Ereignis und Gegenereignis – Einführung

Ereignis und Gegenereignis – Einführung Übung

• Definiere Zufallsexperimente und Gegenereignisse.

  Tipps

  Die Ergebnisse eines Zufallsexperiments sind die möglichen Ausgänge des Experiments.

  Ziehst du aus einer Urne mit einer roten, einer gelben und einer grünen Kugel eine Kugel zufällig heraus, so besteht das Gegenereignis zu der roten Kugel genau aus der gelben und der grünen Kugel.

  Bei einem Zufallsexperiment ist nicht zufällig, welche Ausgänge das Experiment haben kann, sondern welcher der möglichen Ausgänge tatsächlich eintritt.

  Lösung

  Das Ziehen der Kaninchen ist ein Zufallsexperiment, wenn es folgende Kriterien erfüllt:

  1. Alle möglichen Ausgänge des Experiments sind bekannt. Dies ist der Fall. Die möglichen Ausgänge sind die vier möglichen Kaninchen.
  2. Der Ausgang ist für Thomas nicht vorhersehbar. Da er kein Hellseher ist, weiß Thomas nie vorher, welches Kaninchen er ziehen wird.
  3. Thomas kann das Zufallsexperiment beliebig oft wiederholen. Wenn er jedes gezogene Kaninchen nach der Ziehung wieder in den Hut zurücklegt, kann er das Ziehen wiederholen.
  4. Die Versuchsbedingungen sind bei jeder Durchführung gleich. Der Hut ist immer derselbe, die Kaninchen auch.

  Die Menge aller möglichen Ausgänge des Zufallsversuches heißt Ergebnismenge und wird mit $\Omega$ bezeichnet. Jeder mögliche Ausgang des Zufallsexperiments heißt Ergebnis. Eine Menge von Ausgängen ist dann ein Ereignis.

  Das Gegenereignis zu einem Ereignis besteht genau aus allen Ergebnissen des Zufallsexperiments, die nicht zu dem Ereignis gehören. Bildet man von dem Gegenereignis $\overline E$ noch einmal das Gegenereignis, so erhält man wieder das ursprüngliche Ereignis. In Formeln bedeutet das:

  $\overline{\overline E} = E$.

  Die Komplementärregel besagt: Ein Ereignis $E$ eines Zufallsexperiments und sein Gegenereignis $\overline E$ ergeben zusammen die gesamte Ergebnismenge $\Omega$.

• Gib die richtigen Aussagen über Ereignisse und Gegenereignisse an.

  Tipps

  Dass ein Ereignis unmöglich ist, bedeutet, dass keines seiner Ergebnisse eintreten kann.

  Jeder mögliche Ausgang eines Zufallsexperiments ist ein Ergebnis, d.h., es kann bei der Durchführung des Experiments eintreten.

  Die Komplementärregel besagt, dass jedes Ergebnis, das nicht zu $\overline E$ gehört, in $E$ liegt.

  Lösung

  Folgende Aussagen sind richtig:

  • „Aus einem Ereignis $E$ und seinem Gegenereignis $\overline E$ erhält man die Ergebnismenge $\Omega$.“ Dies ist die Aussage der Komplementärregel.

  • „Das sichere Ereignis besteht aus allen Ergebnissen des Zufallsexperiments.“ Das sichere Ereignis tritt sicher ein; jeder Ausgang des Zufallsexperiments ist ein Ergebnis der Menge $\Omega$. Enthält das Ereignis $E$ jedes Ergebnis, so tritt $E$ sicher ein.

  • „Das unmögliche Ereignis tritt nie ein, denn jeder Ausgang des Zufallsexperiments hat ein Ergebnis.“ Jedes Element der Ergebnismenge ist ein möglicher Ausgang des Zufallsexperiments. Unmöglich ist nur, dass kein Ergebnis eintritt. Das unmögliche Ereignis enthält daher keine Ergebnisse.

  • „Das Gegenereignis von $\overline E$ besteht aus allen Ergebnissen von $E$.“ Das Gegenereignis von $\overline E$ besteht aus allen Ergebnissen, die nicht zu $\overline E$ gehören. Dies sind genau die Ergebnisse aus $E$.

  Folgende Aussagen sind falsch:

  • „Das Gegenereignis besteht aus allen Ereignissen, die nicht zu dem Ergebnis gehören.“ Ein Ereignis besteht aus Ergebnissen, aber kein Ergebnis besteht aus Ereignissen.

