Steigung in einem Punkt
Erfahre, wie du mit dem Differenzenquotienten die Steigung in einem Punkt annäherungsweise berechnen kannst. Du wirst lernen, dass eine präzisere Näherung durch die Verkleinerung des Parameters $h$ erreicht wird. Interessiert? Dies und Übungsaufgaben erwarten dich im nächsten Abschnitt!
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Grundlagen zum Thema Steigung in einem Punkt
Steigung in einem Punkt berechnen
Beim Wandern in den Bergen ist dir bestimmt schon einmal aufgefallen, dass die Steigung nicht konstant ist. Gerade dort ist es aber wichtig, die Steigung an den verschiedenen Punkten zu kennen, damit man seine Kräfte gut einteilen kann. Aber wie können wir die Steigung an einem Punkt berechnen?
Wiederholung: mittlere Steigung
Die Bestimmung der mittleren Änderungsrate oder mittleren Steigung über ein Intervall solltest du bereits kennen. Wir schauen uns das Vorgehen noch einmal an. Bisher hast du die mittlere Steigung immer über eine Sekante, die die Funktion in zwei Punkten ($x$ und $x_0$) schneidet, und das dazugehörige Steigungsdreieck bestimmt. Das sieht so aus:
Das $s$ bezeichnet die Sekante. Der Differenzenquotient $D$ gibt dabei die Steigung der Sekante an. Er sagt aus, wie sehr sich der Funktionswert $f(x)$ (auch: y-Wert) bei einer vorgegebenen Änderung des x-Werts ändert. Die Formel für $D$ ist die folgende:
$D=\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$
Dabei sind $f(x)$ und $f(x_0)$ die Funktionswerte zu $x$ und $x_0$, also die Koordinaten der Punkte, an denen die Sekante $s$ den Funktionsgraphen schneidet.
Wie berechnet man die Steigung in einem Punkt?
Was passiert mit der Sekante, wenn wir $x$ und $x_0$ einander annähern? Die Lage der Sekante ändert sich, sie schmiegt sich immer mehr an die Funktion an und berührt sie irgendwann nur noch in einem Punkt. Die Gerade heißt dann nicht mehr Sekante, sondern Tangente. Dieser Fall ist genau dann erreicht, wenn $x=x_0$ ist. Die Tangente gibt die Steigung des Graphen in genau dem Punkt an, an dem sie ihn berührt. Doch wie können wir die Steigung der Tangente berechnen?
Zuerst müssen wir die Gleichung für $D$ modifizieren. Da wir nicht durch $0$ teilen, können wir nicht $x=x_0$ nutzen, sondern rechnen mit einer möglichst geringen Differenz der beiden Punkte. Den Abstand bezeichnen wir als $h$. Da $h=x-x_0$ ist, gilt also:
$x=x_0+h$
Nun ersetzen wir $x$ in der Formel zur Berechnung von $D$ durch $x_0+h$. Die Formel lautet dann folgendermaßen:
$D=\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{x_0+h-x_0}$
Im Nenner heben sich $x_0$ und $-x_0$ gegenseitig auf und $h$ bleibt allein stehen. Die Gleichung zur Berechnung von $D$ sieht jetzt folgendermaßen aus:
$D=\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$
Fällt dir etwas an der Formel auf? Wir benötigen nur noch eine Stelle $x_0$, können also einen Punkt auswählen, in dem wir die Steigung berechnen wollen. Der Parameter $h$ gibt in dieser Formel die Genauigkeit unserer Rechnung an. Setzen wir jetzt sehr kleine Zahlen für $h$ ein, die sich der $0$ nähern, erhalten wir einen guten Näherungswert für die Steigung in dem gewählten Punkt.
Steigung in einem Punkt berechnen – Beispiel
Schauen wir uns die Funktion $f(x)=x^{3}$ an. Bei dieser Funktion ist die Steigung an verschiedenen Punkten sehr unterschiedlich. Betrachten wir nun die Steigung im Punkt $P(1|1)$. Zunächst wählen wir einen Wert nahe der $0$ aus, den wir für $h$ einsetzen. Rechnen wir zuerst mit $h=1$. Damit ist:
$D=\frac{f(1+1)-f(1)}{1}$
Setzen wir nun die Funktionswerte ein, ergibt sich:
$D=\frac{2^{3}-1^{3}}{1} = \frac{8-1}{1}$
$\Leftrightarrow D=7$
Wir erhalten für den Differenzenquotienten also $7$.
