Ähnlichkeitssätze für Dreiecke – Beispiel (2)

Ähnlichkeitssätze für Dreiecke – Beispiel (2) Übung

• Beschreibe, wie du zwei Dreiecke auf Ähnlichkeit untersuchen kannst.

  Tipps

  Es gibt auch noch den Hauptähnlichkeitssatz:

  „Zwei Dreiecke sind ähnlich, wenn sie in zwei Winkeln übereinstimmen.“

  Übrigens stimmen sie dann in allen Winkeln überein.

  Sei ein Dreieck weder gleichschenklig noch gleichseitig, dann gibt es eine kürzeste, eine mittlere und eine längste Seite.

  Die Seitenlängen entsprechen in ihrer Ordnung der Größe der gegenüberliegenden Winkel.

  Der Sinussatz in einem beliebigen Dreieck besagt:

  $\frac{a}{\sin(\alpha)}=\frac{b}{\sin(\beta)}=\frac{c}{\sin(\gamma)}$.

  Mit dem Sinussatz und dem Hauptähnlichkeitssatz kannst du folgern, dass die einander entsprechenden Seiten auch den gleichen gegenüberliegenden Winkel haben müssen.

  Lösung

  Der Ähnlichkeitssatz SSS lautet:

  „Zwei Dreiecke sind zueinander ähnlich, wenn alle Seitenverhältnisse aller einander entsprechender Seiten übereinstimmen.“

  Man muss zunächst herausfinden, welche Seiten der beiden Dreiecke einander entsprechen. Dies sind

  • die jeweils kürzesten Seiten,
  • die jeweils zweitkürzesten Seiten sowie
  • die jeweils längsten Seiten

  Nun werden die Verhältnisse der Seiten zueinander bestimmt: Man dividiert hierfür eine Seite des einen Dreiecks durch die entsprechende Seite des anderen Dreiecks.

  • Entweder stimmen alle Verhältnisse überein: Dann sind die Dreiecke ähnlich zueinander.
  • Oder die Verhältnisse stimmen nicht überein: Dann sind die Dreiecke nicht ähnlich zueinander.

• Gib an, ob die beiden Dreiecke ähnlich zueinander sind.

  Tipps

  Der Hauptähnlichkeitssatz besagt, dass zwei Dreiecke ähnlich zueinander sind, wenn sie in zwei Winkeln übereinstimmen.

  Hier sind bei beiden Dreiecken die drei Seiten gegeben.

  Ordne die Seiten des jeweiligen Dreiecks der Größe nach, beginne mit der kürzesten.

  Es ist nicht wichtig, ob du eine Seite des blauen durch die entsprechende Seite des roten Dreieck dividierst oder umgekehrt. Aber bleibe bei einer Reihenfolge.

  Alle erhaltenen Seitenverhältnisse müssen übereinstimmen. Dann sind die Dreiecke ähnlich zueinander, ansonsten sind sie nicht ähnlich zueinander.

  Lösung

  Da bei beiden Dreiecken die drei Seiten gegeben sind, wird der Ähnlichkeitssatz SSS verwendet:

  „Zwei Dreiecke sind zueinander ähnlich, wenn alle Seitenverhältnisse aller einander entsprechender Seiten übereinstimmen.“

  Zunächst werden die Verhältnisse einander entsprechender Seiten berechnet. Dabei ist es egal, ob eine Seite des blauen durch die entsprechende des roten Dreiecks dividiert wird oder umgekehrt. Du musst nur eine Reihenfolge beibehalten.

  • Die kürzeste Seite des blauen Dreiecks ist $6~cm$ lang, die kürzeste Seite des roten Dreiecks $4~cm$. Somit ergibt sich das Verhältnis: $\frac{6~cm}{4~cm}=\frac64=\frac32$.
  • Die zweitkürzeste Seite des blauen Dreiecks ist $7,5~cm$ lang, die zweitkürzeste Seite des roten Dreiecks $5~cm$. Somit ergibt sich das Verhältnis: $\frac{7,5~cm}{5~cm}=\frac{7,5}5=\frac32$.
  • Die längste Seite des blauen Dreiecks ist $8~cm$ lang, die längste Seite des roten Dreiecks $6~cm$. Somit ergibt sich das Verhältnis: $\frac{8~cm}{6~cm}=\frac86=\frac43$.

