Extremwertaufgaben mit quadratischen Funktionen – Kaninchenstallaufgabe

Hallo, liebe Freundinnen und Freunde der Mathematik! Herzlich willkommen zum Video "Scheitelpunkt ohne Scheitelpunktformel" Teil 5. An dieser Stelle erschien es mir sinnvoll, die berühmt berüchtigte Kaninchenstallaufgabe in ein Video umzuwandeln. Zunächst einmal die Arbeitsskizze: Die schraffierte Fläche bedeutet die Hauswand. Mit brauner Farbe ist der Kaninchenstall eingetragen. Dazu der Text: Ein 16 m langes Brett ist vorhanden. Baue den Stall wie dargestellt mit möglichst großer Fläche. Bei der Lösung gehen wir folgendermaßen vor: Wir bezeichnen zunächst die Wandabschnitte mit a und b. Dann ergibt sich die Gesamtlänge des vorhandenen Baumaterials durch Formel 1, l=4a+3b. Als 2. kann man Formel 2 ansetzen: Damit erhalten wir die Fläche des Kaninchenstalls, A. Sie ergibt sich aus A=3ab. Aus den beiden Gleichungen 1 und 2 können wir eine Gleichung mit einer Unbekannten formulieren. Dazu nehmen wir erst einmal Gleichung 1 und stellen sie nach a um. Wir erhalten Gleichung 1a, a=4-3/4b. Nun setzen wir die Gleichung 1a in 2 ein. Wir erhalten somit für die Fläche des Kaninchenstalls A=3(4-3/4b)×b. Man sieht schon an dieser Stelle, dass es sich hier um eine quadratische Funktion handelt. A ist Funktion von b, denn wenn wir ausmultiplizieren, erhalten wir bei der Multiplikation von -3/4b×b einen Term, der b² enthält. Erinnern wir uns einmal an das Video Scheitelpunkt ohne Scheitelpunktformel Teil 1. Dort haben wir den Wert xs für den Scheitelpunkt über die Nullstellen bestimmt. Hier wollen wir auch so verfahren. Der Vorteil besteht darin, dass die Funktion A von b bereits als Produkt vorliegt. Das heißt, jeder der beiden Faktoren, die b enthalten, kann 0 sein. Beginnen wir also mit dem 1. Faktor. 4-3/4b=0, wir addieren auf beiden Seiten der Gleichung 3/4b und multiplizieren das entstandene Ergebnis mit 4/3. Somit erhalten wir 16/3=b1. Der 2. Faktor, der b enthält, ist b. Daher ist b2=0. Somit lauten die beiden Lösungen der quadratischen Gleichung, b1=16/3 und b2=0. Bestimmen wir nun die x-Koordinate des Scheitelpunktes. In unserem Fall müsste sie richtigerweise bs heißen. Ich habe aber xs gewählt, da sie euch sicherlich von den anderen Videos noch vertraut ist. Wir schreiben also xs=(b1+b2)/2=(0+16/3)/2=8/3. Somit haben wir auf einfache Weise b bestimmt, es beträgt 8/3 m. Wir fahren nun links unterhalb der Skizze fort. Wir setzen nun den Wert von b in die Gleichung 1a ein und erhalten: a=4-3/4×8/3, nachdem wir gekürzt haben erhalten wir für a einen Wert von 2. Somit beträgt a=2m. Natürlich ist es interessant zu erfahren, wie groß der Flächeninhalt des Kaninchenstalls ist, wenn er maximal wird. Wir setzen daher a und b in die Gleichung 2 ein und erhalten A=3×2×8/3. Wir kürzen die beiden 3en gegeneinander und erhalten A=16m². Wisst ihr, worum es sich bei A handelt? Richtig, es ist das ys aus den Videos, die wir bereits angeschaut haben. Also die y-Koordinate des Scheitelpunktes. Die Scheitelpunktkoordinaten betragen damit, ohne Einheiten, 8/3 und 16. Die für die Aufgabe interessanten Werte sind somit: Die Brettlänge a=2 m, die Brettlänge b=8/3m und die Gesamtfläche des Kaninchenstalls ist 16m². Ich möchte noch einmal die Funktionsgleichung A(b) aufschreiben. Gleichung 3, A(b)=3(4-3/4b)×b. Wenn wir die rechte Seite ausmultiplizieren, erhalten wir folgende Form: Gleichung 4, A(b)=-9/4b²+12b. Wie wird nun diese Funktionsgleichung grafisch dargestellt? Ausreichend dafür ist der 1. Quadrant des Koordinatensystems. Auf der x-Achse tragen wir die Einheiten von b ab, auf der y-Achse die Einheiten von A(b). Der Graph der Funktion wird hier in pinker Farbe dargestellt. Die x-Koordinate des Scheitelpunktes beträgt 8/3, die y-Koordinate 16. Die beiden 0-Stellen der Parabel sind 0 und 16/3. Natürlich ist die Parabel nach unten geöffnet. Sie besitzt einen höchsten Punkt. An dieser Stelle haben wir einen Wert von b, nämlich 8/3, für den es eine maximale Fläche des Kaninchenstalles, nämlich 16m², gibt. Das war das letzte Video "Scheitelpunkt ohne Scheitelpunktformel". Na dann, bis zum Wiedersehen und Wiederhören, alles Gute. Tschüss