Graphische Darstellung bei Funktionen mit mehreren Veränderlichen
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Grundlagen zum Thema Graphische Darstellung bei Funktionen mit mehreren Veränderlichen
Hallo. Du kennst bereits Funktionen mit einer Veränderlichen. Diese Veränderliche wird auch Variable genannt. Aber gibt es auch Funktionen mit mehreren Veränderlichen? Und wenn ja, wie können diese dargestellt werden? In diesem Video zeige ich dir am Beispiel eines Paraboloids, wie du eine Funktion mit zwei Veränderlichen im Raum darstellen kannst. Diese Funktion entspricht einer Fläche im dreidimensionalen Raum. Zu dieser Fläche gibt es noch verschiedene Ansichten, die man mit (zu den Koordinatenebenen parallelen) Ebenen erhält. Wenn man eine Veränderliche fest hält, dann erhält man die Höhenlinien und bei fest gehaltenem Funktionswert die Isoquanten, die auch Höhenlinien sind. Die Isoquanten entsprechen sozusagen einer „Draufsicht“ auf die Fläche von oben. Ich hoffe, dieses Video hilft dir weiter. Viel Spaß und bis zum nächsten Mal, dein Frank.
Transkript Graphische Darstellung bei Funktionen mit mehreren Veränderlichen
Hallo. Mein Name ist Frank. In diesem Video werde ich dir zeigen, wie du Funktionen mit mehreren Veränderlichen darstellen kannst. Und zunächst einmal erkläre ich dir was eine Funktion mit mehreren Veränderlichen ist. Du kennst sicherlich schon Funktionen mit nur einer Veränderlichen oder auch Variable genannt. Und ich schau mir jetzt mal an, wenn die Funktion nicht nur von x abhängt, sondern von x1, x2, x3 und so weiter und so fort. Und man schreibt das auch abkürzend mit f(xi). Und das mache ich am Beispiel eines Paraboloids. Das wäre also die Funktion f(x,y) = x2 + y2. Und das ist gerade z = f(x,y). Du siehst, ich habe hier x, y drin und z. Also bekomme ich ein dreidimensionales Koordinatensystem. Mit den Bezeichnungen der Achsen x, y und z. Und ich beschränke mich jetzt auch wirklich auf zwei Variablen, weil die Darstellung von drei Variablen ist so nicht möglich. Also das wären ja dann die x, y und z Achse. Und dann noch eine vierte Achse. Gut. Und ich werde dir jetzt im Folgenden drei mögliche Darstellungen einer solchen Funktion zeigen. Und ich beginne dann zuerst mal mit einer Fläche im Raum. Und dann schaue ich mir zwei verschiedene Höhenlinien an. Einmal halte ich y konstant und einmal z konstant. Und das siehst du gleich. So. Und weiter geht es. Ich habe hier jetzt noch i Element N ergänzt. Damit du hier sehen kannst, okay, x1, x2, x3 das habe ich vorhin noch nicht angeschrieben. Und nun beginne ich, wie gesagt, am Beispiel des Paraboloiden. Mit der Darstellung dieser Funktion als Fläche im Raum. Und die kannst du hier schon mal sehen. In einem dreidimensionalen Koordinatensystem. Also du hast die x Achse, die y Achse und die z Achse. Und so sieht die Funktion aus. Ja. Um das ein bisschen besser zu sehen, drehen wir die jetzt einfach mal. Also stelle dir einfach vor, diese Funktion dreht sich jetzt hier. Dann haben wir, wie gesagt, diese Fläche im Raum. Also eine gebogene Fläche im Raum. Das bleibt jetzt mal hier. Und ich schaue mir zwei weitere Darstellungen an. Um die Funktion vielleicht ein bisschen anders zu sehen oder anders zu verstehen, gibt es zum Beispiel die Möglichkeit, in dieser Darstellung f(x) = x2 + y2, eine der beiden Variablen konstant zu halten. Ich habe das jetzt hier mal am Beispiel von y gemacht. Also y wäre eine Konstante. Und dann bekommst du diese