Verknüpfungen von Ereignissen – UND vs. ODER

Verknüpfungen von Ereignissen – UND vs. ODER Übung

• Benenne die abgebildeten Verknüpfungen.

  Tipps

  Die Schnittmenge zweier Ereignisse $A$ und $B$ enthält alle Ergebnisse, die sowohl in $A$ als auch in $B$ liegen.

  Lösung

  Wir betrachten als Beispiel die beiden Mengen

  • $A= \{4,5,6\}$
  • $B= \{1,3,5\}$

  Wir können die beiden gegebenen Mengen $A$ und $B$ wie folgt miteinander verknüpfen:

  Die Schnittmenge
  Die Schnittmenge der beiden Mengen $A$ und $B$ ist in der Abbildung links gelb markiert. Sie enthält alle Elemente, die in der Menge $A$ und in der Menge $B$ enthalten sind. Daher sprechen wir von einer UND-Verknüpfung.
  Wir sagen auch $A$ geschnitten $B$ und schreiben: $\color{#669900}{A \cap B}$
  Im Beispiel: $A \cap B = \{5\}$

  Die Vereinigungsmenge
  Die Vereinigungsmenge der beiden Mengen $A$ und $B$ ist in der Abbildung rechts gelb markiert. Sie enthält alle Elemente, die in der Menge $A$ oder in der Menge $B$ oder in beiden Mengen enthalten sind. Daher sprechen wir von einer ODER-Verknüpfung.
  Wir sagen auch $A$ vereinigt $B$ und schreiben: $\color{#669900}{A \cup B}$
  Im Beispiel: $A \cup B = \{1,3,4,5,6\}$

• Beschreibe die Verknüpfungen der Mengen $A$ und $B$.

  Tipps

  $A=\{3,6,9,12,15,18\}$

  $B=\{15,16,17,18,19,20\}$

  Die Vereinigungsmenge von $A$ und $B$ enthält jedes Ergebnis, das entweder in $A$ oder in $B$ oder in beiden Ereignissen enthalten ist.

  Lösung

  Um die Aussagen zu den Verknüpfungen zu überprüfen, schreiben wir zuerst die beiden Ereignisse $A$ und $B$ aus:

  $A$: Die gewürfelte Augenzahl ist durch $3$ teilbar.
  $A=\{3,6,9,12,15,18\}$

  $B$: Die gewürfelte Augenzahl ist größer als $14$.
  $B=\{15,16,17,18,19,20\}$

  Die Schnittmenge von $A$ und $B$:
  Die Schnittmenge zweier Ereignisse $A$ und $B$ enthält alle Ergebnisse, die sowohl in $A$ als auch in $B$ liegen.
  In unserem Fall sind die Zahlen $15$ und $18$ in beiden Mengen enthalten. Wir schreiben also:
  $A \cap B = \{15,18\}$
  Die Aussage „Die Schnittmenge enthält genau zwei Zahlen“ ist hier richtig.
  Wir können nun auch die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis $A \cap B$ berechnen, denn wir wissen, dass es in $2$ der insgesamt $20$ möglichen Ausgänge eintritt, also:
  $P(A\cap B) = \dfrac{2}{20} = \dfrac{1}{10}$

  Die Vereinigungsmenge von $A$ und $B$:
  Die Vereinigungsmenge von $A$ und $B$ enthält jedes Ergebnis, das entweder in $A$ oder in $B$ oder in beiden Ereignissen enthalten ist.
  In unserem Fall schreiben wir:
  $A \cup B = \{3,6,9,12,15,16,17,18,19,20\} \quad \Rightarrow \quad$ Diese Aussage ist richtig.
  Die Aussage „Die Vereinigungsmenge enthält alle Zahlen von $1$ bis $20$“ ist hingegen falsch, da wir uns auf die Ereignisse $A$ und $B$ beziehen müssen und nicht alle möglichen Ausgänge des Zufallsexperimentes betrachten dürfen.
  Wir können auch erkennen, dass in der Schnittmenge weniger Elemente enthalten sind als in der Vereinigungsmenge. Die Aussage „Die Schnittmenge ist größer als die Vereinigungsmenge.“ ist somit falsch.
  Wir können nun auch die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis $A \cup B$ berechnen, denn wir wissen, dass die Vereinigungsmenge $10$ der insgesamt $20$ möglichen Ausgänge enthält:
  $P(A\cup B) = \dfrac{1}{2} \quad \Rightarrow \quad$ Diese Aussage ist richtig.

• Bestimme die Ergebnisse, welche in den verknüpften Ereignissen enthalten sind.

  Tipps

  Für $A \cup B$ gilt:

  Die Mengen lauten wie folgt:

  $A=\{1,2,3,4,5\}$
  $B=\{5,10\}$
  $C=\{10,11,12\}$

  Enthalten zwei Ereignismengen $E_1$ und $E_2$ keine gemeinsamen Ergebnisse, dann ist ihre Schnittmenge leer.

