Dreisatz bei proportionalen Zuordnungen – Beispiele

Dreisatz bei proportionalen Zuordnungen – Beispiele Übung

• Beschreibe, was eine proportionale Zuordnung ist.

  Tipps

  Beispiel für eine proportionale Zuordnung:

  Zwei Äpfel wiegen $400$ Gramm. Vier Äpfel wiegen $800$ Gramm.

  Lösung

  Bei einer proportionalen Zuordnung werden zwei einander zugeordnete Größen im stets gleichbleibenden Verhältnis größer oder kleiner: Wird die eine Größe verdoppelt, so wird die andere Größe auch verdoppelt.

  Wir betrachten dies an einem Beispiel: $6$ Mangos kosten $8,10~€$. Die beiden einander zugeordneten Größen sind in diesem Fall die Anzahl der Mangos und der Preis. Wird die Anzahl der Mangos verdoppelt, so verdoppelt sich auch der Preis. Für halb so viele Mangos bezahlt man hingegen nur die Hälfte.

  Haben wir eine proportionale Zuordnung gegeben, können wir mit dem Dreisatz rechnen.

  In unserem Beispiel könnten wir den Preis für $5$ Mangos berechnen:

  $6$ Mangos kosten $8,10~€$.

  $1$ Mango kostet $1,35~€$.

  $5$ Mangos kosten $6,75~€$.

• Vervollständige den Dreisatz.

  Tipps

  Bei einer proportionalen Zuordnung werden zwei einander zugeordnete Größen im stets gleichbleibenden Verhältnis größer oder kleiner.

  Wird die eine Größe verdoppelt, so verdoppelt sich die andere Größe auch.

  Wird die eine Größe halbiert, so halbiert sich die andere Größe auch.

  Lösung

  Um den Dreisatz anzuwenden, multiplizieren wir beide Werte mit der gleichen Zahl oder dividieren durch die gleiche Zahl.

  Himbeeren:

  $500~\text{g}$ Himbeeren kosten $4,00~€$.

  Wir teilen beide Werte durch $2$:

  $250~\text{g}$ Himbeeren kosten $2,00~€$.

  Wir multiplizieren beide Werte mit $5$:

  $1 250~\text{g}$ Himbeeren kosten $10,00~€$.

  Äpfel:

  $5~\text{kg}$ Äpfel kosten $12,00~€$.

  Wir dividieren beide Werte durch $5$:

  $1~\text{kg}$ Äpfel kostet $2,40~€$.

  Wir multiplizieren beide Werte mit $2$:

  $2~\text{kg}$ Äpfel kosten $4,80~€$.

  Mohnschnecken:

  $3$ Mohnschnecken kosten $3,99~€$.

  Wir dividieren beide Werte durch $2$:

  $1$ Mohnschnecke kostet $1,33~€$.

  Wir multiplizieren beide Werte mit $4$:

  $4$ Mohnschnecken kosten $5,32~€$.

• Entscheide, ob es sich um eine proportionale Zuordnung handelt.

  Tipps

  Es handelt sich dann um eine proportionale Zuordnung, wenn zwei einander zugeordnete Größen im stets gleichbleibenden Verhältnis größer oder kleiner werden. Haben wir eine proportionale Zuordnung gegeben, können wir mit dem Dreisatz rechnen.

  Beispiel für eine proportionale Zuordnung:

  Für einen Liter Wasser braucht eine Pumpe $3$ Sekunden. Um einen $5$-Liter-Kanister zu füllen, braucht sie $15$ Sekunden.

  Lösung

  Proportionale Zuordnungen:

  • An der Tankstelle kostet ein Liter Diesel $1,35~€$. Daniel tankt $45$ Liter.

  Doppelt so viele Liter kosten doppelt so viel. Halb so viele Liter Diesel kosten nur die Hälfte.

  • $3$ Platten wiegen $500~ \text{g}$. Daniel trägt $15$ Platten.

  Doppelt so viele Platten wiegen doppelt so viel, dreimal so viele Platten wiegen auch dreimal so viel.

  • Auf dem Markt kosten $4$ Auberginen $2,40~€$. Kaja kauft $12$ Auberginen.

  Halb so viele Auberginen kosten nur die Hälfte, doppelt so viele Auberginen kosten doppelt so viel.

  Keine proportionalen Zuordnungen:

  • Auf einer Baustelle brauchen $6$ Arbeiter $3$ Stunden, um eine Lkw-Ladung Schotter zu verarbeiten. Am nächsten Tag sind nur $2$ Arbeiter da.

  Sind weniger Arbeiter da, so brauchen sie für die gleiche Arbeit länger. Es gilt also nicht: Halb so viele Arbeiter – halb so viel Zeit. Die Zuordnung ist also nicht proportional.

