Wahrscheinlichkeit – Beispiel Würfeln
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- Wahrscheinlichkeit am Beispiel Würfel – Mathe
- Zufallsversuch – Definition
- Laplace-Experiment – Definition
- Wahrscheinlichkeiten berechnen – Beispiele
- Beispiel: Wahrscheinlichkeit, eine bestimmte Zahl zu würfeln
- Beispiel: Wahrscheinlichkeit, eine gerade Zahl zu würfeln
- Beispiel: Wahrscheinlichkeit, eine Zahl größer als 4 zu würfeln
- Wahrscheinlichkeit Würfel – Zusammenfassung
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Grundlagen zum Thema Wahrscheinlichkeit – Beispiel Würfeln
Wahrscheinlichkeit am Beispiel Würfel – Mathe
Im folgenden Text wird die Wahrscheinlichkeit am Beispiel eines Würfels einfach erklärt. Zunächst lernst du, dass es sich beim Würfelwurf um einen Zufallsversuch, genauer gesagt um ein Laplace-Experiment, handelt, und anschließend siehst du einige Beispiele zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten beim Würfelwurf.
Zufallsversuch – Definition
Beim Würfelwurf handelt es sich um einen Zufallsversuch. Und was versteht man unter einem Zufallsversuch?
- Alle möglichen Ausgänge sind uns bekannt. Hier wird eine $1$, $2$, $3$, $4$, $5$ oder $6$ gewürfelt.
- Der Versuch (Würfelwurf) kann beliebig oft wiederholt werden.
- Es herrschen immer die gleichen Bedingungen.
- Der Ausgang eines Zufallsversuchs ist nicht vorhersehbar. Man kann also vorher nie sicher sagen, was gewürfelt wird.
Laplace-Experiment – Definition
Da alle Seiten eines Würfels gleich groß sind, sind alle möglichen Augenzahlen gleich wahrscheinlich. Daher sprechen wir bei einem Würfelwurf von einem Laplace-Experiment.
- Bei einem Laplace-Experiment ist die Wahrscheinlichkeit für jedes Einzelereignis gleich groß. Daher können wir die Wahrscheinlichkeit $P$ eines bestimmten Ereignisses $E$ einfach berechnen. Dafür wird die Anzahl aller günstigen Ergebnisse durch die Anzahl aller möglichen Ergebnisse geteilt.
$P(E) = \frac{\text{ Anzahl aller günstigen Ergebnisse }}{\text{ Anzahl aller möglichen Ergebnisse }}$
Wahrscheinlichkeiten berechnen – Beispiele
Die Anzahl aller möglichen Ergebnisse ist bei einem sechsseitigen Würfel immer gleich $6$. In den folgenden Beispielen schauen wir uns an, was passiert, wenn wir die Bedingungen beim Würfelwurf etwas eingrenzen.
Beispiel: Wahrscheinlichkeit, eine bestimmte Zahl zu würfeln
Möchten wir die Wahrscheinlichkeit für die Augenzahl $3$ berechnen, gibt es nur ein günstiges Ergebnis – die $3$. Die Wahrscheinlichkeit dafür, eine $3$ zu würfeln, berechnen wir mit:
$P(3) = \frac{1}{6} = 16,67 \,\%$
Diese Wahrscheinlichkeit von $\frac{1}{6}$ entspricht also $16,67 \,\%$. Die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis eine 3 würfeln ist somit nicht sehr hoch.
Beispiel: Wahrscheinlichkeit, eine gerade Zahl zu würfeln
Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, eine gerade Augenzahl zu würfeln? Schauen wir uns die Wahrscheinlichkeit für dieses Ereignis mal etwas genauer an.
Für das Ereignis eine gerade Zahl würfeln gibt es $3$ günstige Ergebnisse – die $2$, die $4$ und die $6$.
$P(\text{gerade Augenzahl}) = P(2; 4; 6)$
Die Anzahl aller möglichen Ergebnisse beträgt bei diesem Versuch wieder $6$. Somit ergibt sich die Wahrscheinlichkeit:
$P(\text{gerade Augenzahl}) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} = 50\,\%$
Die Wahrscheinlichkeit für dieses Ereignis liegt also bei $50\,\%$.
Beispiel: Wahrscheinlichkeit, eine Zahl größer als 4 zu würfeln
Nun schauen wir uns noch an, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, dass die Augenzahl beim Wurf höher als $4$ sein wird.
