Differentialquotient – Anstieg eines Funktionsgraphen in einem Punkt

Differentialquotient – Anstieg eines Funktionsgraphen in einem Punkt Übung

• Beschreibe, wie man die Steigung einer Funktion in einem Punkt ermitteln kann.

  Tipps

  Hier ist die Tangente an die Funktion im Punkt $(1|1)$ eingezeichnet.

  Eine Tangente berührt den Graphen in einem Punkt.

  Eine Sekante schneidet den Graphen in zwei Punkten.

  Lösung

  Die mittlere Änderungsrate
  Die mittlere Änderungsrate gibt den durchschnittlichen Anstieg einer Funktion in einem bestimmten Intervall an. Wir stellen sie graphisch durch eine Sekante durch die beiden Punkte an den Intervallgrenzen dar. Der durchschnittliche Anstieg entspricht dann der Sekantensteigung.
  Rechnerisch können wir diesen Anstieg mit dem Differenzenquotienten beschreiben:
  $\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$

  Die lokale Änderungsrate:
  Um den Anstieg eines Funktionsgraphen in einem Punkt $P$ zu bestimmen, müssen wir von der Steigung zwischen zwei Punkten zum Anstieg an einem einzigen Punkt kommen. Dazu legen wir die beiden Punkte ganz dicht aneinander. Graphisch betrachtet wird somit aus der Sekante eine Tangente, die den Graphen in $P$ berührt. Der Anstieg des Funktionsgraphen an diesem Punkt entspricht dann der Steigung $m$ dieser Tangente.

  Rechnerisch können wir diesen Anstieg mit dem Differentialquotienten bestimmen. Der Differentialquotient ist der Grenzwert des Differenzenquotienten für $x \to x_0$. Wir schreiben:
  $\lim \limits_{x \to x_0} \dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$

• Gib an, zu welchem Fachbegriff die Elemente gehören.

  Tipps

  Der Differenzenquotient bezieht sich auf ein Intervall $[x; x_0]$, der Differentialquotient auf einen Punkt $P(x_0 \vert f(x_0))$.

  Die lokale Änderungsrate des Graphen bei $x_0$ ist $-\frac{1}{2}$.

  Lösung

  Bei der Untersuchung der Steigung eine Funktion unterscheiden wir die Begriffe Differenzenquotient und Differentialquotient. Auch wenn die beiden Fachbegriffe sehr ähnlich klingen, sind zwei unterschiedliche Aspekte damit gemeint:

  Der Differenzenquotient:
  Die mittlere Änderungsrate gibt den durchschnittlichen Anstieg einer Funktion in einem bestimmten Intervall an. Wir stellen sie graphisch durch eine Sekante durch die beiden Punkte an den Intervallgrenzen dar. Der durchschnittliche Anstieg entspricht dann der Sekantensteigung. Diese können wir durch ein Steigungsdreieck an der Sekante bestimmen.
  Rechnerisch können wir diesen Anstieg mit dem Differenzenquotienten beschreiben:
  $\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$

  Der Differentialquotient:
  Um den Anstieg eines Funktionsgraphen in einem Punkt $P$ zu bestimmen, müssen wir von der Steigung zwischen zwei Punkten zum Anstieg an einem einzigen Punkt kommen. Dazu legen wir die beiden Punkte ganz dicht aneinander. Graphisch betrachtet wird somit aus der Sekante eine Tangente. Der Anstieg des Funktionsgraphen an diesem Punkt entspricht dann der Tangentensteigung an dieser Stelle. Diese können wir durch ein Steigungsdreieck an der Tangente bestimmen. Wir sprechen auch von der lokalen Änderungsrate der Funktion.
  Rechnerisch können wir diesen Anstieg mit dem Differentialquotienten bestimmen. Dieser ist der Grenzwert des Differenzenquotienten für $x \to x_0$. Wir schreiben:
  $\lim \limits_{x \to x_0} \dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$

• Überprüfe die Aussagen zur Bestimmung der Steigung der Funktion an der Stelle $x_0=2$ durch Annäherung des Differenzenquotienten an diese Stelle.

  Tipps

  Der Differenzenquotient lautet: $\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$

  Wenn du mehrere Werte in den Differenzenquotienten eingesetzt hast, kannst du daraus den Grenzwert schlussfolgern.