Um einen genaueren Wert für die Steigung zu erhalten, setzen wir für $h$ einen kleineren Wert ein. Rechnen wir das Gleiche noch einmal mit $h=0,5$, dann erhalten wir:
$D=\frac{f(1+0,5)-f(1)}{0,5}$
$\Leftrightarrow D=\frac{1,5^{3}-1^{3}}{0,5}=\frac{3,375-1}{0,5}$
$\Leftrightarrow D=4,75$
In diesem Fall ist $D$ gleich $4,75$.
Vergleichen wir diese beiden Werte in der Grafik, indem wir Geraden mit der entsprechenden Steigung einzeichnen, sehen wir deutlich, dass die zuerst berechnete Steigung von $7$ der Tangente (in der Grafik mit $t$ bezeichnet) in dem Punkt $P(1|1)$ noch nicht sehr nahekommt. Für die zweite Berechnung sehen wir, dass die berechnete Steigung schon etwas genauer ist.
Wir berechnen die Steigung mit einem dritten Wert für $h$, um der Steigung der Tangente noch näher zu kommen. Dafür rechnen wir mit $h=0,01$ und erhalten:
$D=\frac{f(1+0,01)-f(1)}{0,01}$
$\Leftrightarrow D=\frac{1,01^{3}-1^{3}}{0,01}=\frac{1,030301-1}{0,01}$
$\Leftrightarrow D=3,0301$
Betrachten wir die Gerade mit dieser Steigung, dann sehen wir, dass die Gerade aus unserem dritten Versuch mit der Tangente schon fast übereinstimmt.
Das heißt, dass wir mit einem Wert von $h=0,01$ eingesetzt in den Differenzenquotienten $D$ einen sehr guten Näherungswert für die Steigung im Punkt $P(1|1)$ erhalten haben.
Kurze Zusammenfassung zum Video Steigung in einem Punkt
In diesem Video lernst du, wie du mithilfe des Differenzenquotienten $D$ durch eine geeignete Wahl des Parameters $h$ die Steigung in einem Punkt näherungsweise berechnest. Dabei wird deutlich, dass $D$ umso genauer ist, je kleiner $h$ gewählt wird. Du findest auf dieser Seite auch Aufgaben zur Berechnung der Steigung in einem Punkt, mit denen du dein neu erworbenes Wissen vertiefen kannst.
Transkript Steigung in einem Punkt
In vielen Anwendungen ist es sinnvoll, die Steigung in einem Punkt zu bestimmen und nicht als Mittelwert in einem Intervall. Beim Wandern in den Bergen ist besonders die Steigung der unterschiedlichen Abschnitte des Berges von Interesse.
Dir wird klar sein, dass die Steigung in einem Abschnitt nicht konstant ist. Um nun beim Wandern sich die Kraft möglichst gleichmäßig einzuteilen, wäre es daher interessant, an welcher Stelle sich die größte Steigung befindet.
Bisher hast du die mittlere Steigung immer über die Sekante und dem dazugehörigen Steigungsdreieck bestimmt. Dabei war die Formel für den **Differenzenquotienten D ist gleich f von x Minus f von x0 geteilt durch x Minus x0. Was geschieht mit der Sekante, wenn man nun die Stellen x null und x einander annähert?
Die Lage der Sekante ändert sich. Dabei entsteht eine Gerade, die sich an die Funktion anschmiegt und sie nur noch in einem Punkt berührt. Aus der Sekante wird also eine Tangente. Die Tangente gibt die Steigung in genau einem Punkt an. Wie kann man nun die Steigung in einem Punkt berechnen?
Steigung in einem Punkt berechnen
Wir modifizieren zuerst die Gleichung des Differenzenquotienten. Den Abstand zwischen x0 und x bezeichnen wir jetzt als h. Also x ist gleich x Null plus h.
Wir setzen nun für x gleich x null plus h in die Formel ein und erhalten D gleich f von x null plus h minus f von x null geteilt durch xo +h -xo. Im Zähler passiert dadurch nicht viel, aber im Nenner kürzt sich xo raus und h bleibt alleine stehen. Somit ist D gleich f von x null plus h minus f von x null geteilt durch h.