Darstellung. Und zwar in dem Fall eine nach oben geöffnete Normalparabel. Dieselbe Darstellung hättest du übrigens auch, wenn du x konstant halten würdest. Auch eine nach oben geöffnete Normalparabel. Das sind die Höhenlinien. Und zu guter Letzt hätten wir noch die Isoquanten. Das sind auch Höhenlinien, nur diesmal wir nicht x oder y konstant gehalten, sondern z wird konstant gehalten. Das heißt, im Grunde genommen, du schaust von oben auf diese Fläche drauf. Und was siehst du da? Du siehst da konzentrische Kreise. Und alle dieses Kreise haben ihren Mittelpunkt, wie du hier siehst, im Koordinatenursprung. Und für verschiedene z kannst du hier auch verschiedene Kreise sehen. Gut. Das wären die drei Darstellungsformen von Funktionen mit mehreren Veränderlichen im Raum. Ich wiederhole das ganz kurz nochmal: Ich habe also zuerst einmal gezeigt, wie verallgemeinere ich den Funktionsbegriff von einer Variable zu mehreren. Und am Beispiel eines Paraboloiden habe ich dir gezeigt welche möglichen Darstellungen es gibt. Hier dreht sich immer noch diese Fläche im Raum schön weiter. Hier wären die Höhenlinien bei konstant gehaltenem y in dem Beispiel oder x. Und hier wären die Isoquanten bei konstant gehaltener z-Koordinate. Also ein Funktionswert. Nun hoffe ich, dass du alles gut verstehen konntest. Und danke dir für deine Aufmerksamkeit. Wie immer freue ich mich über Fragen und Anregungen. Bis zum nächsten Mal, dein Frank.
Graphische Darstellung bei Funktionen mit mehreren Veränderlichen Übung
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Beschreibe, wie die Höhenlinien einer Funktion mit mehreren Veränderlichen gezeichnet werden können.
TippsStelle dir bei dem oben abgebildeten Paraboloid vor, du würdest einen Schnitt parallel zur x-z-Ebene durchführen: Welchen Graphen (einer Funktion mit einer Veränderlichen) erhältst du dann?
Wenn $y=y_0$ konstant ist, dann ist
$h(x)=f(x;y_0) =x^2+y_0^2$
eine Funktion mit nur einer Veränderlichen, nämlich $x$.
Der Graph einer quadratischen Funktion ist eine Parabel. Diese ist nach oben (unten) geöffnet, wenn der Faktor vor dem quadratischen Term positiv (negativ) ist.
LösungDa Flächen im Raum manchmal recht schwer zu erkennen sind, kann man auch den Graphen parallel zu einer Koordinatenebene betrachten:
Die Höhenlinien eines Graphen erhält man, wenn man eine der beiden Variablen konstant hält.
Wenn man zum Beispiel $y=y_0$ konstant wählt, bedeutet dies, dass man einen Schnitt parallel zur x-z-Koordinatenebene durchführt.
Bei dem abgebildeten Paraboloid, dem Graphen der Funktion $f(x;y)=x^2+y^2$ erhält man so eine nach oben geöffnete Normalparabel.
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Ergänze die Erklärung zu den Isoquanten.
TippsDer Funktionswert der Funktion $f(x;y)$ ist die z-Koordinate.
Die Isoquanten können als Schnitt durch den Paraboloiden parallel zur x-y-Ebene verstanden werden.
Betrachte die Gleichung $x^2+y^2=c$.
Auf welchem geometrischen Gebilde liegen alle geordneten Paare $(x|y)$, die diese Gleichung erfüllen?
LösungDie Isoquanten sind spezielle Höhenlinien. Dabei wird weder $x$ noch $y$ konstant gehalten, sondern der Funktionswert $z=z_0$.
Das bedeutet anschaulich, dass man von oben auf den Funktionsgraphen schaut.
Bei dem Paraboloiden sieht man für verschiedene Werte von $z$ Kreise, deren gemeinsamer Mittelpunkt der Koordinatenursprung ist.
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Bestimme die Isoquanten der Funktion $f(x;y)=x^2+y^2-2y+1$.
