Ganze Zahlen auf der Zahlengeraden

Ganze Zahlen auf der Zahlengeraden Übung

• Ergänze die Eigenschaften ganzer Zahlen.

  Tipps

  Die Gegenzahl von $3$ ist $-3$.

  Eine Zahl und ihre Gegenzahl haben denselben Wert, aber entgegengesetzte Vorzeichen. Der Wert ist dasselbe wie der Abstand zur Null.

  Auf der Zahlengeraden ist eine Zahl umso größer, je weiter sie rechts steht.

  Lösung

  Die Temperaturen der Planeten sind ganze Zahlen. Zu jeder ganzen Zahl gibt es eine Gegenzahl. Sie hat denselben Wert, aber das umgekehrte Vorzeichen. Die Gegenzahl zu der Temperatur $5^\circ~\text C$ ist $-5^\circ\text C$. Caro weiß, dass es für jede positive Zahl eine negative Gegenzahl gibt und umgekehrt für jede negative Zahl eine positive Gegenzahl.

  Eine Zahl und ihre Gegenzahl haben von Null immer denselben Abstand. Zahlen rechts von Null werden als positive Zahlen bezeichnet, die Zahlen links von Null als negative Zahlen. Für die Größenrelation gilt: Je weiter rechts auf der Zahlengeraden eine Zahl steht, desto größer ist sie und je weiter links, desto kleiner. Für negative Zahlen gilt: Je größer ihr Abstand zur Null ist, desto kleiner sind sie und umgekehrt: Je kleiner der Abstand zur Null ist, desto größer sind sie.

  Um zu einer Markierung auf der Zahlengeraden die passende ganze Zahl zu finden, muss Caro erst den Abstand benachbarter Zahlen messen (z.B. von $0$ und $1$). Anschließend trägt sie von Null ausgehend immer in diesem Abstand bis zu der Markierung einzelne Einheiten ab. Hat sie neun Einheiten von Null ausgehend nach rechts abgetragen, so ist die Zahl $9$, hat sie die Einheiten nach links abgetragen, so ist die Zahl $-9$.

• Benenne die Eigenschaften ganzer Zahlen.

  Tipps

  Die Gegenzahl von $5$ ist $-5$.

  Zahlen werden größer, wenn man einmal oder mehrmals um $+1$ weiterzählt.

  Beim Weiterzählen um $+1$ gelangst du von $-24$ zu $-23$.

  Lösung

  Den Zahlenstrahl zur Darstellung der natürlichen Zahlen kannst Du nach links zu der Zahlengeraden erweitern, um die ganzen Zahlen darzustellen. Du findest jetzt zu jeder Zahl eine Gegenzahl im selben Abstand zur Null auf der jeweils anderen Seite. Die Zahlen rechts der Null heißen nun positive ganze Zahlen. Die Zahlen links der Null sind die negativen ganzen Zahlen.

  Folgende Aussagen sind richtig:

  • „Zu jeder ganzen Zahl gibt es einen Vorgänger und einen Nachfolger.“ Du findest den Nachfolger durch Weiterzählen um $+1$, den Vorgänger durch Zurückzählen.

  • „Die Gegenzahl einer positiven ganzen Zahl ist eine negative ganze Zahl oder Null.“ Die Gegenzahl einer positiven Zahl ist negativ, die Gegenzahl der Null ist Null.

  • „Die Gegenzahl zu einer Zahl liegt genauso weit von der Null entfernt wie die Zahl selbst.“ Eine Zahl und ihre Gegenzahl haben immer denselben Abstand zur Null und liegen auf verschiedenen Seiten der Null.

  Folgende Aussagen sind falsch:

  • „Die Gegenzahl einer natürlichen Zahl ist wieder eine natürliche Zahl.“ Die Gegenzahl einer positiven ganzen Zahl ist eine negative ganze Zahl, also keine natürliche Zahl.

  • „Auf der Zahlengeraden liegen die negativen Zahlen rechts, die positiven Zahlen links von der Null.“ Der Zahlenstrahl der natürlichen Zahlen beginnt bei $0$ und verläuft nach rechts. Bei der Erweiterung zur Zahlengeraden der ganzen Zahlen werden die negativen ganzen Zahlen links von der Null eingefügt.