Neu an dieser Formel ist, dass wir nun nur noch eine Stelle x null benötigen. Der Parameter h gibt in dieser Formel die Genauigkeit unserer Rechnung an. Wenn du nun für h also sehr kleine Zahlen, welche sich der Null nähern, einsetzt, bekommst du einen guten Näherungswert für die gesuchte Steigung der Tangente.
Beispiel Setigung in einem Punkt
Schauen wir uns das einmal in einem Beispiel an. Dies ist die Funktion f von x gleich x hoch 3. Wie du sehen kannst, ist die Steigung an verschiedenen Punkten der Funktion sehr unterschiedlich.
Betrachte nun einmal den Punkt P mit den Werten (1|1). Zunächst setzten wir für h den Wert 1 ein und erhalten D gleich f von 1 plus 1 - f von 1 geteilt durch 1.
Setzt man die Funktionswerte ein so erhält man 2 hoch drei minus 1 hoch drei geteilt durch 1. Das ergibt 8-1 geteilt durch 1. Wir erhalten als Differenzenquotient gleich 7.
Um einen genaueren Wert für die Steigung im Punkt P zu erhalten setzen wir nun für h einen kleineren Wert ein. Zum Beispiel 0,5.
Zunächst setzten wir für h den Wert 0,5 ein und erhalten D gleich f von 1 plus 0,5 - f von 1 geteilt durch 0,5.Setzt man die Funktionswerte ein so erhält man 1,5 hoch drei minus 1 hoch drei geteilt durch 0,5. Das ergibt 3,375-1 geteilt durch 0,5. Wir erhalten als Differenzenquotient gleich 4,75.
Nun betrachten wir am Schaubild unsere Ergebnisse. Die Steigung im Punkt P wird durch die Steigung der Tangente am Punkt P beschrieben. Beim ersten Versuch haben wir h gleich 1 eingesetzt und die Steigung 7 erhalten. Wie du siehst kommt diese Steigung der Steigung im Punkt P noch nicht sehr nahe.
Beim zweiten Versuch haben wir h gleich 0,5 eingesetzt und die Steigung 4,75 erhalten. Wie du siehst kommen wir der Steigung der Tangente schon näher.
In einem neuen Versuch wollen wir uns der Steigung der Tangente weiter annähern. Hierzu benötigen wir ein möglichst kleines h. Wir wählen h gleich 0,01.
Zunächst setzten wir für h den Wert 0,01 ein und erhalten D gleich f von 1 plus 0,01 - f von 1 geteilt durch 0,01.Setzt man die Funktionswerte ein so erhält man 1,01 hoch drei minus 1 hoch drei geteilt durch 0,01. Das ergibt 1,030301-1 geteilt durch 0,01. Wir erhalten als Differenzenquotient gleich 3,0301.
Betrachten wir nun wieder das Schaubild, dann sehen wir, dass die Gerade aus unserem dritten Versuch mit der Tangente schon fast identisch ist. Das bedeutet, dass wir mit h gleich 0,01, eingesetzt in den Differenzenquotienten D, einen sehr guten Näherungswert für die Steigung im Punkt P erhalten haben.
Zusammenfassung
Abschließend fasse ich noch einmal kurz zusammen, was du im Video gelernt hast. Du kannst nun mithilfe des dir bereits bekannten Differenzenquotienten, durch eine geeignete Wahl des Parameters h, die Steigung in einem Punkt näherungsweise berechnen.
Dabei haben wir festgestellt, je kleiner wir h wählen, desto eher entspricht unser Ergebnis der Steigung der Tangente im Punkt P. An dieser Stelle sage ich jetzt: Tschüss und bis zum nächsten Mal.
Steigung in einem Punkt Übung
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Beschreibe den Weg von der Sekante zur Tangente.
TippsWenn eine Gerade ein Objekt in zwei Punkten schneidet, wie wird diese Gerade dann genannt?
Liegt lediglich ein Berührpunkt vor, wird die Gerade Tangente genannt.
LösungDie durchschnittliche Steigung zwischen zwei Punkten x$_0$ und x kann man gut mit Hilfe der Sekante durch die Punkte f$($x$_0$$)$ und f$($x$)$ und einem entsprechenden Steigungsdreieck bestimmen. Der Differenzenquotient gibt die Steigung D = $\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$ an.