  Lösung

  Um den Anstieg eines Funktionsgraphen in einem Punkt $P$ zu bestimmen, betrachten wir die Steigung einer Tangente an den Funktionsgraphen in diesem Punkt. Diese erhalten wir, indem wir zunächst eine Sekante durch zwei Punkte auf dem Graphen ziehen und den Abstand zwischen diesen Punkten dann immer kleiner werden lassen. So kommen wir von der mittleren Änderungsrate in einem Intervall zur lokalen Änderungsrate, also der Steigung in einem Punkt.

  Rechnerisch führen wir dies durch, indem wir uns der Stelle $x_0=2$ immer weiter annähern und jeweils den Differenzenquotienten bestimmen.

  Je geringer die Differenz zwischen $x_0$ und $x$ ist, desto genauer ist dabei die Näherung.
  Diese Aussage ist richtig.

  Der Differenzenquotient lautet: $\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$

  Für die Bestimmung des Grenzwertes dürfen wir nur $x$-Werte einsetzen, die kleiner als $x_0$ sind.
  Diese Aussage ist falsch. Wir wählen in unserem Beispiel Werte, die größer als $x_0$ sind:

  • Für $x=2,1$ ergibt sich: $\dfrac{2,1^3-8 \cdot 2,1 -3 - (2^3 -8 \cdot 2 -3)}{2,1-2} = 4,61$
  • Für $x=2,01$ ergibt sich: $\dfrac{2,01^3-8 \cdot 2,01 -3 - (2^3 -8 \cdot 2 -3)}{2,01-2} = 4,0601$
  • Für $x=2,001$ ergibt sich: $\dfrac{2,001^3-8 \cdot 2,001 -3 - (2^3 -8 \cdot 2 -3)}{2,001-2} = 4,006001$
  • Für $x=2,0001$ ergibt sich: $\dfrac{2,0001^3-8 \cdot 2,0001 -3 - (2^3 -8 \cdot 2 -3)}{2,0001-2} = 4,00060001$

  Der Differenzenquotient für den Wert $x=2,01$ beträgt $4,0601$.
  Diese Aussage ist, wie wir an der obigen Berechnung erkennen können, richtig.

  $2,001$ liegt näher an $2$ als $2, 01$.
  Diese Aussage ist richtig. Der Abstand zwischen $2$ und $2,001$ ist mit $0,001$ geringer als der zwischen $2$ und $2,01$ mit $0,01$.

  Setzen wir für $x$ mehrere Werte nahe $x_0$ ein, so ist der Differenzenquotient für den Wert von $x$, der am nächsten an $x_0$ liegt, gleich der Steigung.
  Diese Aussage ist falsch. Wir können stattdessen anhand der Werte erkennen, dass sich der Wert immer mehr der $4$ annähert. Der Differentialquotient, also der Grenzwert des Differenzenquotienten, ist hier:
  $\lim \limits_{x \to 2} \dfrac{f(x)-f(2)}{x-2}=4$
  Dieser Wert ist gleich der Steigung.

  Der Differenzenquotient für den Wert $x=2,1$ ist kleiner als der Differentialquotient.
  Diese Aussage ist falsch, denn der Differenzenquotient an der Stelle $x=2,1$ beträgt $4,61$ und der Differentialquotient beträgt $4$. Es gilt $4,61>4$.

• Ermittle den Grenzwert des Differenzenquotienten.

  Tipps

  Du kannst den Differentialquotienten ermitteln, indem du in den Differenzenquotienten $x$-Werte einsetzt, die sehr dicht an $x_0$ liegen, oder indem du versuchst, den Bruch $\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$ zu kürzen. Dabei können dir die binomischen Formeln helfen.

  Beispiel:

  $\frac{-0,2x^2 + 5}{x - 5} = \frac{-0,2 \cdot (x^2 - 25)}{x - 5} = \frac{-0,2 \cdot (x + 5) \cdot (x - 5)}{x - 5} = -0,2 \cdot (x + 5)$

  Hier siehst du den Graphen der Funktion.

  Wenn der Graph fällt, ist der Differentialquotient negativ, wenn er steigt, ist der Differentialquotient positiv.

