Was ist der Betrag einer Zahl?

Was ist der Betrag einer Zahl? Übung

• Bestimme mithilfe von Beträgen das beste Reiseziel.

  Tipps

  Für den Vergleich der Höhen betrachten wir die gegebenen Zahlen aus der Aufgabenstellung.

  Für den Vergleich der Abstände zum Meeresspiegel betrachten wir die Beträge der gegebenen Zahlen aus der Aufgabenstellung.

  So berechnest du den Betrag einer Zahl:

  • Ist die Zahl positiv oder null, ändert der Betrag nichts an der Zahl. Es gilt $\vert x\vert=x$.
  • Ist die Zahl negativ, ändert der Betrag nur das Vorzeichen der Zahl. Es gilt $\vert -x\vert=x$.

  Lösung

  Natürlich könnten wir die Frage auch aus dem Bauchgefühl beantworten. Hier möchten wir aber herausfinden, welche Rechnung im Bauchgefühl eigentlich verborgen ist.
  Vergleiche von Größen treffen wir mit den Bezeichnungen „größer als“, in Zeichen: $\gt$, oder „kleiner als“, in Zeichen: $\lt$, aber auch mit „größer oder gleich“, in Zeichen: $\geq$, oder „kleiner oder gleich“, in Zeichen: $\leq$.

  Höhen und Zahlen

  In der ersten Rechnung vergleichen wir die beiden Höhen. Die Höhe des Mount Everest ist mit $8 800$ Metern und die Höhe des Marianengrabens mit $-11 000$ Metern gegeben.

  Der mathematische Vergleich der Zahlen liefert $-11 000\lt 8 800$. Doch selbst wenn die Zahl $-11 000$ kleiner als die Zahl $8 800$ ist, vermuten wir: Die Zahl $8 800$ liegt nicht weiter von der Null entfernt als die Zahl $-11 000$. Genau das können wir mit Beträgen auch berechnen.

  Abstand zum Meeresspiegel und Betrag

  Der Betrag einer Zahl stellt ihren Abstand zur Null dar. In dieser Textaufgabe steht der Betrag der Höhe eines Ortes für dessen Abstand zum Meeresspiegel. Um die Beträge miteinander zu vergleichen, ermitteln wir ihre Zahlenwerte:

  • Abstand des Mount Everest zum Meeresspiegel: Es gilt $\vert 8 800 \vert=8 800$.
  • Abstand des Marianengrabens zum Meeresspiegel: Es gilt $\vert -11 000 \vert=11 000$.

  Der abschließende Vergleich liefert:

  $\vert 8 800 \vert=8 800 \lt 11 000 =\vert -11 000 \vert$ bzw. $\vert 8 800 \vert \lt \vert -11 000 \vert$

  Der Marianengraben liegt also weiter vom Meeresspiegel entfernt und ist somit das perfekte Reiseziel für Philip und Lara.

• Ergänze die Grundregeln für den Umgang mit Beträgen.

  Tipps

  Ein Beispiel zu Beträgen und Summen:

  Berechnest du die Summe der einzelnen Beträge von $40$ und ${-50}$, erhältst du:

  $\vert {40}\vert+\vert {-50}\vert=40+50=90$

  Berechnest du den Betrag der Summe von $40$ und ${-50}$, erhältst du hingegen:

  $\vert 40+({-50})\vert = \vert {-10} \vert = 10$

  Worin unterscheiden sich die beiden Rechnungen?

  Lösung

  Um den Betrag einer Zahl zu berechnen, musst du auf Folgendes achten:

  Positive Beträge

  • Ist eine Zahl $x$ positiv oder null, ändert der Betrag nichts an der Zahl. Es gilt $\vert x\vert=x$.
  • Ist eine Zahl $-x$ negativ, ändert der Betrag nur das Vorzeichen der Zahl. Es gilt $\vert -x\vert=x$.

  Der Betrag einer Zahl (außer null) ist immer positiv und der Betrag von null ist null.

  Negative Beträge

  Steht vor dem Betrag ein Minus, ist das Ergebnis immer negativ, z. B. ${-\vert {-9}\vert}={-(+9)}={-9}$. Auch hier gilt wieder, dass der Betrag von null eine Ausnahme bildet.