Nun ist es aber interessant nicht nur die durchschnittliche Steigung zwischen zwei Punkten zu kennen, sondern auch die Steigung in einem Punkt. Dafür ändern wir den Differenzenquotienten ein bisschen ab. Unser Ziel ist es, dass x$_0$ und x sehr nahe nebeneinander liegen. Wir können die Differenz zwischen x$_0$ und x mit h beschreiben und dann nach x umstellen, sodass x = x$_0$ + h.
Dies setzen wir nun in unseren leicht angepassten Differenzenquotieten ein:
D = $\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$.
-
Untersuche die Steigung der Funktion $f(x) = x^3$ im Punkt $P (1|1)$ näherungsweise.
TippsWähle erst große $h$, um zu beobachten, wie unser Ergebnis genauer wird, je kleiner $h$ ist.
Der Differenzenquotienten $D$ lautet $\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$.
LösungMit dem von uns angepassten Differenzenquotienten können wir ziemlich genaue Angaben über die Steigung in einem Punkt machen. Unsere Funktion lautet hier $f(x) = x^3$ und wir wollen möglichst genau die Steigung im Punkt $P (1|1)$ bestimmen.
Wir erinnern uns, dass h den Abstand zwischen zwei Punkten $x_0$ und $x$ bestimmt. Da die Sekante durch zwei Punkte einer Tangente ähnelt, wenn diese sehr nahe beieinander sind, wählen wir h einfach möglichst klein.
$h = 0,01$ ist da eigentlich schon gut gewählt. Es liefert uns eine ziemlich gute Näherung der Steigung, indem wir es in den Differenzenquotienten $D = \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$ einsetzen.
In unserem Fall lautet er dann:
$D = \frac{f(1+0,01)-f(1)}{0,01} = \frac{1,01^3-1^3}{0,01} = 3,0301$.
Das kommt der tatsächlichen Steigung von $3$ schon sehr nahe. Je kleiner wir $h$ wählen, desto genauer ist unser Differenzenquotient.
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Bestimme die durchschnittliche Steigung und die maximale Steigung der Sprungschanze.
TippsWir wollen zunächst die Steigung eines Steigungsdreiecks, dann die Steigung im Punkt $R$ berechnen.
Benutze den Differenzenquotienten und verwende für die Steigung im Punkt $R$ ein möglichst kleines $h$.
LösungDie Skisprungschanze lässt sich durch die Funktion $f(x) = 2x^2$ beschreiben. Die Startposition ist im Punkt $R (4|32)$.
Wenn wir nun eine Sekante durch die Punkte $Q$ und $R$ zeichnen, ergibt sich die Hypotenuse eines Steigungsdreieck. Wir können mit dem Differenzenquotienten die durchschnittliche Steigung $D = \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$ berechnen. Dabei ist $x_0 = 0$ und $x = 4$. Es ergibt sich $D = \frac{2 \cdot 4^2-2 \cdot 0^2}{4-0} = \frac{32}{4} = 8$.
Wollen wir dagegen die genaue Steigung im Punkt $R (4|32)$ berechnen, so benutzen wir den angepassten Differenzenquotienten und wählen ein kleines $h$, wie $h = 0,01$. Dann haben wir:
$D = \frac{f(4+0,01) - f(4)}{0,01} = \frac{2 \cdot 4,01^2 - 2 \cdot 4^2}{0,01} = \frac{0,1602}{0,01} = 16,02$.
Das ist fast der genaue Wert für die Steigung im Punkt R. Runden wir ihn und wir erhalten - wie wir zu einem späteren Zeitpunkt beweisen können - den exakten Wert. Die Steigung beträgt im Punkt $R$ $16$.
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Ordne den verschiedenen Funktionen die Steigung an der Stelle $x_0 = 3$ zu.
TippsVerwende den Differenzenquotienten $D = \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$ mit möglichst kleinem $h$.
Wähle $h = 0,01$ und runde das Ergebnis ab.
LösungDie Steigung an der Stelle $x_0 = 3$ der Funktion $f(x) = \frac{1}{3}x^3 + 2$ lässt sich berechnen, indem man die Stelle im Differenzenquotienten untersucht und ein kleines $h$ wählt, beispielsweise $h = 0,01$.
$D = \frac{f(3+0,01)-f(3)}{0,01} = \frac{(\frac{1}{3} \cdot 3,01^3 + 2)-(\frac{1}{3} \cdot 3^3 + 2)}{0,01} \approx \frac{11,09030033 - 11}{0,01} = \frac{0,09030033}{0,01} = 9,030033$.