  • Für eine Runde um den Sportplatz braucht Paul $3$ Minuten und $14$ Sekunden. Für ein Sportabzeichen muss er fünf Runden laufen.

  Für $5$ Runden braucht Paul länger als fünfmal so lange, da er nach der ersten Runde schon geschwächt ist. Die Zuordnung ist also nicht proportional.

• Berechne die gesuchte Größe mithilfe des Dreisatzes.

  Tipps

  Beispiel:

  Zwei Tafeln Schokolade wird ein Preis von drei Euro zugeordnet. Kaufen wir doppelt so viele Tafeln, ist der Preis auch doppelt so hoch. Kaufen wir nur halb so viel Schokolade, so zahlen wir auch nur die Hälfte.

  Lösung

  Wir wenden den Dreisatz an:

  Kartoffeln:

  $5~\text{kg}$ Kartoffeln kosten $10,55~€$.

  Um auf $1~\text{kg}$ Kartoffeln zu kommen, müssen wir durch $5$ dividieren:

  $1~\text{kg}$ Kartoffeln kostet $2,11~€$.

  Um auf $12~\text{kg}$ Kartoffeln zu kommen, müssen wir mit $12$ multiplizieren:

  $12~\text{kg}$ Kartoffeln kosten $25,32~€$.

  Edelsteine:

  $2$ Steine kosten $4,30~€$.

  Um auf $1$ Stein zu kommen, müssen wir durch $2$ dividieren:

  $1$ Stein kostet $2,15~€$.

  Da $2,15\cdot 5=10,75$ müssen wir mit $5$ multiplizieren:

  5 Steine kosten $10,75~€$.

  Fliesen:

  $8$ Fliesen wiegen $1,32$ Kilo.

  Da $1,32 : 4 = 0,33$, müssen wir durch $4$ dividieren:

  2 Fliesen wiegen $0,33$ Kilo.

  Um auf $18$ Fliesen zu kommen, müssen wir mit $9$ multiplizieren:

  $18$ Fliesen wiegen $2,97$ Kilo.

• Beschreibe, wie man beim Rechnen mit Dreisatztabellen vorgeht.

  Tipps

  Beim Dreisatz arbeiten wir in drei Schritten. Diese entsprechen drei Zeilen in der Dreisatztabelle.

  Lösung

  Wir können den Dreisatz bei proportionalen Zuordnungen anwenden. Es werden immer zwei Größen einander zugeordnet, beispielsweise die Anzahl an Birnen und der Preis.

  Beim Rechnen mit Dreisatztabellen müssen wir zuerst eine Tabelle mit zwei Spalten erstellen. Hier tragen wir die einander zugeordneten Größen ein (also z. B. die Anzahl an Birnen und den Preis).

  Dann tragen wir die bereits gegebenen Werte in die Tabelle ein, beispielsweise $3$ Birnen und den Preis $2,40~€$.

  Wir rechnen dann auf einen Hilfswert (meistens eins) herunter. Dazu multiplizieren wir beide Werte mit der gleichen Zahl oder dividieren durch die gleiche Zahl.

  Wir rechnen dann vom Hilfswert aus auf den gesuchten Wert hoch, indem wir wieder beide Werte mit der gleichen Zahl multiplizieren oder durch die gleiche Zahl dividieren.

• Berechne die fehlende Größe.

  Tipps

  Wähle dir zunächst eine Hilfsgröße und berechne den Wert für diese Hilfsgröße.

  Du kannst beide Größen mit der gleichen Zahl multiplizieren oder durch die gleiche Zahl dividieren.

  Lösung

  Wir wenden den Dreisatz an:

  Karl:

  Mit $5$ Litern Benzin kann Karl $92$ Kilometer weit fahren.

  Wir berechnen den Hilfswert $1$ Liter und teilen daher beide Werte durch $5$:

  Mit $1$ Liter Benzin kann Karl $18,4$ Kilometer weit fahren.

  Wir multiplizieren nun beide Werte mit $24$:

  Mit $24$ Litern kommt er $441,6$ Kilometer weit.

  Peter:

  Peter bekommt für $3$ Stunden Arbeit $51~€$.

  Wir berechnen, wie lange Peter für $17$ € arbeiten muss und dividieren dazu beide Werte durch $3$:

  Peter bekommt für $1$ Stunde Arbeit $17~€$.

  Wir multiplizieren nun beide Werte mit $8$:

  An einem 8-Stunden-Arbeitstag verdient er $136~€$.

  Marta:

  $6$ Eier kosten auf dem Markt $2,04~€$.

  Wir berechnen den Hilfswert $1$ und dividieren dazu beide Werte durch $6$:

  $1$ Ei kostet auf dem Markt $0,34~€$.

  Wir multiplizieren nun beide Werte mit $23$:

  Für $23$ Eier bezahlt Marta $7,82~€$.