  Beträge von Rechenausdrücken

  Um Beträge von Rechenausdrücken zu berechnen, gilt: erst den Ausdruck, z. B. die Summe, berechnen und danach den Betrag ermitteln.

• Zeige, wie unterschiedlich eine Zahl mittels Beträgen dargestellt werden kann.

  Tipps

  Der Betrag einer Zahl (außer null) ist positiv, zum Beispiel gilt $\vert 10\vert =10$.

  Der negative Betrag einer Zahl (außer null) ist negativ, zum Beispiel gilt ${-\vert 10\vert} ={-10}$.

  Für den Betrag eines Rechenausdrucks berechne erst den Ausdruck, dann den Betrag. Es gilt beispielsweise $\vert 2\cdot 5\vert = \vert 10\vert= 10$.

  Lösung

  All diese Aufgaben kannst du nach den folgenden Leitsätzen lösen:

  1. Der Betrag einer Zahl (außer null) ist positiv.
  2. Der negative Betrag einer Zahl (außer null) ist negativ.
  3. Für den Betrag eines Rechenausdrucks berechne erst den Ausdruck, dann den Betrag.

  Bei diesen Umformungen wurden der erste und der dritte Leitsatz angewendet:

  • ${\vert {-5}\cdot 3\vert}=\vert {-15}\vert=15$
  • ${\vert {15}-30\vert}={\vert {-15}\vert}=15$
  • ${\vert {20-11}\vert}={\vert {9}\vert}=9$
  • ${\vert {27}: ({-3})\vert}={\vert {-9}\vert}=9$
  • ${\vert 11-20 \vert}={\vert {-9} \vert}=9$
  • ${\vert 20-11\vert}={\vert 9 \vert}=9$

  Bei den anderen Umformungen wurden jeweils der zweite und der dritte Leitsatz angewendet:

  • ${-\vert {-5}\cdot 3\vert}={-\vert {-15}\vert}={-(+15)}={-15}$
  • ${-\vert 3\cdot 5\vert}={-\vert 15\vert}={-15}$
  • ${-\vert 25-10\vert}={-\vert 15\vert}={-15}$
  • ${-\vert {-15}+30\vert}={-\vert 15\vert}={-15}$
  • ${-\vert {3}\cdot 3\vert}={-\vert 9 \vert}={-9}$
  • ${-\vert {27}: 3\vert}={-\vert 9\vert}={-9}$
  • ${-\vert 20-11 \vert}={-\vert 9 \vert}={-9}$

• Ordne die Ausdrücke ihrer Größe nach auf der Zahlengeraden.

  Tipps

  Es gilt $\vert{-50}\vert=50$. Daher ist ${-50}\lt\vert-50\vert$.

  Wegen ${-\vert{-50}\vert}={-50}$ gilt ${-\vert{-50}\vert}\lt 50$.

  Lösung

  In der Abbildung siehst du die Ergebnisse der Rechnungen direkt an der richtigen Stelle auf der Zahlengerade eingeordnet.

  Im Folgenden siehst du alle Rechnungen, die zu den Werten führen. Wir starten dabei mit dem kleinsten Wert:

  • $-\vert 2\cdot 20 \vert={-\vert 40\vert}={-40}$
  • $-\vert 10-45\vert={-\vert {-35}\vert}={-35}$
  • $-\vert {-25}\vert={-25}$
  • $-\vert {18}\vert={-18}$
  • $\vert 0\vert=0$
  • $\vert{-10}\vert=10$
  • $\vert {-18}\vert=18$
  • $\vert {-35}\vert=35$
  • $\vert 90-(+50))\vert={\vert 40\vert}=40$
  • $\vert ({-5})\cdot 11\vert={\vert -55\vert}=55$

• Vereinfache die Betragsausdrücke so weit wie möglich.

  Tipps

  Der Betrag einer Zahl (außer null) ist immer positiv.

  Zum Beispiel gelten folgende Gleichungen:

  • $\vert {-6}\vert =6$
  • $\vert 6\vert =6$

  Es gelten auch folgende Gleichungen:

  • $\vert {-500}\vert =500$
  • $\vert 500\vert =500$

  Lösung

  Der Betrag einer Zahl ist der Abstand dieser Zahl zur Null. Da Abstände immer positiv oder null sind, sind auch Beträge immer positiv oder null.

