Dezimalbrüche – Assoziativgesetz und Kommutativgesetz nutzen

Dezimalbrüche – Assoziativgesetz und Kommutativgesetz nutzen Übung

• Beschreibe die Anwendungsbereiche des Kommutativgesetzes.

  Tipps

  Das Kommutativgesetz besagt, dass wir die einzelnen Zahlen in einer Gleichung untereinander vertauschen können, ohne dass sich das Ergebnis verändert.

  Bilde zu jeder Aussage ein Beispiel und rechne es einmal nach. Du müsstest die Zahlen in den Termen untereinander vertauschen können, ohne dass sich etwas ändert.

  Was ist zum Beispiel $1+3$?

  Und was ist $3+1$?

  Wie ist es bei $4-3$ und $3-4$?

  Lösung

  Das Kommutativgesetz kann nur für die Addition und die Multiplikation eingesetzt werden.

  • Denn $2+3=5$ und $3+2=5$ gelten zum Beispiel beide.

  • Für Multiplikation gilt das auch: $2\cdot 3=6$ und $3\cdot 2 =6$ liefert das gleiche Ergebnis.

  Das Kommutativgesetz gilt nicht für die Subtraktion und nicht für die Division.

  • Denn es gilt $4-3=1$; jedoch ist $3-4=-1$. Die Ergebnisse stimmen nicht überein.

  • Und es gilt $4 : 2 = 2$; jedoch ist $2:4=\frac 1 2$.

• Vereinfache die Aufgaben mithilfe des Kommutativ- und Assoziativgesetzes.

  Tipps

  Überlege, welche Zahlen am besten als Erstes zusammengerechnet werden sollten.

  Prüfe dazu, welche Zahlen zusammen eine ganze Zahl ergeben.

  Wenn du zum Beispiel die Rechnung $0{,}5+1{,}4+2{,}5+3{,}6$ hast, dann ist es am einfachsten, wenn wir zuerst $0{,}5+2{,}5=3$ und dann $1{,}4+3{,}6=5$ rechnen.

  Wir erhalten jeweils eine ganze Zahl. Wir können sie anschließend einfach zusammenrechnen: $3+5=8$.

  Lösung

  Wir wenden das Kommutativgesetz und das Assoziativgesetz an, um die Aufgaben zu vereinfachen. Dafür ist es von Vorteil, wenn Zahlen in den Klammern addiert werden, die direkt eine ganze Zahl ergeben.

  Die Gleichungen lassen sich so umschreiben.

  1. $0{,}3+4{,}75+5{,}7+1{,}25 = (0{,}3+\mathbf{5{,}7})+(4{,}75+\mathbf{1{,}25}) = 6+6=12$
  2. $0{,}25 \cdot 5{,}73 \cdot 4 = (0{,}25\cdot \mathbf{4})\cdot \mathbf{5{,}73}=1\cdot 5,73=5,73$

• Bestimme die Zahlen, die zusammen eine ganze Zahl ergeben.

  Tipps

  Ausprobieren ist eine gute Möglichkeit.

  Schreibe hierzu die erste Zahl über jede der anderen Zahlen. So kannst du schnell überprüfen, ob die Paare in der Summe bzw. im Produkt eine ganze Zahl ergeben.

  Wenn du eine Zahl vereinfachen willst, ist es immer am besten die Nachkommastellen verschwinden zu lassen.

  Bei der Addition geht das einfach, indem du überlegst welche Nachkommastellen zusammen eine ganze Zahl ergeben. Die Zahl $1,4$ muss mit einer Zahl addiert werden, welche die $6$ als Nachkommastelle hat. Wie zum Beispiel die $2,6$. Wenn wie diese Zahlen zusammen addieren, erhalten wir $1,4+2,6=4$.

  Lösung

  Wir suchen in den Termen nach den Zahlen, die zusammen eine ganze Zahl ergeben. Wenn wir uns eine Zahl aus dem Term suchen, können wir bei der Addition sehen, wie die Nachkommastellen aussehen müssten, damit wir eine ganze Zahl bilden können.

  Bei der Multiplikation müssen wir es ggf. ausprobieren.