  • „Die positiven Zahlen auf der Zahlengeraden werden nach rechts immer größer, die negativen werden nach links größer.“ Auf der Zahlengeraden sind alle ganzen Zahlen der Größe nach angeordnet: Sie werden nach rechts größer.

  • „Je größer der Abstand einer ganzen Zahl zur Null ist, desto größer ist die Zahl.“ Dies gilt nur für positive ganze Zahlen. Für negative ganze Zahlen gilt: Je weiter eine Zahl von Null entfernt ist, desto weiter links steht sie, d.h. desto kleiner ist sie.

• Bestimme den Vorgänger und den Nachfolger.

  Tipps

  Den Vorgänger einer Zahl findest Du, indem Du um $1$ zurückzählst.

  Die $456$ nächstgelegenen ganzen Zahlen sind $455$ und $457$.

  Eine negative Zahl hat als Vorgänger oder Nachfolger keine positive Zahl.

  Lösung

  Den Nachfolger einer natürlichen Zahl findest Du, indem du um $+1$ weiterzählst, den Vorgänger, indem Du zurückzählst. Alle natürlichen Zahlen haben einen Nachfolger, alle außer $0$ auch einen Vorgänger. Mit den ganzen Zahlen geht das genauso. Doch hier haben alle Zahlen einen Vorgänger und Nachfolger, selbst die $0$ hat nun einen Vorgänger und zwar die $-1$.

  Du erhältst folgende Zuordnung:

  • Der Nachfolger von $138$ ist die Zahl $139$, der Vorgänger ist $137$.

  • Für die Zahl $141$ findest Du den Vorgänger $140$ und den Nachfolger $142$.

  • Die Zahl $-140$ hat als Nachfolger $-139$ und als Vorgänger $-141$.

  • Für die Zahl $-129$ findest Du den Nachfolger $-128$ und den Vorgänger $-130$.

• Vergleiche die Zahlen.

  Tipps

  Die Gegenzahl einer positiven Zahl ist auf dem Zahlenstrahl genauso weit nach links von Null entfernt wie die positive Zahl nach rechts.

  Vorgänger und Nachfolger einer negativen Zahl (außer $-1$) sind beide negative Zahlen.

  Der Nachfolger von $-123$ ist $-122$.

  Lösung

  Den Vorgänger und Nachfolger einer ganzen Zahl findest du, indem Du $+1$ bzw. $-1$ rechnest, die Gegenzahl, indem du das Vorzeichen änderst und den Wert beibehältst.

  Hier findest du folgende Zuordnung:

  • $\phantom{-}428$ hat den Vorgänger $427$.

  • $-426$ hat die Gegenzahl $426$.

  • $-424$ hat den Nachfolger $-423$.

  • $-425$ hat den Vorgänger $-426$.

  • $\phantom{-}429$ hat den Vorgänger $428$.

• Gib die Eigenschaften ganzer Zahlen an.

  Tipps

  Die natürlichen Zahlen stehen auf der Zahlengeraden und auf dem Zahlenstrahl rechts der Null.

  Ein Strahl verläuft von einem Startpunkt in eine Richtung, eine Gerade in beide Richtungen.

  Die Zahl $4$ liegt auf der Zahlengeraden vier Einheiten rechts von Null, die Zahl $-4$ um vier Einheiten links der Null.

  Lösung

  Caro trägt die Zahlen auf einer Skala ein. Hätte sie nur natürliche Zahlen, so könnte sie den Zahlenstrahl verwenden. Caro hat jedoch auch negative Temperaturen gemessen, weshalb sie für ihre ermittelten ganzen Zahlen die Zahlengerade benötigt. Dabei trägt sie eine positive Zahl rechts von Null ab, eine negative Zahl dagegen links von Null.

  Caro findet zu jeder ganzen Zahl auch eine Gegenzahl, z. B. ist die Gegenzahl von $3$ die Zahl $-3$. Hier gilt immer: eine Zahl und ihre Gegenzahl haben denselben Abstand von Null.

  Die Temperatur eines speziellen Planeten beträgt $10^\circ~\text{C}$. Um den Wert auf der Zahlengerade abzutragen, geht Caro von Null aus $10$ Einheiten nach rechts.