  Die Seitenverhältnisse stimmen also nicht alle überein. Das bedeutet, dass diese beiden Dreiecke nicht ähnlich zueinander sind.

• Bestimme die Länge der Seite so, dass die beiden Dreiecke ähnlich zueinander sind.

  Tipps

  Am Ende steht der Antwortsatz.

  Es wird der Ähnlichkeitssatz SSS verwendet:

  „Zwei Dreiecke sind zueinander ähnlich, wenn alle Seitenverhältnisse aller einander entsprechender Seiten übereinstimmen.“

  Die Gleichung, in welcher $x$ vorkommt, kann nach $x$ umgeformt werden.

  Wenn du Gleichungen umformst, tust du dies mithilfe von Äquivalenzumformungen.

  Du kannst mit einer Probe überprüfen, ob deine Rechnung stimmt: Das berechnete $x$, dividiert durch die längste Seite des roten Dreiecks $6~cm$, muss $\frac32$ ergeben.

  Lösung

  Wenn $x$ die längste Seite des blauen Dreiecks ist, dann gilt die folgende Ordnung der Seiten in dem blauen Dreieck:

  1. $6~cm$
  2. $7,5~cm$
  3. $x$

  Die Reihenfolge in dem roten Dreieck ist gegeben durch

  1. $4~cm$
  2. $5~cm$
  3. $6~cm$

  Nun werden die Verhältnisse der Seiten zueinander bestimmt:

  • $\frac{6~cm}{4~cm}=\frac64=\frac32$
  • $\frac{7,5~cm}{5~cm}=\frac{7,5}4=\frac32$

  Diese beiden Verhältnisse sind identisch. Das bedeutet, dass auch das Verhältnis der beiden längsten Seiten $\frac32$ betragen muss:

  $\frac x{6~cm}=\frac32$.

  Durch Multiplikation mit $6~cm$ erhält man

  $x=\frac32\cdot 6~cm=9~cm$.

  Die längste Seite in dem blauen Dreieck muss also $9~cm$ lang sein, damit das rote und das blaue Dreieck ähnlich zueinander sind.

• Berechne jeweils die fehlende Seite.

  Tipps

  Berechne jeweils das Seitenverhältnis der einen bekannten Seite (in dem grünen sowie dem orangen Dreieck) zu der entsprechend anderen Seite in dem roten Dreieck.

  Beachte, dass die Ordnung in den Dreiecken (kürzeste, zweikürzeste und längste Seite) auch bei den neu berechneten Seiten gelten muss.

  Du erhältst jeweils eine Gleichung mit der unbekannten Seitenlänge.

  Forme diese Gleichung um.

  Lösung

  In dem grünen Dreieck ist die Seite $10~cm$ bekannt. Damit kann das Seitenverhältnis

  $\frac{10~cm}{4~cm}=\frac{10}4=\frac52$

  berechnet werden.

  Es gilt also

  • $\frac a{5~cm}=\frac52$. Multiplikation mit $5~cm$ führt zu $a=12,5~cm$.
  • $\frac b{6~cm}=\frac52$. Multiplikation mit $6~cm$ führt zu $b=15~cm$.

  Ebenso können die fehlenden Seiten in dem orangen Dreieck berechnet werden. Bekannt ist die Seite $1,2~cm$.

  Dies führt zu dem Seitenverhältnis

  $\frac{1,2~cm}{6~cm}=\frac15$.

  Es gilt also

  • $\frac c{5~cm}=\frac15$. Multiplikation mit $5~cm$ führt zu $c=1~cm$.
  • $\frac d{4~cm}=\frac15$. Multiplikation mit $4~cm$ führt zu $d=0,8~cm$.

• Benenne den Satz, der besagt, dass die beiden Dreiecke ähnlich zueinander sind.

  Tipps

  Der Satz des Pythagoras gilt ausschließlich in rechtwinkligen Dreiecken. Er besagt, dass die Summe der Kathetenquadrate gleich dem Hypotenusenquadrat ist.