  Der Betrag einer Zahl (außer null) ist positiv:

  • ${\vert {-5}\vert}= {5}$
  • $\vert {8 800}\vert={8 800}$
  • ${\vert {-11 000}\vert}=11 000$
  • ${\vert {-2}\vert}=2 $

  Der Betrag von null ist null:

  • $\vert 0\vert = 0$

• Berechne die Rechenausdrücke mit Beträgen.

  Tipps

  Der Betrag einer Zahl (außer null) ist positiv.

  Hier siehst du ein Beispiel für $a={-50}$ und $b=3$:

  • $\vert a \vert = \vert {-50}\vert = 50$
  • $\vert b \vert = \vert {3}\vert = 3$
  • $\vert a-b \vert = \vert {{-50}-3}\vert = \vert {-53}\vert = 53$
  • $\vert a \vert - \vert b \vert = \vert {-50}\vert-\vert{3}\vert = 50 - 3 = 47$

  Näheres zu dem Beispiel aus dem zweiten Tipp:

  $\underbrace{\underbrace{\vert {-50}\vert}_{\text{erster Betrag}}-\underbrace{\vert{3}\vert}_{\text{zweiter Betrag}}}_{\text{Differenz zweier Beträge}} = \underbrace{50}_{\text{erster Betrag}} - \underbrace{3}_{\text{zweiter Betrag}} = 47$.

  Lösung

  Erste Aufgabe: $~ a=7, ~ b={-8}$

  • $\vert {a}\vert = \vert {7}\vert =7$
  • $\vert {b}\vert = \vert {-8}\vert = {8}$

  Bei der Aufgabe ${\vert {a-b}\vert}$ handelt es sich um den Betrag eines Rechenausdrucks, hier der Betrag einer Differenz. Um den Betrag zu berechnen, musst du zuerst die Rechnung lösen:

  $ \underbrace{\vert ~ \underbrace{a-b}_{\text{Differenz}} ~\vert}_{\text{Betrag einer Differenz}} = \vert ~ \underbrace{7-(-8)}_{\text{Differenz}} ~\vert = \vert \underbrace{15}_{\text{Differenz}} \vert = {15} $

  Bei der Aufgabe ${\vert {a}\vert}-{\vert {b}\vert}$ hingegen handelt es sich um einen Rechenausdruck, in dem Beträge enthalten sind, hier eine Differenz von Beträgen. Um den einen Betrag vom anderen abziehen zu können, musst du zunächst die einzelnen Beträge ausrechnen:

  $ \underbrace{\underbrace{\vert {a}\vert}_{\text{erster Betrag}} - \underbrace{\vert {b}\vert}_{\text{zweiter Betrag}}}_{\text{Differenz zweier Betr}\ddot{\text{a}}\text{ge}} = \underbrace{\vert {7}\vert}_{\text{erster Betrag}} - \underbrace{\vert {-8}\vert}_{\text{zweiter Betrag}} = \underbrace{7}_{\text{erster Betrag}}-\underbrace{8}_{\text{erster Betrag}} = {-1} $

  Zweite Aufgabe: $~ a={-3}, ~ b={2}$

  • $\vert {a}\vert = \vert {-3}\vert = 3$
  • $\vert {b}\vert = \vert {2}\vert = {2}$
  • ${\vert {a-b}\vert} = {\vert {{-3}-{2}}\vert} = {\vert {-5}\vert} = 5$
  • ${\vert {a}\vert}-{\vert {b}\vert} = {\vert {-3}\vert}-{\vert {2}\vert} = {3}-{2} =1$

  Dritte Aufgabe: $~ a={10 000}, ~ b={-6 000}$

  • $\vert {a}\vert = \vert {10 000}\vert = 10 000$
  • $\vert {b}\vert = \vert {-6 000}\vert = {6 000}$
  • ${\vert {a-b}\vert} = {\vert {{10 000}-({-6 000})}\vert} = {\vert {16 000}\vert} = 16 000$
  • ${\vert {a}\vert}-{\vert {b}\vert} = {\vert {10 000}\vert}-{\vert {-6 000}\vert} = {10 000}-{6 000} =4 000$