  Ein anderer Planet hat die Temperatur $-24^\circ\text{C}$. Caro trägt den Wert wieder auf der Zahlengerade ab. Die Unterteilung in Zehnerschritte hilft ihr dabei, denn der Wert $-20^\circ~\text{C}$ ist auf der Skala bereits eingetragen. Von dort muss sie jetzt nur noch $4$ Schritte weiter nach links gehen.

  Die Temperatur des zweiten Planeten ist kleiner als die des ersten, denn die $-24$ steht auf der Zahlengerade weiter links als $10$.

• Analysiere die Aussagen über ganze Zahlen.

  Tipps

  Vorgänger der Gegenzahl von $109$ ist $-110$. Nachfolger der Gegenzahl von $109$ ist $-108$.

  Lösung

  Folgende Aussagen sind richtig:

  • „$24$ hat von $-1$ denselben Abstand wie $-24$ von $1$.“ Der Abstand beträgt in beiden Fällen $25$. Du kannst den Abstand zweier ganzer Zahlen durch Subtraktion ausrechnen. Du musst nur darauf achten, die kleinere von der größeren Zahl zu subtrahieren: Für den Abstand von $24$ zu $-1$ rechnest du: $24 - (-1) = 24 + 1 = 25$. Für den Abstand von $-24$ zu $1$ rechnest du analog: $1-(-24) = 1+24 = 25$.

  • „Die Gegenzahl des Nachfolgers einer ganzen Zahl ist der Vorgänger der Gegenzahl.“ Den Nachfolger einer ganzen Zahl erhältst du, indem du $+1$ rechnest. Um die Gegenzahl zu bestimmen, musst du das Vorzeichen ändern und den Wert beibehalten. Dadurch wird aus $+1$ dann $-1$, also der Vorgänger. Ein Beispiel: Der Nachfolger von $-23$ ist $-23+1 = -22$. Die Gegenzahl von $-22$ ist $22$, der Vorgänger der Gegenzahl von $-23$. Anders gesagt: $-(-23+1) = 23-1$.

  • „Bildet man die Gegenzahlen zweier aufeinander folgender Zahlen, so dreht sich die Reihenfolge auf der Zahlengeraden um.“ Die Gegenzahlen von $-47$ und $-46$ sind $46$ und $47$.

  • „Der Abstand zwischen einer Zahl und ihrer Gegenzahl ist durch $2$ teilbar.“ Jede Zahl und ihre Gegenzahl haben denselben Abstand zur Null. Der Abstand einer Zahl zu ihrer Gegenzahl ist das Doppelte des Abstands zu Null und daher durch $2$ teilbar.

  • „Für jede ganze Zahl ist der Abstand zwischen ihrem Vorgänger und ihrem Nachfolger gleich.“ Für jede ganze Zahl gilt: Der Abstand zwischen ihrem Nachfolger ihrem Vorgänger beträgt $2$.

  Folgende Aussagen sind falsch:

  • „Die Gegenzahl einer ganzen Zahl ist eine negative Zahl.“ Die Gegenzahl einer ganzen Zahl erhältst du, indem du den Wert beibehältst und das Vorzeichen veränderst. Die Gegenzahl einer positiven Zahl ist negativ, die Gegenzahl einer negativen Zahl ist positiv.

  • „Die Gegenzahl der Gegenzahl von $17$ ist dasselbe wie die Gegenzahl von $17$.“ Zur Bildung der Gegenzahl änderst du nur das Vorzeichen der Zahl. Wenn du das Vorzeichen zweimal änderst, erhältst du die ursprüngliche Zahl. Das ist auch der Inhalt der Regel Minus mal Minus ergibt Plus.

  • „Die Gegenzahl des Vorgängers einer positiven ganzen Zahl ist kleiner als die Gegenzahl der positiven ganzen Zahl selbst.“ Die Aussage wäre richtig, wenn du „positive“ durch „negative“ Zahl ersetzt: Der Vorgänger einer positiven Zahl ist kleiner als diese, denn er liegt weiter links. Er liegt aber auch näher bei der Null, daher liegt seine Gegenzahl weiter rechts als die Gegenzahl der ursprünglichen positiven Zahl. Ein Beispiel: Der Vorgänger von $17$ ist $16$ und damit kleiner als $17$. Die Gegenzahl ist $-16$ und ist größer als $-17$.