  Auf diese Weise können wir die Terme so anordnen, dass wir sie einfacher ausrechnen können. Dazu benutzen wir wieder das Assoziativ- und Kommutativgesetz.

  • Erste Gleichung

  $\begin{align} & 1,1+2,7+0,9+1,3 \\ & =(1,1+0,9)+(2,7+1,3) \\ & =2+4=6 \end{align}$

  • Zweite Gleichung

  $\begin{align} & 0,65+0,35+2,11+1,89 \\ & =(0,65+0,35)+(2,11+1,89) \\ & =1+4=5 \end{align}$

  • Dritte Gleichung

  $\begin{align} & 1,55+2,73+0,45+0,27 \\ & =(1,55+0,45)+(2,73+0,27) \\ & =2+3=5 \end{align}$

  • Vierte Gleichung

  $\begin{align} & 0,5\cdot0,1\cdot4\cdot30 \\ & =(0,5\cdot4)\cdot(0,1\cdot30) \\ & =2\cdot3=6 \end{align}$

  • Fünfte Gleichung

  $\begin{align} & \frac 2 6 \cdot 16\cdot0,25\cdot6 \\ & =(\frac 2 6 \cdot6)\cdot(16\cdot0,25) \\ & =2\cdot4=8 \end{align}$

• Entscheide, wie du die Terme vereinfachen kannst.

  Tipps

  Versuche wieder Paare zu finden, die in der Addition eine einfache Zahl ergeben. Die Anzahl der Nachkommastelle soll sich dabei verringern.

  Es muss nicht immer eine ganze Zahl sein.

  Manchmal ist auch zum Beispiel $6{,}5$ mit einer Nachkommastelle einfach genug, um gut damit weiterzurechnen.

  Lösung

  Wir suchen wieder in den Gleichungen nach Zahlen, die zusammen eine ganze Zahl ergeben oder eine Zahl mit einer einfachen Nachkommastelle.

  Bei einer ganzen Zahl gibt es keine Nachkommastellen. Wenn wir eine ganze Zahl bilden wollen, müssen wir also Zahlen finden, die zusammen addiert keine Nachkommastelle mehr haben.

  • Erste Gleichung

  In der ersten Gleichung taucht die Zahl $1,11$ auf. Soll hier die Nachkommastelle verschwinden, muss die Zahl mit einer Zahl addiert werden, welche $89$ als Nachkommastelle hat. In diesem Fall $2,89$.

  $1{,}11+0{,}23+2{,}89+7{,}77=(1{,}11+\mathbf{2{,}89})+(\mathbf{0{,}23}+\mathbf{7{,}77})=4+8=12$

  • Zweite Gleichung

  $0{,}25\cdot0{,}33\cdot4\cdot6=(0{,}25\cdot \mathbf{4})\cdot(\mathbf{0{,}33}\cdot\mathbf{6})=1\cdot2=2$

  • Dritte Gleichung

  $1{,}49+4{,}36+2{,}51+3{,}64=(1{,}49+\mathbf{2{,}51})+(\mathbf{3{,}64}+\mathbf{4{,}36})=4+8=12$

  • Vierte Gleichung

  $2{,}41+1{,}25+3{,}25+3{,}09=(1{,}25+\mathbf{3{,}25})+(\mathbf{2{,}41}+\mathbf{3{,}09})=4,5+5,5=10$

  • Fünfte Gleichung

  $0{,}16+9{,}48+3{,}84+7{,}52=(0{,}16+\mathbf{3{,}84})+(\mathbf{7{,}52}+\mathbf{9{,}48})=4+17=21$

• Bestimme, ob das Kommutativ- oder Assoziativgesetz angewendet wurde.

  Tipps

  Das Kommutativgesetz besagt, dass wir bei Multiplikationen bzw. Additionen die einzelnen Zahlen beliebig untereinander vertauschen können, ohne dass sich etwas am Ergebnis ändert.

  Mithilfe des Assoziativgesetzes können wir in Gleichungen Klammern setzen, sodass die Reihenfolge, in der wir die Zahlen zusammenrechnen, keine Rolle spielt.

