Dreisatz bei antiproportionalen Zuordnungen – Beispiele

Dreisatz bei antiproportionalen Zuordnungen – Beispiele Übung

• Vervollständige den Text zum Dreisatz bei antiproportionalen Zuordnungen.

  Tipps

  Wenn du, statt mit einer Zahl zu multiplizieren, durch dieselbe Zahl dividierst oder umgekehrt, dann nennt man das die Umkehroperation.

  Ein Beispiel für eine antiproportionale Zuordnung ist das Aufteilen von $24$ Muffins auf eine bestimmte Anzahl an Personen. Wenn du die Muffins zwischen mehr Personen aufteilst, dann bekommen die einzelnen Personen weniger Muffins.

  Lösung

  Bei einer Zuordnung werden Größen aus einem Bereich und Größen aus einem anderen Bereich in Beziehung zueinander gestellt.

  Für antiproportionale Zuordnungen gilt: Je mehr von Größe eins, desto weniger von Größe zwei.
  Verringert sich wiederum der Wert von Größe eins, dann steigt der Wert von Größe zwei. Das heißt, je weniger von Größe eins, desto mehr von Größe zwei.

  Daher müssen wir beim Dreisatz für die zweite Größe immer die Umkehroperation durchführen. Das bedeutet, wir müssen, wenn wir die erste Größe mit einer Zahl (zum Beispiel $3$) multiplizieren, die zweite Größe durch dieselbe Zahl dividieren.

• Vervollständige die Lösung der Aufgabe mit dem Dreisatz.

  Tipps

  Bei antiproportionalen Zuordnungen musst du beim Dreisatz auf der jeweils anderen Seite immer die Umkehroperation verwenden. Das heißt, wenn du auf einer Seite zum Beispiel durch $5$ teilst, dann musst du in diesem Schritt auf der anderen Seite mit $5$ multiplizieren.

  Die erste Zeile beim Dreisatz enthält das gegebene Wertepaar aus der Aufgabe, in der letzten Zeile steht das gesuchte Wertepaar.

  Lösung

  Bei antiproportionalen Zuordnungen gilt: Je mehr von Größe eins, desto weniger von Größe zwei.
  Verringert sich der Wert von Größe eins, dann steigt der Wert von Größe zwei.

  Wenn wir bei antiproportionalen Zuordnungen den Dreisatz anwenden, gehen wir wie gewohnt in drei Schritten vor:

  1. Zunächst tragen wir das gegebene Wertepaar in die Dreisatztabelle ein.
  2. In einem zweiten Schritt rechnen wir auf einen Hilfswert herunter. Dabei müssen wir darauf achten, bei der zugeordneten Größe die Umkehroperation durchzuführen.
  3. Dann können wir im letzten Schritt hochrechnen und so den gesuchten Wert bestimmen.

  Hier muss also in der ersten Zeile rechts eine $4$ stehen, da laut Aufgabenstellung drei Bademeister vier Stunden brauchen.
  Im nächsten Schritt wird auf der linken Seite durch $3$ geteilt. Deshalb müssen wir die rechte Seite mit $3$ multiplizieren.
  Da $3 : 3 = 1$ ergibt, steht in der zweiten Zeile links eine $1$.
  Nun rechnen wir im dritten Schritt auf der linken Seite $\cdot~4$. Wir müssen also auf der rechten Seite durch dieselbe Zahl dividieren, das heißt $: 4$ rechnen.
  Damit ergibt sich für vier Bademeister eine Zeit von $12 : 4 = 3$ Stunden.

• Entscheide, welche Aussagen zum Dreisatz bei antiproportionalen Zuordnungen korrekt sind.

  Tipps

  Bei einer antiproportionalen Zuordnung nimmt die zweite Größe ab, wenn die erste zunimmt (und umgekehrt).

  Im zweiten Schritt bringst du beim Dreisatz eine der Größen auf einen passenden Hilfswert. Den Hilfswert solltest du so wählen, dass du damit leicht auf den gesuchten Wert hochrechnen kannst.

  Lösung

  Wir müssen beim Dreisatz für antiproportionale Zuordnungen von einem Schritt zum nächsten die eine Größe mit einer Zahl multiplizieren und die andere Größe durch dieselbe Zahl teilen. Wenn wir also zum Beispiel die erste Größe $: 5$ rechnen, dann müssen wir die zweite Größe $\cdot~5$ nehmen.
  Es wird dabei also immer ein Größe multipliziert und die andere Größe dividiert, da sich die Größen im selben Verhältnis verändern. Wir können daher nicht einfach einen festen Wert zu einer Größe addieren und von der anderen Größe abziehen.

  Im zweiten Schritt rechnen wir auf einen Hilfswert herunter. Das kann $1$ sein, aber auch ein anderer Wert. Wenn möglich, solltest du den Wert so wählen, dass du danach im dritten Schritt leicht auf den gesuchten Wert hochrechnen kannst.