TippsBetrachte für $x=0$ konstant die Funktion in Abhängigkeit von $y$.
Die Fläche zu der Funktion ist ein Paraboloid. Dieser hat jedoch nicht seinen tiefsten Punkt im Koordinatenursprung.
Die Isoquanten sind Kreise mit einem gemeinsamen Mittelpunkt.
LösungHier sind zwei Isoquanten zu sehen. Die Isoquanten der Funktion $f(x;y)=x^2+y^2-2y+1$ sind Kreise.
Der Mittelpunkt dieser Kreise ist der tiefste Punkt des Paraboloids. Dieser ist $(0|1)$.
Woran kann man dies erkennen?
- Wenn man $x=0$ wählt, erhält man $y^2-2y+1=(y-1)^2$. Dies wird minimal für $y=1$.
- Wenn man $y=1$ wählt, erhält man $x^2$. Dies wird minimal für $x=0$.
Die Kreisgleichung lautet $x^2+(y-1)^2=z$. Dabei ist $z=r^2$ mit dem Radius $r$.
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Entscheide, welche der abgebildeten Höhenlinien zu welchem Funktionsterm gehört.
TippsDie graue Fläche deutet jeweils den Schnitt parallel zur x-z-Ebene an.
Zu jeder Funktion sind jeweils Höhenlinien zu $x=x_0$ sowie $y=y_0$ angegeben.
Von links nach rechts kannst du die Scheitelpunkte erkennen:
- $S(0|1)$,
- $S(0|1)$,
- $S(-1|0)$,
- $S(-1|0)$
LösungJeweils zwei Abbildungen gehören zu einem Paraboloiden.
In dieser Abbildung hier ist der Schnitt einer Funktion parallel zur x-z-Koordinatenebene zu sehen. Der Scheitelpunkt dieser nach oben geöffneten Parabel ist $S(x|y)=S(0|1)$, also ist der zugehörige Term $x^2$.
Der Schnitt parallel zur y-z-Koordinatenebene hat den Scheitelpunkt in $S(x|y)=S(1|0)$. Dazu gehört $(y-1)^2=y^2-2y+1$.
Diese beiden Höhenlinien gehören zum Paraboloiden mit der Funktionsgleichung $f(x;y)=x^2+y^2-2y+1$.
Ebenso können die beiden anderen Höhenlinien der Funktion $f(x;y)=x^2+2x+1+y^2$ zugeordnet werden. Dieses Mal ist der Scheitelpunkt des Schnitts parallel zu x-z-Ebene der Punkt $S(x|y)=S(-1|0)$.
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Gib an, welche möglichen Darstellungen es für Funktionen mit mehreren Veränderlichen gibt.
TippsDu kannst entweder $x=x_0$ oder $y=y_0$ konstant betrachten. Dies entspricht einem Schnitt parallel zur xz- oder yz-Koordinatenebene.
Hier siehst du ein Beispiel für einen 3-dimensionalen Funktionsgraphen.
Du kannst auch den Funktionswert $z$ konstant halten. Dies entspricht einem Schnitt parallel zur x-y-Ebene.
LösungDer Graph einer Funktion mit zwei Veränderlichen kann
- als Fläche im Raum,
- in Form von Höhenlinien oder
- in Form von besonderen Höhenlinien, den Isoquanten, dargestellt werden.
Die Höhenlinien sind anschaulich der Schnitt der Fläche im Raum parallel zu einer der Koordinatenebenen: Es wird entweder $y=y_0$ oder $x=x_0$ als konstant betrachtet.
Spezielle Höhenlinien sind die Isoquanten. Dieses Mal wird nicht eine der beiden Veränderlichen konstant gehalten, sondern der Funktionswert $z=z_0$. Das bedeutet, es werden alle Kombinationen der Veränderlichen betrachtet, welche diesen Funktionswert erzeugen.
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Bestimme die Gleichungen der Höhenlinien sowie Isoquanten.
TippsSetze jeweils den bekannten (konstanten) Wert in die Funktionsgleichung ein.
Die Isoquanten sind Kombinationen von $x$ und $y$, die den gleichen Funktionswert $z=z_0$ haben.