  • „Bei jedem Zufallsversuch gibt es genau ein Ergebnis, das zu einem Ereignis und seinem Gegenereignis gehört.“ Ein Ereignis und sein Gegenereignis haben nie ein Ergebnis gemeinsam.

  • „Das unmögliche Ereignis besteht aus allen Ergebnissen, die nicht zu dem Ereignis $E$ gehören.“ Die Aussage stimmt nur, wenn $E = \Omega$, also das sichere Ereignis ist. Andernfalls enthält $\overline E$ Ergebnisse, aber das unmögliche Ereignis enthält keine Ergebnisse. Daher kann das unmögliche Ereignis nicht $\overline E$ sein.

• Bestimme die Gegenereignisse.

  Tipps

  Das Gegenereignis enthält alle Ergebnisse, die nicht zu dem Ereignis selbst gehören.

  Das Gegenereignis $\bar E$ eines Ereignisses $E$ enthält nur Ergebnisse der Ergebnismenge $\Omega$.

  Für die Ergebnismenge $\Omega = \{11,12,13,14,15\}$ und das Ereignis $E = \{12,14\}$ besteht $\bar E$ aus den Ergebnissen $11$, $13$ und $15$.

  Lösung

  Die Definition besagt: Zu einer Ergebnismenge $\Omega$ und einem Ereignis $E \subset \Omega$ besteht das Gegenereignis $\bar E$ aus allen Ergebnissen, die nicht zu $E$ gehören.

  Bei der Bearbeitung der Aufgabe musst du beachten, dass die Ergebnismengen verschieden sind. Zu $\bar E$ gehören jeweils nur die Ergebnisse aus der zugehörigen Ergebnismenge $\Omega$, die nicht in $E$ liegen.

  Für die hier angegebenen Ergebnismengen $\Omega$ und Ereignisse $E$ geben wir hier die Gegenereignisse an:

  • Das Gegenereignis zu dem Ereignis $E_1 \subset \Omega_1$ ist $\bar E_1 = \{3,5,11,13\}$.

  • Für das Ereignis $E_2 \subset \Omega_2$ ist das Gegenereignis $\bar E_2 = \{4,8,12,14\}$.

  • Das Gegenereignis zu $E_3 \subset \Omega_3$ ist $\bar E_3 = \{1,6,7\}$.

  • Zu dem Ereignis $E_4 \subset \Omega_4$ finden wir das Gegenereignis $\bar E4 = \{9,15,18\}$.

• Erschließe die Gegenereignisse.

  Tipps

  Die Augensumme ist die Summe der gewürfelten Augen. Der kleinste mögliche Wert der Augensumme tritt ein, wenn du zwei Einsen würfelst.

  Das Ereignis $E = \{$ Augensumme $>5 \}$ besteht aus allen möglichen Ergebnissen, bei denen die Summe der gewürfelten Augenzahlen zwischen $2$ und $5$ liegt. Bei dem Gegenereignis liegt demnach die Augensumme zwischen $6$ und $12$.

  Lösung

  Das Gegenereignis $\overline E$ zu einem Ereignis $E$ besteht aus allen Elementen der Ergebnismenge $\Omega$, die nicht zu $E$ gehören. Die Augensumme zweier Würfel ist die Summe der gewürfelten Augenzahlen. Der kleinste mögliche Wert ist $2$. Er tritt ein, wenn beide Würfel eine Eins zeigen. Die größtmögliche Augensumme ist $12$, die eintritt, wenn du zwei Sechsen würfelst.

  Aus diesen Überlegungen erhältst du die folgenden Gegenereignisse:

  • Das Gegenereignis zu $E =\{$ Augensumme $\leq 6\}$ ist $\overline E =\{$ Augensumme $> 6\}$.

  • Für das Ereignis $E= \{$ Augensumme $ <6\}$ ist das Gegenereignis $\overline E = \{$ Augensumme $\geq 6 \}$.

  • Das Ereignis $E= \{$ Augensumme $ > 12\}$ ist unmöglich, denn die Augensumme von zwei Würfeln kann höchstens $12$ sein, aber nicht größer. Daher ist $\overline E = \Omega$ das sichere Ereignis.

  • Das Ereignis $E= \{$ eine Augenzahl kleiner als andere $\}$ besteht aus allen Ergebnissen mit zwei verschiedenen Würfelaugen. Daher ist $\overline E = \{$ beide Augenzahlen gleich $\}$.

