlichkeiten an:

  $P(A \cup B) = {P(A) + P(B) - P(A \cap B)} = \dfrac{10}{40} + \dfrac{20}{40} - \dfrac{5}{40} = \dfrac{25}{40} = \dfrac{5}{8}$

  $\longrightarrow$ Die Aussage ist falsch:

  Mit einer Wahrscheinlichkeit von $\dfrac{5}{8}$ wird eine rote Kugel oder eine gerade Zahl gezogen.

  Dritte Aussage

  Mit einer Wahrscheinlichkeit von $\dfrac{5}{40}$ wird eine $5$ oder eine gelbe Kugel gezogen.

  Wir definieren die Ereignisse:

  • $A$: Die gezogene Kugel ist eine $5$.
  • $B$: Die gezogene Kugel ist gelb.

  Somit gilt:

  • $A \cap B$: Die gezogene Kugel ist eine gelbe $5$.
  • $A \cup B$: Die gezogene Kugel ist gelb oder eine $5$.

  Dann bestimmen wir die Wahrscheinlichkeiten:

  • $P(A) = \dfrac{4}{40} \qquad P(B) = \dfrac{10}{40}$
  • $P(A \cap B) = \dfrac{1}{40}$

  Wir wenden den Additionssatz für Wahrscheinlichkeiten an:

  $P(A \cup B) = {P(A) + P(B) - P(A \cap B)} = \dfrac{4}{40} + \dfrac{10}{40} - \dfrac{1}{40} = \dfrac{13}{40}$

  $\longrightarrow$ Die Aussage ist falsch:

  Mit einer Wahrscheinlichkeit von $\dfrac{13}{40}$ wird eine $5$ oder eine gelbe Kugel gezogen.

  Vierte Aussage

  Mit einer Wahrscheinlichkeit von $\dfrac{1}{5}$ wird eine $5$ oder eine $8$ gezogen.

  Wir definieren die Ereignisse:

  • $A$: Die gezogene Kugel ist eine $5$.
  • $B$: Die gezogene Kugel ist eine $8$.

  Demnach gilt:

  • $A \cap B$: Dies ist nicht möglich. Die gezogene Kugel kann nicht eine $5$ UND eine $8$ sein.
  • $A \cup B$: Die gezogene Kugel ist $5$ oder eine $8$.

  Anschließend bestimmen wir die Wahrscheinlichkeiten:

  • $P(A) = \dfrac{4}{40} \qquad P(B) = \dfrac{4}{40}$
  • $P(A \cap B) = 0$

  Es handelt sich hierbei um einen Sonderfall des Additionssatzes für Wahrscheinlichkeiten. Da die Schnittmenge leer ist, gilt:

  $P(A \cup B) = {P(A) + P(B)} = \dfrac{4}{40} + \dfrac{4}{40} = \dfrac{8}{40} = \dfrac{1}{5}$

  $\longrightarrow$ Die Aussage ist richtig:

  Mit einer Wahrscheinlichkeit von $\dfrac{1}{5}$ wird eine $5$ oder eine $8$ gezogen.

• Gib jeweils an, welche Zahlen in der Vereinigungsmenge und in der Schnittmenge sind.

  Tipps

  Hier siehst du die Veranschaulichung der Schnittmenge $A \cap B$ (gelb) zweier Mengen $A$ und $B$.

  Hier siehst du die Veranschaulichung der Vereinigungsmenge $A \cup B$ (gelb) zweier Mengen $A$ und $B$.

  Lösung

  Wir können die zwei gegebenen Mengen $A$ und $B$ wie folgt miteinander verknüpfen:

  Die Schnittmenge

  Die Schnittmenge der beiden Mengen $A$ und $B$ ist in der Abbildung links gelb markiert. Sie umfasst alle Elemente, die in der Menge $A$ und in der Menge $B$ enthalten sind. Daher sprechen wir von einer UND-Verknüpfung.

  Die Vereinigungsmenge

  Die Vereinigungsmenge der beiden Mengen $A$ und $B$ ist in der Abbildung rechts gelb markiert. Sie schließt alle Elemente ein, die in der Menge $A$ oder in der Menge $B$ oder in beiden Mengen enthalten sind. Daher sprechen wir von einer ODER-Verknüpfung.

  Wir betrachten somit die beiden Beispiele:

  Beispiel 1

  $A=\{2; 5; 9\} \quad B=\{1; 2; 4; 5 \} $
  $A \cup B = \{\color{#99FF32}{1; 2; 4; 5; 9}\color{black}{\}}$
  $A \cap B =\{ \color{#66D8FF}{2; 5}\color{black}{\}}$

  Beispiel 2

  $A=\{30\} \quad B=\{20; 30; 40 \} $
  $A \cup B = \{\color{#99FF32}{20; 30; 40}\color{black}{\}}$
  $A \cap B = \{\color{#66D8FF}{30}\color{black}{\}}$

• Vervollständige den Additionssatz für Wahrscheinlichkeiten für drei Ereignisse.

  Tipps

  Erstelle ein solches Diagramm für drei Ereignisse $A$, $B$ und $C$.

  Lösung

  Wir kennen bereits den Additionssatz für Wahrscheinlichkeiten für zwei Ereignisse:

  $P(A \cup B) = {P(A) + P(B) - P(A \cap B)}$

  Wir addieren dabei die Wahrscheinlichkeiten von $A$ und $B$ und ziehen die Wahrscheinlichkeit der Schnittmenge, also der Ergebnisse, die sowohl in $A$ als auch in $B$ liegen, wieder ab.

  Um den Additionssatz für Wahrscheinlichkeiten für drei Ereignisse herzuleiten, betrachten wir das entsprechende Venn-Diagramm in der Abbildung:

  Wir sehen, dass wir auch hier die Wahrscheinlichkeiten der Schnittmengen $A \cap B$, $A \cap C$ und $B \cap C$ abziehen müssen, da sie ansonsten doppelt gezählt würden. Der innere Bereich, also $A \cap B \cap C$, würde dann jedoch dreimal subtrahiert und wäre nicht mehr berücksichtigt. Daher müssen wir diese Wahrscheinlichkeit $P(A \cap B \cap C)$ noch addieren.

  Insgesamt lautet der Additionssatz für Wahrscheinlichkeiten für drei Ereignisse darum:

  ${P(A \cup B \cup C)}= P(A) \color{#99CC00}{~+~} \color{black}{P(B)} \color{#99CC00}{~+~} \color{black}{P(C)} \color{#99CC00}{~-~} \color{black}{P(A \cap B)} \color{#99CC00}{~-~} \color{black}{P(A \cap C)} \color{#99CC00}{~-~} \color{black}{P(B \cap C)} \color{#99CC00}{~+~} \color{black}{P(A \cap B \cap C)}$