  Lösung

  Wir können den Anstieg einer Funktion in einem Punkt rechnerisch mit dem Differentialquotienten bestimmen. Dieser ist gleich dem Grenzwert des Differenzenquotienten:

  $\lim \limits_{x \to x_0} \dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$

  Wir betrachten also die Funktion $f(x)=-0,5x^2+2$ und setzen jeweils ein:

  erste Stelle: $x_0=2$
  $f(2)=-0,5 \cdot 2^2 +2 = -2+2 = 0$
  $\frac{f(x)-f(2)}{x-2} = \frac{-0,5x^2+2-0}{x-2} = \frac{-0,5x^2+2}{x-2} = \frac{-0,5(x^2-4)}{x-2} = \frac{-0,5(x+2)(x-2)}{x-2} = -0,5(x+2) = -0,5x-1$
  $\lim \limits_{x \to 2} \frac{f(x)-f(2)}{x-2} = \lim \limits_{x \to 2} -0,5x-1 = -0,5 \cdot 2 -1 = -2$
  Der Differentialquotient ist negativ, dies erkennen wir auch daran, dass die Funktion an der Stelle $x_0=2$ fällt.

  zweite Stelle: $x_0=-3$
  $f(-3)=-0,5 \cdot (-3)^2 +2 = -4,5+2 = -2,5$
  $\frac{f(x)-f(-3)}{x+3} = \frac{-0,5x^2+2+2,5}{x+3} = \frac{-0,5x^2+4,5}{x+3} = \frac{-0,5(x^2-9)}{x+3} = \frac{-0,5(x+3)(x-3)}{x+3} = -0,5(x-3) = -0,5x+1,5$
  $\lim \limits_{x \to -3} \frac{f(x)-f(-3)}{x+3} = \lim \limits_{x \to -3} -0,5x+1,5 = -0,5 \cdot (-3) +1,5 = 3$
  Der Differentialquotient ist positiv, dies erkennen wir auch daran, dass die Funktion an der Stelle $x_0=-3$ steigt.

  dritte Stelle: $x_0=0,5$
  $f(2)=-0,5 \cdot 0,5^2 +2 = -0,125+2 = 1,875$
  $\frac{f(x)-f(0,5)}{x-0,5} = \frac{-0,5x^2+2-1,875}{x-0,5} = \frac{-0,5x^2+0,125}{x-0,5} = \frac{-0,5(x^2-0,25)}{x-0,5} = \frac{-0,5(x+0,5)(x-0,5)}{x-0,5} = -0,5(x+0,5) = -0,5x-0,25$
  $\lim \limits_{x \to 0,5} \frac{f(x)-f(0,5)}{x-0,5} = \lim \limits_{x \to 0,5} -0,5x-0,25 = -0,5 \cdot 0,5 -0,25 = -0,5$
  Der Differentialquotient ist negativ, dies erkennen wir auch daran, dass die Funktion an der Stelle $x_0=0,5$ fällt.

  vierte Stelle: $x_0=-1$
  $f(2)=-0,5 \cdot (-1)^2 +2 = -0,5+2 = 1,5$
  $\frac{f(x)-f(-1)}{x+1} = \frac{-0,5x^2+2-1,5}{x+1} = \frac{-0,5x^2+0,5}{x+1} = \frac{-0,5(x^2-1)}{x+1} = \frac{-0,5(x+1)(x-1)}{x+1} = -0,5(x+-1) = -0,5x+0,5$
  $\lim \limits_{x \to -1} \frac{f(x)-f(-1)}{x+1} = \lim \limits_{x \to -1} -0,5x+0,5 = -0,5 \cdot -1 +0,5 = 1$
  Der Differentialquotient ist positiv, dies erkennen wir auch daran, dass die Funktion an der Stelle $x_0=-1$ steigt.

  Hinweis: Wir können den Differentialquotienten auch ermitteln, indem wir uns der Stelle $x_0$ immer weiter annähern und jeweils den Differenzenquotienten bestimmen. Daraus können wir dann den Grenzwert schlussfolgern.

  Beispielrechnung zur ersten Stelle $x_0=2$
  $f(2)=-0,5 \cdot 2^2 +2 = -2+2 = 0$
  $\frac{f(x)-f(2)}{x-2} = \frac{-0,5x^2+2-0}{x-2}$
  $x=2,5 \quad \frac{f(2,5)-f(2)}{2,5-2} = \frac{-3,125+2-0}{0,5} = -2,25$
  $x=2,1 \quad \frac{f(2,1)-f(2)}{2,1-2} = \frac{-2,205+2-0}{0,1} = -2,05$
  $x=2,01 \quad \frac{f(2,01)-f(2)}{2,01-2} = \frac{-2,02005+2-0}{0,01} = -2,005$
  $x=2,001 \quad \frac{f(2,001)-f(2)}{2,001-2} = \frac{-2,0020005+2-0}{0,001} = -2,0005$
  Wir erkennen also: $\lim \limits_{x \to 2} \frac{f(x)-f(2)}{x-2} = -2$

• Berechne die Tangentensteigung mithilfe des Steigungsdreiecks.