  • Zu dem Ereignis $E = \{$ Augensumme $\geq 1\}$ gehört das Gegenereignis $\overline E = \emptyset$, denn die Augensumme ist stets $\geq 2$, also insbesondere $\geq 1$, so dass $E = \Omega$.

• Bestimme die Gegenereignisse.

  Tipps

  Zu dem Gegenereignis $\overline E$ gehören genau alle anderen Ergebnisse als die von $E$.

  Das Gegenereignis eines einfarbig weißen Kaninchens besteht aus allen nicht einfarbig weißen Kaninchen.

  Ein Ereignis besteht aus Ergebnissen, aber Ergebnisse bestehen nicht aus Ereignissen.

  Lösung

  Für jedes Ereignis $E$ besteht das Gegenereignis $\overline E$ aus allen Ergebnissen, die nicht zu $E$ gehören. Enthält das Ereignis $F$ alle gefleckten Kaninchen, so enthält das Gegenereignis $\overline F$ also die nicht gefleckten, d.h. einfarbigen Kaninchen, und kein weiteres.

  Das Ereignis $R$ mit

  $R = \{\text{rosa Kaninchen}\}$.

  enthält nur ein einziges Ergebnis, nämlich das rosa Kaninchen. Man nennt $E$ daher ein Elementarereignis.

  Das Gegenereignis $\overline R$ besteht aus allen Kaninchen außer dem rosa Kaninchen. Zu $\overline R$ gehören also das weiße und die beiden gefleckten Kaninchen. Das Gegenereignis zu $\overline R$ besteht nun wiederum aus allen Ergebnissen, die nicht zu $\overline R$ selbst gehören: Das sind alle anderen Kaninchen außer dem weißen und den beiden gefleckten, also nur das rosa Kaninchen.

• Prüfe die Aussagen.

  Tipps

  Das unmögliche Ereignis enthält keine Ergebnisse, denn jedes Ergebnis ist ein möglicher Ausgang des Zufallsexperiments.

  Überlege, wie viele mögliche Ereignisse ein Zufallsexperiment mit vier möglichen Ausgängen hat.

  Lösung

  Jedes Ereignis $E$ ist eine Teilmenge der Ergebnismenge $\Omega$. Das Gegenereignis $\overline E$ besteht aus allen Ergebnissen, die nicht zu $E$ gehören. Die Komplementärregel besagt, jedes Ereignis und sein Gegenereignis $E$ ergeben zusammen die Ergebnismenge $\Omega$, d.h.

  $E \cup \overline E = \Omega$.

  Aus diesen Überlegungen erhältst du folgende Sätze:

  • „Ein Ereignis und sein Gegenereignis ... haben kein Ergebnis gemeinsam.“ Denn das Gegenereignis $\overline E$ besteht aus allen Ergebnissen, die nicht zu $E$ gehören.

  • „Das Gegenereignis von $\overline{\overline E}$ ... ist das Gegenereignis von $E$.“ Es gilt $\overline{\overline E} = E$, daher stimmen auch die Gegenereignisse der beiden Mengen überein.

  • „Das Zufallsexperiment der Ziehung eines von vier Kaninchen aus dem Zauberhut ... hat $16$ verschiedene Ereignisse.“ Dies sind zunächst die vier Elementarereignisse, bestehend aus je einem Kaninchen, sechs zweielementige Ereignisse und vier dreielementige Ereignisse (die Gegenereignisse der Elementarereignisse). Hinzu kommen noch das unmögliche und das sichere Ereignis. Zusammen sind es also $1+4+6+4+1 = 16$ Ereignisse.

  • „Ein Elementarereignis ... ist kein unmögliches Ereignis.“ Das unmögliche Ereignis ist die leere Menge, es besteht also aus keinem Ergebnis. Ein Elementarereignis besteht aber aus genau einem Ergebnis. Daher ist ein Elementarereignis niemals ein unmögliches Ereignis.

  • „Ein Ereignis mit allen Ergebnissen außer einem ... ist das Gegenereignis eines Elementarereignisses.“ Ein Elementarereignis besteht aus genau einem Element. Enthält ein Ereignis $E$ alle Ergebnisse außer einem, so ist $E$ das Gegenereignis des Elementarereignisses mit diesem einen Element.