Brüche und Dezimalzahlen ordnen

Brüche und Dezimalzahlen ordnen Übung

• Vervollständige den Text zum Ordnen von Brüchen und Dezimalzahlen.

  Tipps

  Von zwei gleichnamigen Brüchen ist derjenige größer, der den größeren Wert im Zähler hat.

  Beim Vergleichen von Dezimalzahlen betrachten wir die Stellen von links nach rechts, bis sich die beiden Zahlen in einer Stelle unterscheiden.

  Lösung

  Es gibt zwei Möglichkeiten, Brüche und Dezimalzahlen der Größe nach zu ordnen:

  • Eine Methode ist, alle Zahlen in Brüche umzuwandeln.
  • Die andere Methode ist, alle Zahlen in Dezimalzahlen umzuwandeln.

  Bei Brüchen ist zu beachten, dass sie gleichnamig gemacht werden müssen. Zum Schluss müssen wir nur noch die Zähler miteinander vergleichen und ordnen.
  Es gilt $\dfrac{2}{3} = \dfrac{200}{300}$ ist größer als $\dfrac{7}{100} = \dfrac{21}{300}$, da $200$ größer ist als $21$.

  Bei Dezimalzahlen schauen wir uns zuerst die Vorkommastellen und dann die Nachkommastellen an. Wir vergleichen also Stelle für Stelle von links nach rechts.
  Es gilt $0,1$ ist größer als $0,07$, da bei beiden Zahlen die Stelle vor dem Komma eine $0$ ist und darauf bei $0,1$ die $1$ und bei $0,07$ eine weitere $0$ folgt.

• Bringe die Brüche und Dezimalzahlen in die richtige Reihenfolge.

  Tipps

  Wandle zuerst alle Zahlen in Brüche oder alle Zahlen in Dezimalzahlen um.

  Brüche mit gleichem Nenner kannst du anhand der Zähler ordnen.

  $\dfrac{1}{3}= 0,333... = 0,\bar{3}$

  Du kannst Dezimalbrüche in Brüche umwandeln, indem du die Zahl ohne Komma in den Zähler des Bruchs schreibst und im Nenner eine Zehnerpotenz ergänzt, also eine Eins mit so vielen Nullen, wie die Dezimalzahl Nachkommastellen hat.

  Beispiel:

  $0,3 = \dfrac{3}{10}$

  Lösung

  Es gibt zwei Möglichkeiten, Brüche und Dezimalzahlen der Größe nach zu ordnen: Du kannst alle Zahlen in Brüche oder alle Zahlen in Dezimalzahlen umwandeln.

  Bei Brüchen musst du diese zunächst gleichnamig machen. Brüche mit gleichem Nenner kannst du dann nach der Größe der Zähler ordnen.
  Bei Dezimalzahlen musst du dir die Vor- und Nachkommastellen anschauen. Dabei vergleichst du die Zahlen von links nach rechts Stelle für Stelle miteinander. Die erste Stelle, in der sich zwei Zahlen unterscheiden, gibt dir dann an, wie sie zu ordnen sind.

  Wenn du alle Zahlen als Brüche schreibst, erhältst du:

  $\dfrac{2}{3}$, $\dfrac{6}{5}$, $0,07 = \dfrac{7}{100}$, $0,25 = \dfrac{25}{100} = \dfrac{1}{4}$ und $0,1 = \dfrac{1}{10}$

  Für den gemeinsamen Nenner wählen wir $300$, das kleinste gemeinsame Vielfache von $3$ und $100$.

  Nach dem Erweitern erhalten wir:

  $\dfrac{2}{3} = \dfrac{200}{300}$, $\dfrac{6}{5} = \dfrac{360}{300}$, $\dfrac{7}{100} = \dfrac{21}{300}$, $\dfrac{1}{4} = \dfrac{75}{300}$ und $\dfrac{1}{10} = \dfrac{30}{300}$

  Die Zähler lassen sich folgendermaßen ordnen:

  $21$, $30$, $75$, $200$, $360$

  Wenn du alle Zahlen als Dezimalzahlen schreibst, dann erhältst du:

  $\dfrac{2}{3} = 0,66... = 0,\bar{6}$, $\dfrac{6}{5} = 1,2$, $0,07$, $0,25$ und $0,1$

  Vor dem Komma stimmen bis auf $1,2$ alle Zahlen mit $0$ überein. Daher muss $1,2$ die letzte Zahl sein.