  Aufgabe: Zwei Hunde bekommen pro Tag $800$ Gramm Futter – wie viel Futter bekommen fünf Hunde pro Tag?
  Hier besteht zwischen der Anzahl der Hunde und der Futtermenge ein proportionaler Zusammenhang, da mehr Hunde auch mehr Futter benötigen. Du kannst sie deshalb mit dem Dreisatz für proportionale Zuordnungen lösen, nicht aber mit dem Dreisatz für antiproportionale Zuordnungen.

  Aufgabe: Für zwei Hunde reichen $8$ Kilogramm Futter für zehn Tage – wie lange reicht dieselbe Futtermenge für fünf Hunde?
  In dem Fall besteht zwischen der Anzahl der Hunde und der Anzahl der Tage, für die das Futter reicht, ein antiproportionaler Zusammenhang, da für mehr Hunde das Futter weniger lang ausreicht. Diese Aufgabe kannst du mit dem Dreisatz für antiproportionale Zuordnungen lösen.

  Lösung: Aus der Angabe wissen wir, dass die Futtermenge bei zwei Hunden für zehn Tage reicht.
  Wir teilen die Anzahl der Hunde durch $2$ und multiplizieren entsprechend die Anzahl der Tage mit $2$.
  Es ergibt sich, dass das Futter für einen Hund $20$ Tage reicht.
  Nun multiplizieren wir die Anzahl der Hunde mit $5$ und teilen entsprechend die Anzahl der Tage durch $5$.
  Wir erhalten das Ergebnis, dass für fünf Hunde das Futter vier Tage reicht.

• Ermittle die Lösung der Aufgabe mit dem Dreisatz.

  Tipps

  Trage zunächst die Werte aus der Aufgabe in die erste Zeile ein. Die Füllzeit musst du dazu in Stunden umrechnen.

  Beim Dreisatz für antiproportionale Zuordnungen musst du immer auf einer Seite multiplizieren und auf der anderen Seite durch dieselbe Zahl dividieren.

  Lösung

  Bei antiproportionalen Zuordnungen gilt: Je mehr von Größe eins, desto weniger von Größe zwei.
  Verringert sich der Wert von Größe eins, dann steigt der Wert von Größe zwei.

  Wenn wir bei antiproportionalen Zuordnungen den Dreisatz anwenden, gehen wir wie gewohnt in drei Schritten vor:

  1. Zunächst tragen wir das gegebene Wertepaar in die Dreisatztabelle ein.
  2. In einem zweiten Schritt rechnen wir auf einen Hilfswert herunter. Dabei müssen wir darauf achten, bei der zugeordneten Größe die Umkehroperation durchzuführen.
  3. Dann können wir im letzten Schritt hochrechnen und so den gesuchten Wert bestimmen.

  Hier tragen wir in die erste Zeile neben den $2$ Pumpen eine Füllzeit von $1~\text{d} + 9~\text{h} = 24~\text{h} + 9~\text{h} = 33~\text{h}$ ein.
  Von $33~\text{h}$ kommen wir auf den Hilfswert $3~\text{h}$, indem wir durch $11$ teilen. Entsprechend müssen wir die Anzahl der Pumpen links mit $11$ multiplizieren. Damit kommen wir auf $22$ Pumpen mit einer Füllzeit von $3~\text{h}$.
  Die gesuchte Füllzeit von $6~\text{h}$ erhalten wir, indem wir die $3~\text{h}$ mit $2$ multiplizieren. Entsprechend müssen wir die Anzahl der Pumpen links durch $2$ teilen. Damit kommen wir auf $11$ Pumpen mit einer Füllzeit von $3~\text{h}$.

  Bodo braucht also elf Pumpen, damit das große Becken noch rechtzeitig zur Eröffnung ganz voll wird.

• Gib an, wie du die Aufgabe mit dem Dreisatz lösen kannst.

  Tipps

  Zwischen der Geschwindigkeit und der Zeit besteht ein antiproportionaler Zusammenhang: Je höher die Geschwindigkeit, desto weniger Zeit braucht man für dieselbe Strecke.

  Du beginnst mit einem gegebenen Wertepaar aus der Aufgabe.

  Als Nächstes schaust du, wie du auf einen geeigneten Hilfswert kommst, um dann möglichst einfach auf den gesuchten Wert hochrechnen zu können.

  Lösung

  Bei antiproportionalen Zuordnungen gilt: Je mehr von Größe eins, desto weniger von Größe zwei.
  Verringert sich der Wert von Größe eins, dann steigt der Wert von Größe zwei.

  Wenn wir bei antiproportionalen Zuordnungen den Dreisatz anwenden, gehen wir wie gewohnt in drei Schritten vor:

  1. Zunächst tragen wir das gegebene Wertepaar in die Dreisatztabelle ein.
  2. In einem zweiten Schritt rechnen wir auf einen Hilfswert herunter. Dabei müssen wir darauf achten, bei der zugeordneten Größe die Umkehroperation durchzuführen.
  3. Dann können wir im letzten Schritt hochrechnen und so den gesuchten Wert bestimmen.