  Lösung

  Das Kommutativgesetz ist für das Vertauschen der einzelnen Zahlen innerhalb der Gleichung verantwortlich. Zu dem Gesetz gehören also die folgenden Gleichungen

  • $1+2=2+1$
  • $1+2+3+4=2+4+1+3$
  • $2\cdot 0{,}5 \cdot 1,4 = 0{,}5\cdot 1{,}4 \cdot 2$

  Mithilfe des Assoziativgesetzes können wir in Gleichungen Klammern setzen, sodass die Reihenfolge, in der wir die Zahlen zusammenrechnen, keine Rolle spielt. Zu dem Gesetz gehören die folgenden Gleichungen

  • $(1+2)+3=1+(2+3)$
  • $(1{,}4 \cdot 0{,}5) \cdot 2=1{,}4\cdot (0{,}5\cdot 2)$

• Vereinfache die Terme mit dem Distributiv-, Kommutativ- und Assoziativgesetz.

  Tipps

  Hier musst du auch das Distributivgesetz einsetzen. Mit diesem Gesetz kann man Zahlen ausklammern und Zahlen in die Klammern hineinziehen.

  So können wir zum Beispiel folgende Gleichung rechnen:

  $(3+4)\cdot 2 = 3\cdot 2 + 4\cdot 2 = 6+8=14$

  Rechne die einzelnen Klammern erst einmal komplett aus. Dann kannst du die einzelnen Summanden besser sortieren.

  Achte wieder darauf, dass du Paare aussuchst, die zusammen eine ganze Zahl ergeben.

  Lösung

  Wir ziehen in den Gleichungen wieder die Zahlen in Klammern zusammen, die eine ganze Zahl ergeben.

  Wir können die Gleichungen so vereinfachen:

  • Erste Gleichung

  Wir benutzen hier auch das Distributivgesetz. So rechnen wir in der ersten Gleichung $(2{,}5+3)\cdot 0{,}5=2{,}5\cdot 0{,}5 + 3\cdot0{,}5=1{,}25+1{,}5$. Diese Zahlen können wir anschließend weiter benutzen.

  $\begin{align} &(2{,}5+3)\cdot 0{,}5 + (3+2)\cdot 0{,}25 \\&=2{,}5\cdot 0{,}5 + 3\cdot0{,}5 + 3\cdot0,25 + 2\cdot 0,25\\&=1{,}25+1{,}5+0,75+0,5\\ & =(1{,}25 + {0,75} ) +(1{,}5 +{0,5} ) \\&= 2+2=4 \end{align} $

  • Zweite Gleichung

  $\begin{align} &(2+4)\cdot \frac {1}{10} + (0{,}3+0{,}4)\cdot 2 \\ &= 2\cdot \frac {1}{10}+4\cdot \frac {1}{10}+ 0{,}3\cdot 2 + 0{,}4\cdot 2 \\ &= 0,2 + 0,4 + 0,6+0,8 \\& =(0{,}2 + {0,8} ) +(0{,}4 + {0,6} ) \\ &=1+1=2 \end{align} $

  • Dritte Gleichung

  $\begin{align} & (0{,}7+0{,}9)\cdot 3 + (0{,}95+1{,}65)\cdot 2 \\ &= 0{,}7\cdot 3 + 0{,}9\cdot 3 +0{,}95\cdot2 +1{,}65\cdot2 \\ &= 2,1 + 2,7 + 1,9 + 3,3 \\ & =(2{,}1 + {1,9} ) +(3{,}3 + {2,7} ) \\ &=4+6=10 \end{align} $

  • Vierte Gleichung

  $\begin{align} &(10{,}5+4{,}44)\cdot 0{,}5 + (0{,}875+0{,}39)\cdot 2 \\ &= 10{,}5\cdot 0{,}5 + 4{,}44\cdot 0{,}5 +0{,}875\cdot 2 +0{,}39\cdot 2 \\ &= 5,25 + 2,22 + 1,75 + 0,78 \\ & =(5{,}25 + {1,75} ) +(2{,}22 + {0,78} ) \\ &=6 + 3=9 \end{align}$