  Vergleichst du die erste Nachkommastelle der verbleibenden Zahlen, lassen sich diese folgendermaßen ordnen:

  $0$, $1$, $2$ und $6$

  Insgesamt erhalten wir mit beiden Methoden diese Ordnung:

  $0,07 < 0,1 < 0,25 < \dfrac{2}{3} < \dfrac{6}{5}$

• Ermittle die Position der angegebenen Zahlen, sodass die Ordnung erhalten bleibt.

  Tipps

  Wandle alle Zahlen in Dezimalzahlen um. Dann kannst du sie Stelle für Stelle vergleichen.

  Zur Umwandlung erweiterst du einen Bruch zunächst auf eine Stufenzahl im Nenner. Dann kannst du ihn als Dezimalzahl schreiben:
  $\dfrac{3}{5} = \dfrac{3 \cdot 2}{5 \cdot 2} = \dfrac{6}{10} = 0,6$

  Lösung

  Es gibt zwei Möglichkeiten, Brüche und Dezimalzahlen der Größe nach zu ordnen: Du kannst alle Zahlen in Brüche oder alle Zahlen in Dezimalzahlen umwandeln.

  Bei Brüchen musst du diese zuerst gleichnamig machen. Brüche mit gleichem Nenner kannst du dann nach der Größe der Zähler ordnen.
  Bei Dezimalzahlen musst du dir die Vor- und Nachkommastellen anschauen. Dabei vergleichst du die Zahlen von links nach rechts Stelle für Stelle miteinander. Die erste Stelle, in der sich zwei Zahlen unterscheiden, gibt dir dann an, wie sie zu ordnen sind.

  Wenn du alle Zahlen als Dezimalzahlen schreibst, dann erhältst du:

  $0,02$, $0,23$, $\dfrac{3}{4} = \dfrac{75}{100} = 0,75$, $0,6$, $\dfrac{1}{5} = \dfrac{2}{10} = 0,2$ und $\dfrac{5}{2} = \dfrac{25}{10} = 2,5$

  Vor dem Komma stimmen bis auf $2,5$ alle Zahlen mit $0$ überein. Deshalb muss $2,5$ die letzte Zahl sein.
  Vergleichst du die erste Nachkommastelle der verbleibenden Zahlen, lassen sich diese folgendermaßen ordnen:

  $0$, $2$, $6$ und $7$

  Für die beiden Zahlen mit $2$ hinter dem Komma schaust du dir noch die nächste Stelle an. Das ist bei $0,23$ eine $3$ und bei $0,2 = 0,20$ eine $0$. Daher kommt $0,2$ vor $0,23$.

  Wenn du alle Zahlen als Brüche schreibst, dann erhältst du:

  $0,02 = \dfrac{2}{100} = \dfrac{1}{50}$, $0,23 = \dfrac{23}{100}$, $\dfrac{3}{4}$, $0,6 = \dfrac{60}{100} = \dfrac{3}{5}$, $\dfrac{1}{5}$ und $\dfrac{5}{2}$

  Für den gemeinsamen Nenner wählen wir $100$, da $50$, $4$, $5$ und $2$ Teiler von $100$ sind. Nach dem Erweitern ergibt sich:

  $\dfrac{1}{50} = \dfrac{2}{100}$, $\dfrac{23}{100}$, $\dfrac{3}{4} = \dfrac{75}{100}$, $\dfrac{3}{5} = \dfrac{60}{100}$, $\dfrac{1}{5} = \dfrac{20}{100}$ und $\dfrac{5}{2} = \dfrac{250}{100}$

  Die Zähler lassen sich wie folgt ordnen:

  $2$, $20$, $23$, $60$, $75$, $250$

  Insgesamt erhalten wir mit beiden Methoden diese Ordnung:

  $0,02 < \dfrac{1}{5} < 0,23 < 0,6 <\dfrac{3}{4} < \dfrac{5}{2}$

• Untersuche die Aussagen zur Ordnung von Brüchen und Dezimalzahlen.

  Tipps

  Bei Dezimalzahlen musst du die Stellen nacheinander vergleichen.

  Um Brüche zu vergleichen, machst du sie zuerst gleichnamig.

  Bei einer Dezimalzahl können am Ende beliebig Nullen eingefügt werden, ohne dass sich die Zahl verändert.

  Lösung

  Folgende Aussagen sind richtig:

  • Beim Vergleichen von Dezimalzahlen betrachten wir zuerst, was vor dem Komma steht.

  Wir schauen uns beim Vergleichen von Dezimalzahlen die einzelnen Stellen von links nach rechts an. Wir beginnen also vor dem Komma. Zum Beispiel kommt $1,2$ nach $0,7$, da vor dem Komma bei $0,7$ mit $0$ die kleinere Zahl steht als bei $1,2$.