Abgerundet liefert uns das die tatsächliche Steigung an der Stelle $x_0 = 3$. Sie liegt bei $9$.
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Gib an, welche Aussagen über den Differenzenquotienten und die Steigung wahr sind.
TippsDie Begriffe "tangere" und "secare" kommen aus dem Lateinischen und bedeuten "berühren" und "schneiden".
LösungMittels der Sekante, welcher die Funktion an zwei Punkten schneidet, haben wir bisher ein Steigungsdreieck zeichnen und den Differenzenquotienten berechnen können. Allerdings hat dieser Differenzenquotient uns nur die durchschnittliche Steigung zwischen zwei Punkten auf der Funktion angezeigt.
Wir haben aber festgestellt, dass wir einen ziemlich genauen Wert für die Steigung berechnen können, wenn wir den Abstand zwischen x$_0$ und x klein werden lassen. Je näher x$_0$ und x nebeneinander liegen, desto mehr ähnelt die Sekante einer Tangente, welche den Funktionsgraphen nur berührt. So lässt sich die Steigung in einem Punkt ziemlich genau berechnen.
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Bestimme die Stelle x$_0$ des Funktionsgraphen f$($x$)$ = x$^2$, an der der Graph die Steigung 6 hat.
TippsWähle h = 0,01, um einen möglichst präzisen Wert zu erhalten.
Setze D = 6 und löse den Differenzenquotienten nach x auf.
LösungHier ist die Steigung vorgegeben. Sie beträgt 6 und wir suchen die Stelle x$_0$ der Funktion f$($x$)$ = x$^2$, wo diese Steigung existiert.
Dafür müssen wir unser bisheriges Procedere lediglich ein wenig ändern. Die Lage ist dieses Mal folgende, dass D = 6 gegeben ist und wir x$_0$ suchen. Wählen wir wiederum h = 0,01.
Dann ergibt sich:
D = 6 = $\frac{(x + 0,01)^2 - x^2}{0,01}$ = $\frac{x^2 + 0,02x + 0,0001 - x^2}{0,01}$ = $\frac{0,02x + 0,0001}{0,01}$ = 2x + 0,01.
Subtrahieren wir nun auf beiden Seiten der Gleichung 0,01, ergibt sich 5,99 = 2x und somit x $\approx$ 3.
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Hallo,
kann man den Differenzenquotienten mit dem Parameter h auch als "Steigung der Tangente" bezeichnen?
Hallo
Habe das Video der Herleitung des Differentialquotienten bzw. der ersten Ableitung nun selber schon gefunden!
Hallo
Bin neu bei Sofatur. Frage: In diesem Video (Steigung in einem Punkt) wird h eingeführt. Je kleiner h gewählt wird, umso genauer ergibt sich die berechnete Steigung der Tangente. Ich nehme an, dass die EXAKTE Steigung der Tangente man erhält, wenn man h gegen 0 streben lässt. Diese Steigung wäre dann wohl die eigentliche Ableitung einer Funktion an einem Punkt. In welchem Video finde ich nun aber die GRUNDSÄTZLICHE Herleitung, wie man zu den nachfolgenden Ableitungsformeln kommt? Man müsste ja wahrscheinlich h = 0 einsetzen / oder gegen 0 streben lassen! Wie geht dies?
Vielen Dank.
Walter
Wie würde das Ergebniss aussehen wenn wir anstatt x hoch 3 x hoch 3 +1 hätten ?
Hallo^^.
Im Video wird z.B. die Steigung von f(x)=x³ im Punkt (1|1) näherungsweise berechnet. Die Steigung im Punkt (1|1) ist gleichzeitig die Steigung der Tangente, welche den Graphen im Punkt (1|1) berührt. Man kennt somit zwei Eigenschaften der Tangente. 1.) Sie besitzt den Berührpunkt (1|1) 2.) Sie hat den Anstieg von ca. 3,03. Zum Zeichnen einer Gerade genügen die Angaben ( vom Punkt (1|1) ein Steigungsdreieck zeichnen mit Anstieg 3,03 --> du erhältst einen weiteren Punkt --> die zwei Punkte miteinander verbinden --> Tangente entsteht)
Ich hoffe, dass ich dir helfen konnte^^.