Funktionen mit mehreren Veränderlichen – Einführung

Funktionen mit mehreren Veränderlichen – benötigtes Vorwissen

Für dieses Thema solltest du den Zusammenhang zwischen Variablen und Funktionen sehr gut verstanden haben. Zur Erinnerung:

Was sind Funktionen mit mehreren Veränderlichen?

Wie vorhin kurz wiederholt sind Funktionen stets von Variablen abhängig. Das folgende Sachbeispiel können wir durch eine „gewöhnliche“ Funktion modellieren, wie wir sie kennen:

Man kann hier einfach eine lineare Funktionsgleichung aufstellen, indem man die verfügbaren $20€$ als $y$-Achsenabschnitt und den Preis einer Banane als negative Steigung in die allgemeine lineare Funktionsgleichung $f(x) = m \cdot x + b$ einsetzt. Wir erhalten die Funktionsgleichung $f(x) =20–0{,}3x$ bzw. $f(x)=-0{,}3x+20$und folgenden Funktionsgraphen:

Nun kann die Situation aber auch etwas komplizierter werden. Es ist selten, dass jemand im Supermarkt nur eine Sache einkaufen geht. Was ist, wenn Caitlyn auch noch Äpfel einkaufen muss, die $0{,}50\,€$ das Stück kosten? Um das mathematisch zu modellieren, brauchen wir eine Funktionsgleichung mit mehreren Veränderlichen:

$f(x,z) = 20 ~–~ 0{,}3x ~–~ 0{,}5z$

Dabei steht $x$ für die Anzahl der Bananen und $z$ für die Anzahl der Äpfel. Weil die Funktion hier von zwei (unabhängigen) Variablen abhängt, ist auch die Notation anders und wir schreiben nicht $f(x)$ („$f$ von $x$“), sondern $f(x,z)$ („$f$ von $x$ und $z$“). Jetzt wird nicht mehr einer reellen Zahl eine reelle Zahl zugeordnet, sondern es ist ein Zahlenpaar (auch Zahlentupel genannt), dem eine reelle Zahl zugeordnet wird. Schauen wir uns dieses Beispiel genauer an.

Funktionen mit mehreren Veränderlichen – Beispiel

Was bedeutet unsere Funktionsgleichung genau? Setzen wir zum besseren Verständnis ein paar Beispielwerte ein. Kauft Caitlyn $5$ Bananen, würden wir $x = 5$ einsetzen und hätten folgende Gleichung:

$f(5,z) = 20 ~–~ 0{,}3 \cdot 5 ~–~ 0,5z = 18{,}5 ~–~ 0{,}5z$

Im Sachzusammenhang würde das bedeuten, dass Caitlyn noch $18{,}50\,€$ für den Kauf von Äpfeln zur Verfügung hätte. Die Anzahl der Äpfel ist dabei immer noch variabel. Wissen wir demgegenüber nicht, wie viele Bananen sie kauft, aber dass sie $8$ Äpfel kaufen muss, würden wir $z = 8$ einsetzen und hätten dann folgende Gleichung:

$f(x,8) = 20 ~–~ 0{,}3x ~–~ 0{,}5 \cdot 8 = 16 ~–~ 0{,}3x$

Also könnte sie noch für bis zu $16€$ Bananen kaufen. Wir können also keinen konkreten Funktionswert berechnen, wenn wir nur $x$ oder nur $z$ kennen, denn der Funktionswert hängt von beiden Variablen ab. Schlussendlich können wir genau berechnen, wie viel Geld sie noch zur Verfügung hat, wenn sie $5$ Bananen und $8$ Äpfel kauft:

$f(5,8) = 20 ~–~ 0{,}3 \cdot 5 ~–~ 0{,}5 \cdot 8 = 20 ~–~ 1{,}5 ~–~ 4 = 14{,}5$

Damit hätte sie noch $14{,}50€$ nach dem Einkauf übrig. Wir haben $f(5,8)$ berechnet: Dem Zahlenpaar „$5$ und $8$“ wird der Wert $14{,}5$ zugeordnet.

Die Funktionsgleichung $f(x,z) = 20 ~–~ 0{,}3x ~–~ 0{,}5z$ stellt also den funktionalen Zusammenhang der Sachaufgabe dar. Man kann diesen auch in einem Graphen darstellen, wie im Folgenden gezeigt wird.

Funktionen mit mehreren Veränderlichen – Graph

Da wir nicht nur eine, sondern zwei unabhängige Variablen haben, brauchen wir zur Darstellung des Funktionsgraphen ein dreidimensionales Koordinatensystem anstelle eines zweidimensionalen Koordinatensystems, das wir zur Darstellung unserer „herkömmlichen“ Funktionen mit einer unabhängigen Variable gewohnt sind. Jedem Wertepaar $(x,z)$ wird genau ein $y$-Wert zugeordnet. Da zu jedem eingesetzten $x$-Wert wiederum unendlich viele $y$-Werte eingesetzt werden können, entspricht der Graph einer linearen Funktion mit zwei Veränderlichen keiner Geraden, sondern unendlich vielen Geraden, die zusammen eine Fläche (bzw. in diesem konkreten Fall eine Ebene) ergeben. Auch dieser Funktionsgraph hat Nullstellen, doch spiegeln diese sich nicht in Punkten, sondern in einer Geraden wider.

Funktionen mit zwei Veränderlichen können also als Flächen im Raum dargestellt werden, diese können sich noch deutlich komplexer gestalten als in unserem Einführungsbeispiel.

Funktionen mit mehreren Veränderlichen – Zusammenfassung

Häufig gestellte Fragen zum Thema Funktionen mit mehreren Veränderlichen