  Wir schreiben: $E_1 \cap E_2 = \{~\}$

  Lösung

  Wir schreiben zunächst die gegebenen Ereignisse aus:

  $A$: Es wird eine Zahl kleiner als $6$ gezogen.
  $A=\{1,2,3,4,5\}$

  $B$: Es wird eine durch $5$ teilbare Zahl gezogen.
  $B=\{5,10\}$

  $C$: Es wird eine zweistellige Zahl gezogen.
  $C=\{10,11,12\}$

  Die Schnittmenge
  Die Schnittmenge zweier Ereignisse $A$ und $B$ enthält alle Ergebnisse, die sowohl in $A$ als auch in $B$ liegen.
  $A \cap B $

  Die Vereinigungsmenge:
  Die Vereinigungsmenge von $A$ und $B$ enthält jedes Ergebnis, das entweder in $A$ oder in $B$ oder in beiden Ereignissen enthalten ist.
  $A \cup B $

  Wir schreiben nun die Verknüpfungen als Mengen aus:

  • $A \cap B = \{5\}$

  Nur die Zahl $5$ ist in beiden Ereignissen enthalten.

  • $A \cap C = \{~\}$

  Es gibt keine Zahl, die in beiden Ereignissen enthalten ist. Die Menge ist daher leer.

  • $B \cup C = \{5,10,11,12\}$

  Wir schreiben sowohl die Zahlen aus der Menge $B$ als auch aus der Menge $C$ auf. Zahlen, die in beiden Mengen vorkommen, schreiben wir nur einmal auf.

  • $B \cap C = \{10\}$

  Nur die Zahl $10$ ist in beiden Ereignissen enthalten.

  • $A \cup B = \{1,2,3,4,5,10\}$

  Wir schreiben sowohl die Zahlen aus der Menge $A$ als auch aus der Menge $B$ auf. Zahlen, die in beiden Mengen vorkommen, schreiben wir nur einmal auf.

• Berechne die Wahrscheinlichkeiten von Schnitt und Vereinigung.

  Tipps

  Schreibe zunächst die in den einzelnen Ergebnissen enthaltenen Zahlen auf und ermittle dann die Schnitt- bzw. Vereinigungsmengen.

  Nur die Zahl $5$ steht auf einem roten Feld.

  Du kannst die Anzahl der in dieser Menge enthaltenen Ergebnisse durch die Gesamtanzahl der Ergebnisse dividieren, um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen.

  Lösung

  Um die Wahrscheinlichkeiten von verknüpften Ereignissen zu bestimmen, ermitteln wir erst die in der Schnitt- oder Vereinigungsmenge enthaltenen Elemente. Anschließend können wir die Anzahl der in dieser Menge enthaltenen Ergebnisse durch die Gesamtanzahl der Ergebnisse dividieren, um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen.

  In unserer Aufgabe schreiben wir zunächst die gegebenen Ereignisse aus:

  $A$: Es wird eine gerade Zahl getroffen.
  $A=\{2,4,6\}$

  $B$: Es wird kein rotes Feld getroffen.
  $B=\{1,2,3,4,6,7\}$

  $C$: Es wird eine Zahl kleiner als $6$ getroffen.
  $C=\{1,2,3,4,5\}$

  Wir schreiben nun die Verknüpfungen als Mengen aus und berechnen dann die Wahrscheinlichkeiten:

  • $A \cap B = \{2,4,6\}$

  Hier sind $3$ der insgesamt $7$ möglichen Ergebnisse enthalten, also: $P(A \cap B) = \dfrac{3}{7}$

  • $A \cup C = \{1,2,3,4,5,6\}$

  Hier sind $6$ der insgesamt $7$ möglichen Ergebnisse enthalten, also: $P(A \cup C) = \dfrac{6}{7}$

  • $B \cap C = \{1,2,3,4\}$

  Hier sind $4$ der insgesamt $7$ möglichen Ergebnisse enthalten, also: $P(B \cap C) = \dfrac{4}{7}$

  • $C \cap A = \{2,4\}$

  Hier sind $2$ der insgesamt $7$ möglichen Ergebnisse enthalten, also: $P(C \cap A) = \dfrac{2}{7}$

• Gib die zu den Ereignissen gehörenden Ergebnismengen an.

  Tipps

  Unterscheide zwischen größer und größer oder gleich.

  Lösung

  Häufig ist ein Ereignis in Worten gegeben. Um Verknüpfungen zu bilden oder Berechnungen anzustellen, ist es dann sinnvoll, die Ergebnismenge zu dem Ereignis aufzuschreiben. Darin sind alle Ergebnisse enthalten, auf die das Ereignis zutrifft.