Die Wahrscheinlichkeit für dieses Ereignis ist gleich der Wahrscheinlichkeit, dass eine $5$ oder eine $6$ gewürfelt wird.
$P(\text{Augenzahl höher als 4}) = P(5; 6)$
Es gibt also $2$ günstige Ergebnisse bei $6$ möglichen Ergebnissen.
$P(\text{Augenzahl höher als 4}) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} = 33,33\,\%$
Die Wahrscheinlichkeit, eine Zahl größer als $4$ zu würfeln, liegt also bei $33,33\,\%$.
Wahrscheinlichkeit Würfel – Zusammenfassung
In den folgenden Stichpunkten ist noch einmal das Wichtigste zum Thema Wahrscheinlichkeit am Beispiel eines Würfels zusammengefasst.
- Beim Würfelwurf handelt es sich um einen Zufallsversuch, genauer gesagt um ein Laplace-Experiment.
- Die Wahrscheinlichkeit für jedes Einzelereignis ist gleich groß. Beim Würfelwurf sind es die $6$ verschiedenen Augenzahlen des Würfels.
- Die entsprechende Wahrscheinlichkeit entspricht jeweils $\frac{1}{6}$.
- Um die Wahrscheinlichkeit für ein Ereignis zu berechnen, wird die Anzahl der dafür günstigen Ergebnisse durch die Anzahl aller möglichen Ergebnisse geteilt.
Hier auf dieser Seite findest du noch Übungen mit weiteren Beispielen und Arbeitsblätter zum Thema Wahrscheinlichkeiten am Beispiel des Würfels.
Transkript Wahrscheinlichkeit – Beispiel Würfeln
Lisa ist das Ganze nicht geheuer. Egal was sie würfelt, der Zauberer „Magic Dice“ kann den Ausgang vorhersagen. Woher wusste er jetzt schon wieder, dass Lisa eine Sechs würfeln würde? Rät er einfach? Das ist doch total unwahrscheinlich. Am besten schauen wir uns die „Wahrscheinlichkeiten beim Würfelwurf“ nochmal genau an. Beim Würfelwurf handelt es sich um einen Zufallsversuch, da kann Lisa keiner was vormachen. Das heißt, alle möglichen Ausgänge - eins, zwei, drei, vier, fünf und sechs - sind uns bekannt. Der Würfelwurf kann beliebig oft wiederholt werden und das unter den gleichen Bedingungen. Außerdem ist der Ausgang eines Zufallsversuchs nicht vorhersehbar. Also wie zum Henker macht er das? Lisa wird ihm noch auf die Schliche kommen! Für den nächsten Wurf sagt „Magic Dice“ eine drei voraus. Die Wahrscheinlichkeit für dieses Ereignis liegt bei einem Sechstel, das weiß sie. Da alle Seiten eines Würfels gleich groß sind, sind auch alle möglichen Augenzahlen gleich wahrscheinlich. Wir sprechen beim Würfelwurf daher von einem Laplace-Experiment. Bei einem Laplace-Experiment können wir die Wahrscheinlichkeit eines bestimmten Ereignisses einfach berechnen: Wir teilen dafür die Anzahl der günstigen Ergebnisse durch die Anzahl aller möglichen Ergebnisse. Die Anzahl aller möglichen Ergebnisse ist bei einem sechsseitigen Würfel immer gleich sechs. Möchten wir die Wahrscheinlichkeit für die Augenzahl drei berechnen, gibt es nur ein günstiges Ergebnis, eben die drei. Ein Sechstel entsprechen gerundet sechzehn Komma sechs sieben Prozent. Die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis „Eine drei werfen“ ist somit nicht sehr hoch. Und er hat trotzdem Recht behalten! Pures Glück, Lisa wird ein weiteres Mal würfeln. Dieses mal behauptet „Magic Dice“, dass eine gerade Augenzahl fallen wird. Bevor sie würfelt, schaut sich Lisa das Ganze nochmal in Ruhe an: Für das Ereignis „gerade Zahl werfen“ gibt es drei günstige Ergebnisse, nämlich zwei, vier und sechs. Die Anzahl aller möglichen Ergebnisse beträgt natürlich wieder sechs. Die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis „gerade Zahl werfen“ ist also gleich drei Sechstel. Durch Kürzen erhalten wir ein halb und das entspricht fünfzig Prozent. Alles klar, eine klassische „fifty-fifty“-Situation. Sie würfelt eine zwei. Okay, seine