Dezimalbrüche – Assoziativgesetz und Kommutativgesetz nutzen (Übung)

Dezimalbrüche – Assoziativgesetz und Kommutativgesetz nutzen (Übung) Übung

• Zeige auf, welche Zahlen zusammen eine ganze Zahl ergeben.

  Tipps

  Konzentriere dich auf die Nachkommastellen, um den richtigen Partner zu finden.

  Ein Beispiel: Zur Nachkommastelle 1 gehört die Nachkommastelle 9.

  Manchmal hat eine Zahl keinen solchen Partner in der Gleichung, mit dem sie eine ganz Zahl bilden könnte.

  Manchmal ergeben mehr als zwei Zahlen erst eine ganze Zahl.

  Lösung

  Wir suchen nach Zahlen in den Summen, die zusammen eine ganze Zahl ergeben. Wenn wir uns eine der Zahlen anschauen, können wir feststellen, welche Nachkommastelle die andere Zahl haben müsste, damit sie zusammen eine ganze Zahl ergeben.

  In der ersten Gleichung sehen wir zum Beispiel die $0,3$. Damit daraus eine ganze Zahl wird, muss sie mit einer addiert werden die eine 7 als Nachkommastelle hat. In diesem Fall ist es die $0,7$. Es gilt $0,3+0,7=1$.

  Auf diese Weise können wir die Gruppen in den Gleichungen finden:

  1. Gleichung: $0,3+0,7=1$
  2. Gleichung: $2,4+0,6=3$ und $3,5+6,5=10$
  3. Gleichung: $0,3+0,4+0,3=1$ und $2,8+2,2=5$

• Vereinfache die Gleichungen mit Hilfe des Kommutativ- und Assoziativgesetzes.

  Tipps

  Bei längeren Additionen ist es sinnvoll die Zahlen so zu ordnen, dass leicht ganze Zahlen gebildet werden können

  Wenn man die Zahlen ordnet, sollte man auch das Assoziativgesetz einsetzen. Mit den so gebildeten Klammern kann man leicht den Überblick behalten.

  Lösung

  Wir suchen wieder nach Zahlen, die zusammenaddiert eine ganze Zahl ergeben. So vereinfachen wir die Terme.

  In den einzelnen Klammern ist immer mindestens eine Zahl schon gegeben. Mit ihr kannst du Rückschlüsse ziehen, welche Zahl eingesetzt werden muss.

  Wenn wir bei der ersten Klammer der ersten Gleichung die Zahl $0,3$ gegeben ist, wissen wir das die gesuchte Zahl als Nachkommastelle eine 7 haben muss, denn nur so wird aus der Summe in der Klammer eine ganze Zahl.

  Wir bekommen so die Gleichungen:

  1. $0,3+0,8+0,7=(0,3+\mathbf{0,7})+\mathbf{0,8}=1+0,8=1,8$
  2. $2,4+3,5+6,5+0,6=(2,4+\mathbf{0,6})+(\mathbf{6,5}+3,5)=3+10=13$
  3. $1,78+1,75+1,22+1,05=(1,78+\mathbf{1,22})+(\mathbf{1,75}+1,05)=3+2,8=5,8$
  4. $0,3+2,8+0,4+2,2+0,3=(2,8+\mathbf{2,2})+(0,3+\mathbf{0,4}+0,3)=5+1=6$

• Entscheide, ob die einfachsten Terme aufgestellt wurden.

  Tipps

  Die einzelnen Zahlen sollten so sortiert werden, dass in den Klammern zu ganzen Zahlen zusammengefasst werden kann.

  Wenn du zum Beispiel die Gleichung $3,5 + 0,25 + 1,5 + 2,75$ hast, ist es am besten, wenn du zwei Klammern betrachtest. In die erste kommt die Summe $3,5+1,5$ und in die zweite kommt $0,25+2,75$.

  Diese zwei Summen lassen sich gut ausrechnen. Sie ergeben jeweils ganze Zahlen.

  Lösung

  Wir suchen in den Zahlen wieder nach Gruppen, die zusammen eine ganze Zahl ergeben.

  1. Hier ist die einfachste und beste Möglichkeit die Zahlen anzuordnen $(20,34~m+21,66~m)+(22,71~m+23,39~m)$, denn jede Summe ergibt eine ganz Zahl $(20,34~m+21,66~m)+(22,71~m+23,39~m)=42~m+46~m=88~m$
  2. Wir bekommen folgende Gleichung als einfachste Anordnung $(3,30~€ + 4,70~€)+(5,40~€+4,60~€)=8~€+10~€=18~€$.
  3. Hier bekommen wir die folgende Gleichung, als einfachste Anordnung der Zahlen $(1,86~m + 2,16~m)+(0,46~m + 3,54~m)$.
  4. Hier lautet die einfachste Gleichung $(0,65~€ + 1,35~€)+(0,88~€+0,22~€)$.

• Bestimme die beste Vereinfachung für die Terme und das Ergebnis.

  Tipps

  Man sortiert die Zahlen am besten so, dass ganze Zahlen in den Klammern errechnet werden.

  Wenn ganze Zahlen ausgerechnet werden sollen, müssen die Nachkommastellen verschwinden.

