Brüche vergleichen

Brüche vergleichen Übung

• Gib an, wie Brüche verglichen werden.

  Tipps

  Generell gibt der Nenner eines Bruchs die Anzahl an gleich großen Teilen eines Ganzen an.

  Bei Brüchen sind alle Teile gleich groß. Hat ein Bruch einen kleineren Nenner, wurde das Ganze in weniger Teile zerteilt. Die einzelnen Teile sind dann größer.

  Lösung

  Beim Vergleichen von Brüchen gilt:

  • Haben zwei Brüche denselben Nenner, dann ist der Bruch größer, bei dem der Zähler größer ist, da er für mehr gleichgroße Zeile steht.
    $\dfrac{4}{7} \lt \dfrac57$
  • Haben zwei Brüche denselben Zähler, dann ist der Bruch größer, bei dem der Nenner kleiner ist, da er für die selbe Anzahl an größeren Teilen steht.
    $\dfrac{4}{7} \lt \dfrac45$
  • Haben zwei Brüche verschiedenen Zähler und verschiedenen Nenner, dann musst du die Brüche kürzen oder erweitern, um sie zu vergleichen.

• Beschreibe das Vorgehen beim Vergleichen von Brüchen.

  Tipps

  Betrachtest du zwei Brüche mit gleichem Nenner, kannst du anhand der Zähler bestimmen, welcher Bruch größer ist. Der Bruch mit dem größeren Zähler ist größer.

  Betrachtest du Brüche mit unterschiedlichen Nennern und Zählern, solltest du beide Brüche auf den gleichen Nenner bringen und anschließend die Zähler vergleichen. Den gleichen Nenner erhältst du, indem du die Brüche mit dem jeweils anderen Nenner erweiterst.

  Lösung

  So kannst du den Lückentext vervollständigen:

  „Zunächst teilen sie ihre Felder in $12$ gleich große Teile ein. Davon hat Kalle $7$ Teile bereits abgeerntet. Er hat also schon $\frac{7}{12}$ seines Feldes geerntet.

  Sarah hat $6$ Teile geerntet. Ihr geernteter Anteil beträgt somit: $\frac{6}{12}$.

  Bei diesem Vergleich hat Kalle bereits einen größeren Teil des Feldes geerntet.“

  • In diesem Fall kannst du anhand der Zähler bestimmen, welcher Bruch größer ist. Der Bruch mit dem größeren Zähler ist größer.

  „Im Jahr zuvor teilte Kalle sein Feld in $9$ Teile ein, während Sarah dieselbe Einteilung wie in diesem Jahr, also $12$ Teile, wählte. Beide hatten beim Vergleich bereits $5$ Teile abgeerntet. Also hatte Kalle einen Anteil von $\frac{5}{9}$ und Sarah einen Anteil von $\frac{5}{12}$.

  Bei diesem Vergleich hatte Kalle bereits einen größeren Teil des Feldes geerntet.“

  • Vergleichst du zwei Brüche mit gleichem Zähler, ist der Bruch mit dem kleineren Nenner der größere.

  „Zu einem anderen Zeitpunkt betrug Kalles Anteil $\frac{3}{7}$, während Sarah $\frac{2}{3}$ geerntet hatte. Hier müssen die beiden ihre Brüche auf den gleichen Nenner bringen. Kalle erhält:

  $\dfrac{3}{7}=\dfrac{3 \cdot 3}{7 \cdot 3}= \dfrac{9}{21}$.

  Bei Sarah ergibt sich:

  $\dfrac{2}{3}=\dfrac{2 \cdot 7}{3 \cdot 7}= \dfrac{14}{21}$.

  Hier hatte also Sarah bereits mehr gearbeitet.“

  • Betrachtest du Brüche mit unterschiedlichen Nennern und Zählern, solltest du beide Brüche auf den gleichen Nenner bringen und anschließend die Zähler vergleichen. Den gleichen Nenner erhältst du, indem du die Brüche mit dem jeweils anderen Nenner erweiterst.

• Vergleiche die jeweiligen Brüche.

  Tipps

  Du kannst die Brüche sortieren, indem du sie auf den gleichen Nenner bringst und anschließend die Zähler vergleichst.

  Den ersten Bruch kannst du mit $4$ erweitern:

  $\dfrac{1}{3}= \dfrac{1 \cdot 4}{3 \cdot 4}=\dots $.

  Lösung

  Du kannst die Brüche sortieren, indem du sie auf den gleichen Nenner bringst und anschließend die Zähler vergleichst. Hierzu erweiterst du die Brüche mit entsprechenden Faktoren, indem du Zähler und Nenner mit diesen multiplizierst. Dann erhältst du folgende Reihenfolge:

  $\bullet~~\dfrac{1}{3} = \dfrac{1 \cdot 4}{3 \cdot 4} = \dfrac{4}{12}$

  $\bullet~~\dfrac{1}{2} = \dfrac{1 \cdot 6}{2 \cdot 6} = \dfrac{6}{12}$

  $\bullet~~\dfrac{3}{4} = \dfrac{3 \cdot 3}{4 \cdot 3} = \dfrac{9}{12}$

  $\bullet~~\dfrac{5}{6} = \dfrac{5 \cdot 2}{6 \cdot 2} = \dfrac{10}{12}$

  $\bullet~~\dfrac{11}{12}$

• Prüfe, welche Brüche größer sind.

  Tipps

  Sind die Zähler der Brüche gleich, ist der Bruch mit dem kleineren Nenner größer.