  Hier handelt es sich um einen antiproportionalen Zusammenhang, da bei einer höheren Geschwindigkeit für dieselbe Strecke weniger Zeit benötigt wird: Aus der Angabe wissen wir, dass man mit einer Geschwindigkeit von $16~\frac{\text{km}}{\text{h}}$ für die Strecke $1\frac{1}{4}~\text{h} = 1~\text{h}~15~\text{min}$ benötigt.

  Wir wollen bestimmen, wie lange man bei einer Geschwindigkeit von $30~\frac{\text{km}}{\text{h}}$ für dieselbe Strecke braucht. Ein geeigneter Hilfswert ist hier $2~\frac{\text{km}}{\text{h}}$, da wir dann leicht auf $30~\frac{\text{km}}{\text{h}}$ hochrechnen können.
  Um auf den Hilfswert zu kommen, müssen wir im zweiten Schritt die Geschwindigkeit $16~\frac{\text{km}}{\text{h}}$ durch $8$ teilen. Entsprechend müssen wir die Zeit $1~\text{h}~15~\text{min}$ mit $8$ multiplizieren. Es ergibt sich:

  $2~\frac{\text{km}}{\text{h}} ~≙~10~\text{h}$

  Um auf die gesuchte Geschwindigkeit $30~\frac{\text{km}}{\text{h}}$ zu kommen, müssen wir nun die $2~\frac{\text{km}}{\text{h}}$ mit $15$ multiplizieren. Entsprechend rechnen wir die Zeit $10~\text{h}$ geteilt durch $15$. Wir erhalten:

  $30~\frac{\text{km}}{\text{h}} ~≙~40~\text{min}$

  Damit ist unsere Antwort, dass Julius mit dem Roller für dieselbe Strecke $40$ Minuten braucht.

• Bestimme die Lösung mit dem Dreisatz.

  Tipps

  Überlege zunächst, welche Größen jeweils antiproportional zusammenhängen.

  Rechne von dem gegebenen Wertepaar aus der Aufgabe auf einen geeigneten Hilfswert herunter, damit du dann leicht auf den gesuchten Wert hochrechnen kannst.

  Lösung

  Bei antiproportionalen Zuordnungen gilt: Je mehr von Größe eins, desto weniger von Größe zwei.
  Verringert sich der Wert von Größe eins, dann steigt der Wert von Größe zwei.

  Wenn wir bei antiproportionalen Zuordnungen den Dreisatz anwenden, gehen wir wie gewohnt in drei Schritten vor:

  1. Zunächst tragen wir das gegebene Wertepaar in die Dreisatztabelle ein.
  2. In einem zweiten Schritt rechnen wir auf einen Hilfswert herunter. Dabei müssen wir darauf achten, bei der zugeordneten Größe die Umkehroperation durchzuführen.
  3. Dann können wir im letzten Schritt hochrechnen und so den gesuchten Wert bestimmen.

  Aufgabe 1: Hier besteht ein antiproportionaler Zusammenhang zwischen der Anzahl der Hunde und der Anzahl der Tage, für die das Futter ausreicht.
  Aus der Angabe wissen wir, dass die Futtermenge bei zwei Hunden für zehn Tage reicht.
  Wir teilen die Anzahl der Hunde durch $2$ und multiplizieren entsprechend die Anzahl der Tage mit $2$: Es ergibt sich, dass das Futter für einen Hund $20$ Tage reicht.
  Jetzt multiplizieren wir die Anzahl der Hunde mit $5$ und teilen entsprechend die Anzahl der Tage durch $5$: Wir erhalten das Ergebnis, dass für fünf Hunde das Futter für vier Tage ausreicht.

  Aufgabe 2: In dem Fall besteht ein antiproportionaler Zusammenhang zwischen dem Preis pro Süßigkeit und der Anzahl, die sich Nele leisten kann.
  Aus der Angabe wissen wir, dass sie zehn saure Drops für $20$ Cent das Stück kaufen kann.
  Wir wollen ermitteln, wie viele Gummischlangen zu einem Preis von $25$ Cent pro Stück Nele kaufen kann. Als Hilfswert wählen wir einen Preis von $5$ Cent pro Stück, da wir dann leicht auf $25$ Cent pro Stück hochrechnen können.
  Dazu teilen wir den Stückpreis durch $4$ und multiplizieren entsprechend die Anzahl der Süßigkeiten mit $4$: Es ergibt sich, dass Nele für einen Preis von $5$ Cent pro Stück $40$ Süßigkeiten kaufen kann.
  Nun multiplizieren wir den Stückpreis mit $5$ und teilen entsprechend die Anzahl der Süßigkeiten durch $5$: Wir erhalten das Ergebnis, dass Nele für einen Stückpreis von $25$ Cent genau acht Gummischlangen kaufen kann.