  Tipps

  Für die Steigung $m$ gilt: $m=\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$

  Wenn eine Gerade steigt, ist ihre Steigung positiv.

  Wenn eine Gerade fällt, ist ihre Steigung negativ.

  Lösung

  Eine Tangente berührt den Funktionsgraphen nur in einem Punkt. Mithilfe der Tangente können wir die Steigung des Funktionsgraphen in diesem Punkt ermitteln, da sie gleich der Tangentensteigung ist.

  Die Tangentensteigung $m$ berechnen wir mithilfe eines Steigungsdreiecks. Dabei gilt:

  $m=\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$

  In unserem Fall geht das Steigungsdreieck etwa $2$ Einheiten nach unten ($\Delta y = -2$) und $3$ Einheiten nach rechts ($\Delta x = 3$).

  Die Steigung beträgt damit $m=\frac{\Delta y}{\Delta x} =-\frac{2}{3}$.

  Da die Tangente fallend ist, ist die Steigung negativ.

• Bestimme den Differentialquotienten.

  Tipps

  Die dritte binomische Formel lautet:

  $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$

  Berechne zunächst den Funktionswert an der Stelle $x_0$, also $f(x_0)$.

  Setze diesen dann in $\lim \limits_{x \to x_0} \dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$ ein.

  Versuche den Bruch $\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$ geschickt zu kürzen, indem du im Zähler $x-x_0$ ausklammerst.

  Lösung

  Mithilfe des Differenzialquotienten können wir den Anstieg einer Funktion in einem Punkt rechnerisch bestimmen. Der Differentialquotient ist gleich dem Grenzwert des Differenzenquotienten:

  $\lim \limits_{x \to x_0} \dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$

  Beispiel 1:
  Wir betrachten die Funktion $f(x)=2x^2$ an der Stelle $x_0=-1$:
  $f(-1)=2 \cdot (-1)^2 = 2$
  $\frac{f(x)-f(-1)}{x+1} = \frac{2x^2-2}{x+1} = \frac{2(x^2-1)}{x+1} = \frac{2(x+1)(x-1)}{x+1} = 2(x-1) = 2x-2$
  $\lim \limits_{x \to -1} \frac{f(x)-f(-1)}{x+1} = \lim \limits_{x \to -1} 2x-2 = 2 \cdot (-1) -2 = -4$

  Beispiel 2:
  Wir betrachten die Funktion $f(x)=3x^4+4x^2-2x$ an der Stelle $x_0=0$:
  $f(0)=2 \cdot 0^4 + 4 \cdot 0^2 -2 \cdot 0= 0$
  $\frac{f(x)-f(0)}{x-0} = \frac{3x^4+4x^2-2x-0}{x} = \frac{3x^4+4^2-2x}{x} = \frac{(3x^3+4x-2)\cdot x}{x} = 3x^3+4x-2$
  $\lim \limits_{x \to 0} \frac{f(x)-f(0)}{x-0} = \lim \limits_{x \to 0} 3x^3+4x-2 = 3 \cdot 0^3 + 4 \cdot 0 -2=-2$

  Beispiel 3:
  Wir betrachten die Funktion $f(x)=2x^3+2x^2-20x+16$ an der Stelle $x_0=2$:
  $f(2) = 2 \cdot 2^3 + 2 \cdot 2^2 - 20 \cdot 2 +16 = 16+8-40 +16 = 0$
  $\frac{f(x)-f(2)}{x-2} = \frac{2x^3+2x^2-20x+16}{x-2} = \frac{2(x^3+x^2-10x+8)}{x-2} = \frac{2(x^2+3x-4)(x-2)}{x-2} = 2(x^2+3x-4) = 2x^2+6x-8$
  $\lim \limits_{x \to 2} \frac{f(x)-f(2)}{x-2} = \lim \limits_{x \to 2} 2x^2+6x-8= 2 \cdot 2^2+6 \cdot 2-8 = 12$
  Die faktorisierte Form im Zähler erhalten wir hier, indem wir durch Ausprobieren eine Nullstelle des Nenners ermitteln (hier $x=2$). Dann können wir eine Polynomdivision durch $(x - 2)$ durchführen und den Term faktorisieren.

  $\,$

  Hinweis: Wir können den Differentialquotienten auch ermitteln, indem wir uns der Stelle $x_0$ immer weiter annähern und jeweils den Differenzenquotienten bestimmen. Daraus können wir dann den Grenzwert schlussfolgern.