Glückssträhne hält an. Ein letzter Wurf. Die Ansage von „Magic Dice“ lautet diesmal: Die Augenzahl wird höher als vier sein. Die Wahrscheinlichkeit für dieses Ereignis ist gleich der Wahrscheinlichkeit, dass eine fünf oder sechs fällt. Wir haben zwei günstige bei sechs möglichen Ergebnissen. Zwei Sechstel ist gekürzt ein Drittel und das entspricht gerundet dreiunddreißig Komma drei drei Prozent. Sie würfelt und jetzt wird es Lisa zu bunt. Während sie sich überlegt, wie sie „Magic Dice“ endlich knacken kann, fassen wir nochmal kurz zusammen: Beim Würfelwurf handelt es sich um einen Zufallsversuch, genauer gesagt um ein Laplace-Experiment. Bei einem Laplace-Experiment ist die Wahrscheinlichkeit für jedes Einzelereignis gleich groß. Beim Würfel sind das die sechs verschiedenen Augenzahlen. Die entsprechende Wahrscheinlichkeit beträgt jeweils ein Sechstel. Um die Wahrscheinlichkeit für ein Ereignis zu berechnen, teilen wir die Anzahl der dafür günstigen Ergebnisse durch die Anzahl aller möglichen Ergebnisse. Beim einfachen Würfelwurf eines sechsseitigen Würfels ist die Anzahl aller möglichen Ergebnisse immer gleich sechs. So, diesmal hat Lisa den Würfel einfach heimlich weggenommen, Was „Magic Dice“ wohl jetzt voraussagen wird? Lisa gibt auf. Man kann wohl nicht alles mit Mathematik erklären.
Wahrscheinlichkeit – Beispiel Würfeln Übung
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Vervollständige den Text zum Würfeln.
TippsEin weiteres Beispiel für einen Zufallsversuch ist das Werfen einer Münze.
Eine Münze kannst du immer wieder werfen und erhältst jedes Mal „Kopf“ oder „Zahl“.
LösungWir sprechen von einem Zufallsversuch, wenn er beliebig oft unter immer gleichen Bedingungen wiederholbar ist. Dabei sind alle möglichen Ausgänge vorab bekannt, der konkrete Ausgang eines Versuchs ist aber nicht vorhersehbar.
Bei einem Laplace-Experiment muss zudem gelten, dass alle möglichen Ausgänge gleich wahrscheinlich sind. Das ist beim Würfeln der Fall, wenn alle Seiten des Würfels dieselbe Fläche haben.
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Gib die Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse an.
TippsDas Würfeln ist ein Laplace-Experiment mit sechs möglichen Ergebnissen.
Bei einem Laplace-Experiment kannst du die Wahrscheinlichkeit für ein Ereignis berechnen, indem du die Anzahl der günstigen Ergebnisse durch die Anzahl der möglichen Ergebnisse teilst.
Für die Angabe in Prozent wandelst du den Bruch in einen Dezimalbruch um und multiplizierst mit $100$:
$\frac{3}{4} = 0,75 = 75,0~\%$
LösungDa bei einem Würfel alle Seiten gleich groß sind, handelt es sich um ein Laplace-Experiment.
Bei einem Laplace-Experiment kannst du die Wahrscheinlichkeit für ein Ereignis mit der folgenden Formel berechnen:$P(\text{E}) = \frac{\text{Anzahl der günstigen Ergebnisse}}{\text{Anzahl der möglichen Ergebnisse}}$
Bei einem sechsseitigen Würfel gibt es die sechs möglichen Ergebnisse $1$, $2$, $3$, $4$, $5$ und $6$. Daher steht im Nenner immer eine $6$. Wir müssen uns für die einzelnen Ereignisse jeweils noch die Anzahl der günstigen Ergebnisse überlegen.
Beispiel 1: Es wird eine $3$ gewürfelt.
Hier ist das einzige günstige Ergebnis die $3$, es gilt also:
$P(3) = \frac{1}{6} \approx 16,67~\%$
Beispiel 2: Die gewürfelte Zahl ist größer als $4$.
In dem Fall gibt es zwei günstige Ergebnisse: die $5$ und die $6$. Also gilt:
$P(5 , 6) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \approx 33,33~\%$
-
Entscheide, welche Aussagen zu Wahrscheinlichkeiten beim Würfeln stimmen.
TippsÜberlege dir Beispiele von Ereignissen, um die Aussagen zu prüfen.