  Wir haben zum Beispiel die Zahl $1,2$, dann muss diese Zahl addiert werden, mit einer Zahl, welche die $8$ als Nachkommastelle hat. Wie zum Beispiel die $4,8$.

  Jetzt rechnen wir $1,2+4,8=6$. Die Nachkommastelle ist verschwunden und wir haben eine ganze Zahl.

  Lösung

  Es wird eine Möglichkeit gesucht die Zahlen so anzuordnen, dass man die Terme auch gut im Kopf rechnen kann. Wir fassen die Zahlen, die sich gut zu ganzen Zahlen zusammenrechnen lassen, wieder in Klammern zusammen.

  Du kannst am besten nach einem Partner für eine Zahl suchen, indem du dir die Nachkommastellen ansiehst. Wenn die Zahl ganz werden soll, muss die Nachkommastelle völlig verschwinden.

  In dem ersten Term haben wir zum Beispiel die $0,17$. Wenn hier die Ziffern nach dem Komma verschwinden sollen, müssen wir eine Zahl hinzuaddieren, die $83$ nach dem Komma zu stehen hat. In diesem Fall ist es die $0,83$. Wir sehen $0,17+0,83=1$. So können wir die Terme vereinfachen:

  1. $0,17+2,66+0,83+3,34=(0,17+0,83)+(2,66+3,34)=1+6=7$
  2. $6,77+0,25+1,75+3,23=(6,77+3,23)+(0,25+1,75)=10+2=12$
  3. $9,37+3,97+0,63+6,03=(9,37+0,63)+(3,97+6,03)=10+10=20$
  4. $1,68+0,78+2,32+4,22=(1,68+2,32)+(0,78+4,22)=4+5=9$
  5. $2,65+3,45+2,55+1,35=(2,65+1,35)+(2,55+3,45)=4+6=10$

• Bestimme, welcher Term am einfachsten zu rechnen ist.

  Tipps

  Bei solchen Aufgaben ist es am einfachsten, wenn wir die Zahlen als erstes miteinander addieren, die zusammen eine ganze Zahl ergeben.

  Wenn du als Beispiel die Rechnung $0,1 + 1,3 +2,9+3,7$ hast, kannst du das Kommutativgesetz und das Assoziativgesetz einsetzen. Die einzelnen Zahlen können so neu angeordnet werden und Klammern dürfen beliebig gesetzt werden.

  So können wir rechnen $(0,1+2,9)+(1,3+3,7)$. Die einzelnen Summen sind viel einfacher auszurechnen.

  Lösung

  Wir suchen einen Term, der am einfachsten zu rechnen ist. Dafür bietet es sich an, die Summe mit Klammern zu vereinfachen, sodass wir die einzelnen Zahlen einfach zusammenrechnen können.

  Der Einkauf kostet insgesamt $0,45~€+1,30~€+0,70~€+0,55~€$. Bei der Einkaufsliste ist folgender Term am besten

  $(0,45~€+0,55~€)+(1,30~€+0,70~€)$.

  Hier können wir die Summen in den Klammern am einfachsten ausrechnen:

  $(0,45~€+0,55~€)+(1,30~€+0,70~€)= 1~€ + 2~€=3~€$.

• Ermittle die besten Vereinfachungen.

  Tipps

  In den einzelnen Summen in den Klammern ist immer mindestens eine Zahl schon gegeben.

  Überlege, wie viel du dann noch dazu addieren musst, damit sich die Anzahl der Nachkommastellen reduziert.

  Wenn zum Beispiel in der Klammer die Zahl $3,5$ gegeben ist, dann brauchst du eine Zahl, welche als erste und einzige Nachkommastelle die 5 hat. So würde sich als Summe eine ganze Zahl ergeben.

  Wir können also einfach $4,5$ hinzurechnen und erhalten $3,5+4,5=8$. Wir erhalten also eine glatte Zahl.

  Lösung

  Wir suchen in den Gleichen nach Gruppen von Zahlen, die zusammen die Anzahl der Nachkommastellen reduzieren. Der einfachste Ansatz dabei ist es, auf die Ziffern hinter den Kommata zu achten.

  Wenn wir wie in der ersten Gleichung zum Beispiel die Zahl $7,41$ haben, dann müssen wir hier die $3,59$ dazu addieren. So wird $7,41+3,59=11$ daraus. Die Nachkommastelle ist also komplett verschwunden.

  Auf diese Art und Weise bekommen wir folgende vereinfachte Gleichungen

  $\begin{align} 7,41 + 3,59 + 1,14 + 3,96 &= (7,41 + \mathbf{3,59})+(1,14+ \mathbf{3,96})\\ &= 11+5,1 =16,1 \\ 0,33+2,19+3,34+3,81+0,33 &=(0,33+ \mathbf{0,33}+3,34)+( \mathbf{2,19}+3,81)\\ &= 4+6 = 10 \\ 0,21+3,67+2,21+4,33+1,58 &= (0,21+ \mathbf{1,58}+ \mathbf{2,21})+( \mathbf{3,67}+4,33) \\ &= 4+8=12 \\ 2,1+9,65+3,55+1,35+2,45 &= \mathbf{2,1}+(2,45+ \mathbf{3,55})+(1,35+ \mathbf{9,65}) \\ &= 2,1+6+11=20,1 \end{align}$