  • Brüche können, wenn sie den gleichen Nenner haben, nach der Größe der Zähler geordnet werden. Zum Beispiel kommt $\dfrac{3}{14}$ vor $\dfrac{9}{14}$, da $3$ kleiner ist als $9$.

  Beim Vergleichen von gleichnamigen Brüchen reicht es, die Zähler zu betrachten. Die Brüche $\dfrac{15}{29}$, $\dfrac{3}{29}$ und $\dfrac{20}{29}$ lassen sich also folgendermaßen ordnen:
  $\dfrac{3}{29} < \dfrac{15}{29} < \dfrac{20}{29}$
  Denn für die Zähler gilt ebenfalls die Reihenfolge $3 < 15 < 20$.

  Folgende Aussagen sind falsch:

  • $0,253$ muss hinter $0,35$ eingeordnet werden, weil $253$ größer ist als $35$.

  Wenn wir $0,253$ und $0,35$ ordnen wollen, müssen wir die Stellen einzeln nacheinander betrachten. Vor dem Komma haben beide eine $0$, danach sehen wir eine $2$ und eine $3$, daher ist $0,253$ vor $0,35$ einzuordnen.

  • Brüche können, wenn sie den gleichen Zähler haben, nach der Größe der Nenner geordnet werden. Zum Beispiel kommt $\dfrac{1}{2}$ vor $\dfrac{1}{7}$, da $2$ kleiner ist als $7$.

  Wenn wir bei $\dfrac{1}{2}$ und $\dfrac{1}{7}$ auf den gemeinsamen Nenner $14$ erweitern, dann stellen wir fest:
  $\dfrac{1}{2} = \dfrac{7}{14}$ und $\dfrac{1}{7} = \dfrac{2}{14}$
  Es muss also $2$ vor $7$ und demnach auch $\dfrac{1}{7}$ vor $\dfrac{1}{2}$ kommen.

  • Die Zahlen $0,32$, $0,3$ und $0,325$ kann man nicht ordnen, da sie alle in der ersten Stelle nach dem Komma übereinstimmen.

  Die Zahlen $0,32$, $0,3$ und $0,325$ können wir stellenweise vergleichen, indem wir sie um Endnullen ergänzen:
  $0,32 = 0,320$ und $0,3 = 0,300$
  Dann stimmen alle in der $0$ vor und der $3$ direkt hinter dem Komma überein, danach unterscheiden sie sich.
  Wir erhalten die Ordnung $0,3 < 0,32 < 0,325$.

• Gib an, welche Zahlen vor $0,25$ kommen, wenn du sie der Größe nach ordnest.

  Tipps

  Die Dezimalzahlen kannst du direkt Stelle für Stelle mit $0,25$ vergleichen.

  Um bei den Brüchen zu entscheiden, kannst du sie in Dezimalzahlen umwandeln oder $0,25$ als Bruch schreiben und vergleichen.

  Lösung

  Es gibt zwei Möglichkeiten, Brüche und Dezimalzahlen der Größe nach zu ordnen: Du kannst alle Zahlen in Brüche oder alle Zahlen in Dezimalzahlen umwandeln.

  Bei Brüchen musst du diese zunächst gleichnamig machen. Brüche mit gleichem Nenner kannst du dann nach der Größe der Zähler ordnen.
  Bei Dezimalzahlen musst du dir die Vor- und Nachkommastellen anschauen. Dabei vergleichst du die Zahlen von links nach rechts Stelle für Stelle miteinander. Die erste Stelle, in der sich zwei Zahlen unterscheiden, gibt dir dann an, wie sie zu ordnen sind.

  1. Vergleich der Dezimalzahlen mit $0,25$:

  • $0,07$ und $0,25$ stimmen in der $0$ vor dem Komma überein. Nach dem Komma folgen eine $0$ und eine $2$. Darum ist $0,07$ vor $0,25$ einzuordnen.
  • $1,2$ und $0,25$ unterscheiden sich bereits vor dem Komma. Weil $1$ größer als $0$ ist, ist $1,2$ hinter $0,25$ einzuordnen.