  Wir betrachten den Würfelwurf. Möglich sind hier insgesamt die Zahlen $1$–$6$, die Ergebnismenge lautet also:
  $\Omega = \{1,2,3,4,5,6\}$

  Wir betrachten nun die beschriebenen Ereignisse:

  Es wird eine gerade Zahl geworfen.
  Die Zahlen $2$, $4$ und $6$ sind gerade. Diese müssen wir markieren.
  $\color{#99CC00}{E_1 = \{2, 4, 6\}}$

  Es wird eine Zahl kleiner als $2$ geworfen.
  Da $2$ selbst nicht kleiner als $2$ ist, müssen wir nur die Zahl $1$ markieren.
  $\color{#99CC00}{E_2 = \{1\}}$

  Es wird keine $5$ geworfen.
  Wir müssen alle Zahlen außer $5$ markieren, also die $1$, $2$, $3$, $4$ und $6$.
  $\color{#99CC00}{E_3 = \{1, 2, 3, 4, 6\}}$

  Es wird eine Zahl größer oder gleich $5$ geworfen.
  Hier müssen wir die $5$ und die $6$ markieren.
  $\color{#99CC00}{E_4 = \{5, 6\}}$

• Ermittle, welche Mengen durch die gegebenen Verknüpfungen entstehen.

  Tipps

  In der Schnittmenge $(N \cap P)$ sind die Zahlen $20$ und $22$ enthalten.

  Bestimme bei einer mehrfachen Verknüpfung zuerst die innere Verknüpfung in der Klammer und wende danach die äußere Verknüpfung an.

  Lösung

  Um die Mengen richtig zuzuordnen, müssen wir die beiden folgenden Verknüpfungen kennen:

  Schnittmenge: Die Schnittmenge zweier Ereignisse $A$ und $B$ enthält alle Ergebnisse, die sowohl in $A$ als auch in $B$ liegen: $A \cap B$
  Vereinigungsmenge: Die Vereinigungsmenge von $A$ und $B$ enthält jedes Ergebnis, das entweder in $A$ oder in $B$ oder in beiden Ereignissen enthalten ist: $A \cup B$
  Wir beginnen stets mit den Verknüpfungen, die in Klammern stehen.

  Wir betrachten die Verknüpfungen der Mengen:

  • $M=\{3,18,25\}$
  • $N=\{18,19,20,21,22\}$
  • $P=\{20,22\}$

  
  

  Verknüpfung 1: $\color{#669900}{(M \cup N) \cap N = N}$
  In $(M \cup N)$ sind sowohl die Elemente aus $M$, als auch die Elemente aus $N$ enthalten. Wenn wir daraus die Schnittmenge mit $N$ bilden, erhalten wir wiederum die Menge $N$.
  $(M \cup N) \cap N = \{3,18,19,20,21,22,25\}\cap\{18,19,20,21,22\} = \{18,19,20,21,22\} = N$

  Verknüpfung 2: $\color{#669900}{(M \cup N) \cup N = M \cup N}$
  In $M \cup N$ sind sowohl die Elemente aus $M$ als auch die Elemente aus $N$ enthalten. Wenn wir diese Vereinigungsmenge nochmals mit $N$ vereinigen, passiert nichts, wir behalten die Menge $M \cup N$.
  $(M \cup N) \cup N = \{3,18,19,20,21,22,25\}\cup\{18,19,20,21,22\} = \{3,18,19,20,21,22,25\} = M \cup N$

  Verknüpfung 3: $\color{#669900}{(N \cap P) \cup M = \{3,18,20,22,25\}}$
  In der Schnittmenge $N \cap P$ sind die Zahlen $20$ und $22$ enthalten. Wenn wir daraus die Schnittmenge mit $M$ bilden, müssen wir die Ergebnisse aus $M$ noch hinzufügen.
  $(N \cap P) \cup M = \{20,22\}\cup\{3,18,25\} = \{3,18,20,22,25\}$

  Verknüpfung 4: $\color{#669900}{(M \cap P) \cup P = P}$
  In $M \cap P$ sind alle Elemente enthalten, die sowohl in $M$ als auch in $P$ sind. Alle Elemente hieraus sind also in $P$ enthalten. Wenn wir diese mit der Menge $P$ vereinigen, so erhalten wir wiederum die Menge $P$.
  $(M \cap P) \cup P = \{20,22\}\cup\{20,22\} = \{20,22\} = P$

  Verknüpfung 5: $\color{#669900}{(N \cap M) \cup (N \cap P) = \{18, 20, 22\}}$
  In $N \cap M$ ist nur die Zahl $18$ enthalten. In $N \cap P$ sind die Zahlen $20$ und $22$ enthalten. Alle drei Zahlen bilden gemeinsam die gesuchte Menge.
  $(N \cap M) \cup (N \cap P) = \{18\}\cup\{20, 22\} = \{18,20,22\}$

  Verknüpfung 6: $\color{#669900}{(M \cup N) \cap (M \cap N) = M \cap N}$
  Hier schneiden wir die Schnittmenge von $M$ und $N$ mit der Vereinigungsmenge von $M$ und $N$ und erhalten wiederum die Schnittmenge.
  $(M \cup N) \cap (M \cap N) = \{3,18,19,20,21,22,25\}\cap\{18\} = \{18\} = M \cap N$