  Der Höhensatz und der Kathetensatz gehören zu der Satzgruppe des Pythagoras. Auch diese Sätze gelten in rechtwinkligen Dreiecken.

  Der Satz des Thales besagt, dass jeder Punkt $C$ auf dem Halbkreis über der Strecke $\overline{AB}$ mit den Endpunkten der Strecke ein rechtwinkliges Dreieck bildet mit dem rechten Winkel in $C$.

  Lösung

  Du kannst den Strahlensatz in dieser Abbildung nachvollziehen.

  Zwei Strahlen, die von dem Punkt $A$ ausgehen, werden von Parallelen geschnitten. Es entstehen so die beiden Dreiecke $\Delta_{ABC}$ und $\Delta_{ADE}$.

  Nach dem Strahlensatz stimmen die Verhältnisse einander entsprechender Seiten in diesen beiden Dreiecken überein.

  Dies ist gerade die Aussage des Ähnlichkeitssatzes SSS. Daraus folgt, dass die beiden Dreiecke $\Delta_{ABC}$ und $\Delta_{ADE}$ ähnlich zueinander sind.

• Prüfe die Eigenschaften von verschiedenen Dreiecken.

  Tipps

  In einem gleichseitigen Dreieck sind alle Seiten gleich lang.

  Es gibt rechtwinklige gleichschenklige Dreiecke. Solche Dreiecke sind gleichzeitig rechtwinklig und gleichschenklig.

  Es gibt auch gleichschenklige Dreiecke, die nicht rechtwinklig sind.

  Wenn du dir unsicher bist, ob eine Aussage stimmt oder nicht, überlege dir gegebenenfalls ein Gegenbeispiel.

  Bei einem gleichseitigen Dreieck sind alle Winkel gleich groß, nämlich $60^\circ$.

  Drei Aussagen sind richtig.

  Lösung

  In dieser Aufgabe sollen spezielle Dreiecke auf Ähnlichkeit überprüft werden.

  Sind alle gleichschenkligen Dreiecke ähnlich zueinander? Sicherlich nicht:

  1. Es gibt nämlich Dreiecke, die gleichzeitig rechtwinklig und gleichschenklig sind. Bei diesen Dreiecken sind die beiden übrigen Winkel gleich groß, nämlich $45^\circ$.
  2. Ein gleichseitiges Dreieck ist insbesondere auch gleichschenklig: Alle Winkel sind gleich groß, nämlich $60^\circ$.

  Das bedeutet, dass diese Dreiecke (obwohl sie gleichschenklig sind) nicht ähnlich sein können wegen des Hauptähnlichkeitssatzes.

  Wenn ein gleichschenkliges Dreieck auch noch rechtwinklig ist, dann sind die beiden übrigen Winkel gleich groß: $45^\circ$. Nach dem Hauptähnlichkeitssatz sind solche Dreiecke also ähnlich.

  In gleichseitigen Dreiecken sind alle Winkel gleich groß, nämlich $60^\circ$. Damit sind alle gleichseitigen Dreiecke ähnlich zueinander. Die Ähnlichkeit kann auch mit dem Ähnlichkeitssatz SSS bewiesen werden. Die Seiten des einen Dreiecks seien $a$ lang, die des anderen $b$. Damit gilt für alle Seitenverhältnisse $\frac ab$. Also sind die Verhältnisse immer gleich.

  Es sind nicht alle rechtwinkligen Dreiecke ähnlich zueinander: Ein rechtwinkliges Dreiecke habe die Seitenlängen $3~cm$, $4~cm$ und $5~cm$, ein anderes $5~cm$, $12~cm$ und $13~cm$: Jedoch ist $\frac{5~cm}{3~cm}\neq \frac{12~cm}{4~cm}$.

  In dem letzten Beispiel wird das pythagoreische Tripel $3$, $4$ und $5$ betrachtet sowie Vielfache von diesem Tripel. Es gilt

  $3^2+4^2=5^2$.

  Jedes Dreieck mit den Seitenlängen $3c$, $4c$ und $5c$ ist ebenfalls rechtwinklig. Umgekehrt gilt für die Seitenverhältnisse:

  $\frac{3c}3=\frac{4c}4=\frac{5c}5=c$.

  Also sind diese Dreiecke ähnlich zueinander.