  2. Vergleich der Brüche mit $0,25 = \dfrac{25}{100} = \dfrac{1}{4}$ als Dezimalzahlen:

  • $\dfrac{1}{10} = 0,1$ und $0,25$ stimmen in der $0$ vor dem Komma überein. Danach kommen eine $1$ und eine $2$. Deshalb ist $\dfrac{1}{10}$ vor $0,25$ einzuordnen.
  • $\dfrac{2}{3} = 0,66... = 0,\bar{6}$ und $0,25$ stimmen in der $0$ vor dem Komma überein. Dann kommen eine $6$ und eine $2$. Daher ist $\dfrac{2}{3}$ hinter $0,25$ einzuordnen.

  3. Vergleich der Brüche mit $0,25 = \dfrac{25}{100} = \dfrac{1}{4}$ als Brüche:

  • $\dfrac{1}{10}$ und $\dfrac{1}{4}$ bringen wir zunächst auf den gemeinsamen Nenner $20$:

  $\dfrac{1}{10} = \dfrac{1 \cdot 2}{10 \cdot 2} = \dfrac{2}{20}$ und $\dfrac{1}{4} = \dfrac{1 \cdot 5}{4 \cdot 5} = \dfrac{5}{20}$
  Da $2$ kleiner ist als $5$, ist $\dfrac{1}{10}$ vor $0,25$ einzuordnen.

  • $\dfrac{2}{3}$ und $\dfrac{1}{4}$ bringen wir zuerst auf den gemeinsamen Nenner $12$:

  $\dfrac{2}{3} = \dfrac{2 \cdot 4}{3 \cdot 4} = \dfrac{8}{12}$ und $\dfrac{1}{4} = \dfrac{1 \cdot 3}{4 \cdot 3} = \dfrac{3}{12}$
  Weil $8$ größer ist als $3$, ist $\dfrac{2}{3}$ hinter $0,25$ einzuordnen.

• Bringe die Brüche und Dezimalzahlen in die korrekte Reihenfolge.

  Tipps

  Bei der Umwandlung in Dezimalzahlen brauchst du nur so viele Nachkommastellen, dass du die Zahlen vergleichen kannst.

  Versuche, Brüche immer erst zu kürzen. Dann findest du einen möglichst kleinen gemeinsamen Nenner.

  Lösung

  Es gibt zwei Möglichkeiten, Brüche und Dezimalzahlen der Größe nach zu ordnen: Du kannst alle Zahlen in Brüche oder alle Zahlen in Dezimalzahlen umwandeln.

  Bei Brüchen musst du diese zunächst gleichnamig machen. Brüche mit gleichem Nenner kannst du dann nach der Größe der Zähler ordnen.
  Bei Dezimalzahlen musst du dir die Vor- und Nachkommastellen anschauen. Dabei vergleichst du die Zahlen von links nach rechts Stelle für Stelle miteinander. Die erste Stelle, in der sich zwei Zahlen unterscheiden, gibt dir an, wie sie zu ordnen sind.

  Wenn du alle Zahlen als Dezimalzahlen schreibst, dann erhältst du:

  $0,45$, $1,3$, $3,1$, $\dfrac{1}{2} = \dfrac{5}{10} = 0,5$, $\dfrac{16}{5} = \dfrac{32}{10} = 3,2$ und $\dfrac{3}{7} = 0,428571... = 0,\overline{428571}$.

  Ein Vergleich der Stellen zunächst vor und anschließend nach dem Komma liefert:

  $0,\overline{428571}$, $0,45$, $0,5$, $1,3$, $3,1$ und $3,2$

  Wenn du alle Zahlen als Brüche schreibst, dann erhältst du:

  $0,45 = \dfrac{45}{100} = \dfrac{9}{20}$, $1,3 = \dfrac{13}{10}$, $3,1 = \dfrac{31}{10}$, $\dfrac{1}{2}$, $\dfrac{16}{5}$ und $\dfrac{3}{7}$

  Für den gemeinsamen Nenner wählen wir $20 \cdot 7 = 140$. Nach dem Erweitern erhalten wir:

  $\dfrac{9}{20} = \dfrac{63}{140}$, $\dfrac{13}{10} = \dfrac{182}{140}$, $\dfrac{31}{10} = \dfrac{434}{140}$, $\dfrac{1}{2} = \dfrac{70}{140}$, $\dfrac{16}{5} = \dfrac{448}{140}$ und $\dfrac{3}{7} = \dfrac{60}{140}$

  Die Zähler lassen sich folgendermaßen ordnen:

  $60 < 63 < 70 < 182 < 434 < 448$

  Insgesamt erhalten wir mit beiden Methoden diese Ordnung:

  $\dfrac{3}{7} < 0,45 < \dfrac{1}{2} < 1,3 < 3,1 < \dfrac{16}{5}$.