Das Ereignis „Zahl ist kleiner als $3$“ hat die Wahrscheinlichkeit $\frac{2}{6}$, weil es die beiden Ergebnisse $1$ und $2$ umfasst.
Dasselbe gilt für das Ereignis „Zahl ist größer als $4$“: Auch hier umfasst das Ereignis zwei Ergebnisse, $5$ und $6$, und hat daher die Wahrscheinlichkeit $\frac{2}{6}$.LösungBeim Würfeln mit einem sechsseitigen Würfel handelt es sich um ein Laplace- Experiment mit den sechs möglichen Ergebnissen $1$, $2$, $3$, $4$, $5$ und $6$. Die Wahrscheinlichkeit für ein Ereignis können wir daher mit folgender Formel berechnen:
$P(\text{E}) = \frac{\text{Anzahl der günstigen Ergebnisse}}{6}$Maßgeblich für die Wahrscheinlichkeit ist also die Anzahl der günstigen Ergebnisse, die zu einem Ereignis gehören, unabhängig davon, welche Ergebnisse es genau sind.
Diese Aussagen sind falsch:
- Die Wahrscheinlichkeit, eine bestimmte Zahl zu würfeln, ist $6~\%$.
- Zwei Ereignisse können nur gleich wahrscheinlich sein, wenn sie dieselben Ergebnisse umfassen.
- Es ist wahrscheinlicher, eine gerade Zahl zu würfeln, als eine ungerade Zahl zu würfeln.
Diese Aussagen sind richtig:
- Je mehr der möglichen Ergebnisse zu einem Ereignis gehören, desto größer ist die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis.
- Es ist wahrscheinlicher, eine gerade Zahl zu würfeln, als eine $1$ zu würfeln.
-
Berechne die Wahrscheinlichkeiten.
TippsÜberlege dir, wie viele Ergebnisse zu jedem Ereignis passen.
Zum Beispiel gibt es auf einem Würfel zwei Zahlen, die kleiner als $3$ sind: die $1$ und die $2$. Daher hat das Ereignis „Ergebnis ist kleiner als $3$“ die Wahrscheinlichkeit $\frac{2}{6} = \frac{1}{3} \approx 33,33~\%$.
LösungBei einem Laplace-Experiment kannst du die Wahrscheinlichkeit für ein Ereignis mit der folgenden Formel berechnen:
$P(\text{E}) = \frac{\text{Anzahl der günstigen Ergebnisse}}{\text{Anzahl der möglichen Ergebnisse}}$Bei einem sechsseitigen Würfel gibt es die sechs möglichen Ergebnisse $1$, $2$, $3$, $4$, $5$ und $6$. Daher steht im Nenner immer eine $6$. Wir müssen uns für die einzelnen Ereignisse jeweils noch die Anzahl der günstigen Ergebnisse überlegen.
Beispiel 1:
$\text{E}_1$: Es wird eine $5$ gewürfelt.
Hier ist das einzige günstige Ergebnis die $5$, sodass sich ergibt:
$P(\text{E}_1) = {\frac{1}{6}} \approx 16,67~\%$Beispiel 2:
$\text{E}_2$: Das Ergebnis ist eine ungerade Zahl.
Hier gibt es drei günstige Ergebnisse, nämlich die $1$, $3$ und $5$. Somit ergibt sich:
$P(\text{E}_2) = \frac{3}{6} = {\frac{1}{2}} = 50~\%$Beispiel 3:
$\text{E}_3$: Es wird eine $2$ oder eine $5$ gewürfelt.
Hier gibt es zwei günstige Ergebnisse: die $2$ und die $5$. Deshalb ergibt sich:
$P(\text{E}_3) = \frac{2}{6} = {\frac{1}{3}} \approx 33,33~\%$Beispiel 4:
$\text{E}_4$: Das Ergebnis ist kleiner als $6$.
Hier gibt es fünf günstige Ergebnisse, und zwar $1$, $2$, $3$, $4$ und $5$. Darum ergibt sich:
$P(\text{E}_4) = {\frac{5}{6}} \approx 83,33~\%$ -
Vervollständige die Berechnung der Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine gerade Zahl gewürfelt wird.
TippsDie Wahrscheinlichkeit erhältst du, indem du die Anzahl der günstigen Ergebnisse durch die Anzahl der möglichen Ergebnisse teilst. Bei einem Würfel gibt es sechs mögliche Ergebnisse.