  Lösung

  Um herauszufinden, welche Brüche größer sind als $\frac{1}{2 }$, kannst du die Brüche auf den gleichen Nenner bringen und die Zähler miteinander vergleichen. Sind die Zähler der Brüche gleich, kannst du auch anhand der Nenner entscheiden, welcher Bruch größer ist. Der Bruch mit dem kleineren Nenner ist dann größer. Demnach folgt:

  Diese Brüche sind kleiner als $\frac{1}{2}$:

  $\bullet~~\dfrac{1}{3 }~\rightarrow~$ Hier kannst du die Nenner vergleichen. $3$ ist größer als $2$, also ist $\dfrac{1}{2 }$ größer.

  $\bullet~~\dfrac{5}{12 }~\rightarrow~$ Erweiterst du $\dfrac{1}{2}$ mit $6$, erhältst du $\dfrac{6}{12}$, was größer ist als$\dfrac{5}{12 }$.

  $\bullet~~\dfrac{3}{8}~\rightarrow~$ Erweiterst du $\dfrac{1}{2}$ mit $4$, erhältst du $\dfrac{4}{8}$. Das ist größer als $\dfrac{3}{8}$.

  Diese Brüche sind größer als $\frac{1}{2}$:

  $\bullet~~\dfrac{2}{2}~\rightarrow~$ Hier kannst du direkt die Zähler vergleichen.

  $\bullet~~\dfrac{3}{5}~\rightarrow~$ Erweitern wir $\dfrac{3}{5}$ mit $2$, erhalten wir $\dfrac{6}{10}$. Wird $\dfrac{1}{2}$ mit $5$ erweitert, ergibt das $\dfrac{5}{10}$.

• Gib den Größenvergleich der Brüche an.

  Tipps

  Um die Brüche vergleichen zu können, musst du sie auf den gleichen Nenner bringen. Dazu erweiterst du beispielsweise $\frac{7}{3}$ mit $8$.

  Nach dem Erweitern bzw. Kürzen kannst du die Größer-/Kleiner-Zeichen einsetzen, indem du die Zähler vergleichst.

  Lösung

  Du kannst die Rechnung folgendermaßen vervollständigen:

  Um die Brüche vergleichen zu können, musst du sie auf den gleichen Nenner bringen. Dazu erweiterst du $\dfrac{7}{3}$ mit $8$. Das ergibt:

  $\dfrac{7}{ 3}= \dfrac{7 \cdot 8}{ 3 \cdot 8}=\dfrac{56}{24}$.

  Anschließend kürzt du $\dfrac{40}{48}$ mit $2$ und erhältst:

  $\dfrac{40}{ 48}= \dfrac{40:2}{ 24:2}=\dfrac{20}{24}$.

  Jetzt kannst du die Größer-/Kleiner-Zeichen einsetzen, indem du die Zähler vergleichst.

• Ermittle, welche Brüche größer sind.

  Tipps

  Möchtest du zwei Brüche auf einen Nenner bringen, kannst du sie jeweils mit dem Nenner des anderen Bruchs multiplizieren.

  Gemischte Brüche kannst du auf einen Nenner bringen, indem du die Zahl vor dem Bruch mit dem Nenner des Bruchs erweiterst. Dann addierst du die beiden Zähler. Hier also:

  $1 \dfrac{1}{4}=1 +\dfrac{1}{4}=\dfrac{4}{4}+\dfrac{1}{4} =\dfrac{5}{4}$.

  Lösung

  Um die Brüche zu vergleichen, musst du sie zuerst auf den gleichen Nenner bringen.

  Gemischte Brüche kannst du auf einen Nenner bringen, indem du die Zahl vor dem Bruch mit dem Nenner des Bruchs erweiterst. Dann addierst du die beiden Zähler. Für die erste Zeile erhältst du:

  $1 \dfrac{1}{4}=1 +\dfrac{1}{4}=\dfrac{4}{4}+\dfrac{1}{4} =\dfrac{5}{4}$.

  Jetzt können wir die beiden Brüche auf einen Nenner bringen, indem wir mit dem Nenner des anderen Bruchs multiplizieren.

  $\dfrac{5}{4}=\dfrac{5 \cdot 3}{4 \cdot 3}=\dfrac{15}{12}$

  Für den linken Bruch erhalten wir:

  $\dfrac{4}{3}= \dfrac{4 \cdot 4}{3\cdot 4}=\dfrac{16}{12}$.

  Also ergibt sich:

  • $\dfrac{4}{3}> 1 \dfrac{1}{4} $.

  Für die zweite Zeile erhalten wir links:

  $\dfrac{6}{8}=\dfrac{6\cdot 20}{8\cdot 20}=\dfrac{120}{160}$

  und rechts:

  $\dfrac{16}{20}=\dfrac{16\cdot 8}{20\cdot 8}=\dfrac{128}{160}$.

  Also erhalten wir:

  • $\dfrac{6}{8}<\dfrac{16}{20} $.

  Um den nächsten Bruch in eine Dezimalzahl umzuwandeln, musst du ihn auf den Nenner $10$ bringen. Dann betrachtest du den Zähler und verschiebst das Komma um die Anzahl der Stellen des Nenners nach links:

  $\dfrac{2}{5}=\dfrac{2 \cdot 4}{5 \cdot 2}= \dfrac{4}{10}=0,4$.

  Also erhalten wir:

  • $0,4=\dfrac{2}{5} $.

  In der vierten Zeile lösen wir wieder einen gemischten Bruch:

  $1\dfrac{3}{2}= \dfrac{2}{2} + \dfrac{3}{2}= \dfrac{5}{2}=2 \dfrac{1}{2}$.

  Damit erhalten wir:

  • $1\dfrac{3}{2} >2. $

  Für die letzte Zeile erhalten wir:

  $\dfrac{4}{5}= \dfrac{4\cdot 3}{5\cdot 3 }= \dfrac{12}{15}. $

  Also:

  • $\dfrac{4}{5}= \dfrac{12}{15}. $