Diese Gleichung kann sowohl nach $x$ als auch nach $y$ umgeformt werden.
Der Graph einer quadratischen Funktion ist eine Parabel. Deren höchster oder tiefster Punkt wird auch als Scheitelpunkt bezeichnet.
Der Scheitelpunkt der Funktion
$f(x)=a(x-x_s)^2+y_s$
ist gegeben durch $S(x_s|y_s)$.
LösungDies ist der Funktionsgraph zu der Funktion $f(x;y)=x^2+2x+1-y^2$.
Dieser wird auch als hyperbolisches Paraboloid bezeichnet: Im Folgenden schauen wir uns für jeweils ein Beispiel sowohl Höhenlinien als auch Isoquanten dieser Funktion an:
Parallelschnitt zur y-z-Ebene: Sei $x=-1$ konstant, dann ist
$g(y)=f(-1;y)=(-1)^2+2\cdot (-1)+1-y^2=-y^2$.
Der zugehörige Graph ist eine nach unten geöffnete Normalparabel mit dem Scheitelpunkt $y=0$ und $z=0$.
Parallelschnitt zur x-z-Ebene: Sei $y=1$ konstant, dann ist
$h(x)=f(x;1)=x^2+2x-1^2=x^2+2x$.
Der zugehörige Funktionsgraph ist eine nach oben geöffnete Normalparabel mit dem Scheitelpunkt in $x=-1$ und $z=-1$.
Parallelschnitt zur x-y-Ebene: Sei $z=4$ konstant. Dies führt zu der Gleichung
$x^2+2x+1-y^2=4$.
Diese Gleichung wird nach $y$ umgeformt:
- Es wird auf beiden Seiten $y^2$ addiert und $4$ subtrahiert und
- dann die Wurzel gezogen.
- $k_1(x)=y_1=\sqrt{x^2+2x-3}$ sowie
- $k_2(x)=y_2=-\sqrt{x^2+2x-3}$.
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Hallo.
1. Bei z=40 und x=0 erhältst du in der Tat diesen Wert!
2. Die Gleichung wäre x_1;2=±-/(20-y^2)/3.
Hört sich richtig an, was du gerechnet hast.
Ja es hilft mir weiter, habe dann noch zwei weitere Fragen zum Verständnis.
1. Wenn ich dann z=40 einsetzen würde hätte ich y_1 = 6,32..., dies wäre ja schon aus meiner Grenz raus und würde nicht weiter betrachtet werden, richtig?
2. Wenn ich dann nach x umstelle wäre es doch x1;2=-/(20-y²/3) und somit x1=2,58... und x2= -2,58...? So hätte ich ja meine 4 Punkte damit ich meine Höhenlinie meines Parabloiden einzeichnen kann?
Also: ich hoffe, ich kann die Frage einigermaßen beantworten. Sei z=20. Dann kann die Gleichung 20=3x^2+y^2 nach y aufgelöst werden. Es entstehen zwei Funktionen:
1. y_1=-/(20-3x^2) und
2. y_2=- -/(20-3x^2)
'-/' steht für die Wurzel.
Für x=0 ist y_1≈4,5 und y_2≈-4,5, allerdings nicht 0.
Für z=0 gibt es nur eine Lösung und das ist der Koordinatenursprung.
Der Faktor spielt meines Erachtens sehr wohl eine Rolle.
Ich hoffe, ich habe deine Frage richtig verstanden und konnte dir helfen.
Hallo Frank,
ich habe eine Frage. Wir hatten in einer Übungsaufgabe f(x,y)= 3x²+Y², mit der Vorschrift für -5 < x < 5 und -5 < y < 5. Hierbei hat der Dozent g(x,y)= x² + y² gemacht und als nächstes gewählt z= 20 =3x² + y. In dem Höhenlienendiagramm Ebene ( x,y) ergab sich, dass dann der Koordinatenursprung der start war und der erste Kreis bei z ca.= 20 und der zweite bei z ca.=40. Spielt also der Faktor vor der Variablen keine Rolle?