LösungBei einem Laplace-Experiment wie dem Würfelwurf kannst du die Wahrscheinlichkeit für ein Ereignis mit der folgenden Formel berechnen:
$P(\text{E}) = \frac{\text{Anzahl der günstigen Ergebnisse}}{\text{Anzahl der möglichen Ergebnisse}}$Bei einem sechsseitigen Würfel gibt es die sechs möglichen Ergebnisse $1$, $2$, $3$, $4$, $5$ und $6$. Daher steht im Nenner immer eine $6$. Wir müssen uns noch die Anzahl der günstigen Ergebnisse überlegen.
Das Ereignis „gerade Zahl“ setzt sich aus den drei Ergebnissen $2$, $4$ und $6$ zusammen. Im Zähler brauchen wir hier also eine $3$.Den so entstandenen Bruch $\frac{3}{6}$ können wir dann mit $3$ kürzen und erhalten $\frac{1}{2}$.
Das bedeutet: In der Hälfte aller Fälle zeigt der Würfel eine gerade Zahl, was einer Wahrscheinlichkeit von $50~\%$ entspricht. -
Ermittle die Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse beim Würfeln mit einem zehnseitigen Würfel.
TippsBei einem zehnseitigen Würfel gibt es zehn mögliche Ergebnisse, und zwar:
$1$, $2$, $3$, $4$, $5$, $6$, $7$, $8$, $9$ und $10$
Die Wahrscheinlichkeiten ergeben sich über diese Formel:
$P(\text{E}) = \frac{\text{Anzahl der günstigen Ergebnisse}}{\text{Anzahl der möglichen Ergebnisse}}$
Primzahlen sind Zahlen, die nur durch sich selbst und durch $1$ teilbar sind, zum Beispiel $13$. Die Zahl $2$ ist die kleinste Primzahl. (Die $1$ hat nur einen Teiler, ist also keine Primzahl.)
LösungAuch beim Würfeln mit einem zehnseitigen Würfel handelt es sich um ein Laplace-Experiment. Da es dabei zehn mögliche Ergebnisse gibt, nämlich $1$, $2$, $3$, $4$, $5$, $6$, $7$, $8$, $9$ und $10$, berechnen sich die Wahrscheinlichkeiten nach dieser Formel:
$P(\text{E}) = \frac{\text{Anzahl der günstigen Ergebnisse}}{10}$
Wir müssen uns also für die einzelnen Ereignisse jeweils noch die Anzahl der günstigen Ergebnisse überlegen.
Beispiel 1: Es wird eine gerade Zahl gewürfelt.
Auf einem zehnseitigen Würfel gibt es fünf gerade Zahlen: $2$, $4$, $6$, $8$ und $10$. Damit erhalten wir für die Wahrscheinlichkeit:
$\frac{5}{10} = {\frac{1}{2}} = 50~\%$Beispiel 2: Das Ergebnis ist kleiner als $4$.
Auf einem zehnseitigen Würfel gibt es drei Zahlen, die kleiner sind als $4$: $1$, $2$ und $3$. Somit ermitteln wir für die Wahrscheinlichkeit:
${\frac{3}{10}} = 30~\%$Beispiel 3: Es wird eine $5$ oder eine größere Zahl gewürfelt.
Auf einem zehnseitigen Würfel sind sechs Zahlen, die $5$ oder größer als $5$ sind: $5$, $6$, $7$, $8$, $9$ und $10$. Damit erhalten wir für die Wahrscheinlichkeit:
$\frac{6}{10} = {\frac{3}{5}} = 60~\%$Beispiel 4: Das Ergebnis ist eine Primzahl.
Primzahlen sind Zahlen, die nur durch sich selbst und durch 1 teilbar sind. Die Zahl $2$ ist die kleinste Primzahl. (Die $1$ hat nur einen Teiler, ist also keine Primzahl.)
Insgesamt gibt es auf einem zehnseitigen Würfel vier Primzahlen: $2$, $3$, $5$ und $7$. Somit ermitteln wir für die Wahrscheinlichkeit:
$\frac{4}{10} = {\frac{2}{5}} = 40~\%$Beispiel 5: Das Ergebnis ist keine $5$.
Auf einem zehnseitigen Würfel gibt es neun Zahlen, die nicht $5$ sind: $1$, $2$, $3$, $4$, $6$, $7$, $8$, $9$ und $10$. Damit ergibt sich für die Wahrscheinlichkeit:
${\frac{9}{10}} = 90~\%$
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