Gerade und ungerade Zahlen

Was sind ungerade Zahlen?

Wir wollen uns heute damit beschäftigen, wie man ungerade Zahlen erkennen kann. Aber wann ist eine Zahl eigentlich ungerade?

Ungerade Zahlen – Definition

Man sagt, eine Zahl ist ungerade, wenn man sie nicht gleichmäßig auf zwei Personen aufteilen kann.

Stell dir zum Beispiel vor, du hast sieben Bonbons und willst sie mit einem Klassenkameraden gerecht teilen. Nacheinander gibst du jedem von euch je ein Bonbon. Nach der dritten Runde hat dann jeder genau drei Bonbons, aber eines ist noch übrig. Sieben Bonbons lassen sich nicht gleichmäßig aufteilen, es bleibt ein Rest von eins übrig. Die Sieben ist deswegen eine ungerade Zahl. Hättest du ein Bonbon mehr, also acht, bekäme jeder vier Bonbons und keines bliebe übrig. Die Acht ist wieder eine gerade Zahl.

Im Zahlenstrahl wechseln sich gerade und ungerade Zahlen immer ab. Die Eins ist eine ungerade Zahl, die Zwei ist gerade und die Drei ist wieder ungerade:

Du kannst ungerade Zahlen in der Mathematik finden, indem du versuchst, sie durch zwei zu teilen. Bleibt dabei ein Rest übrig, ist die Zahl ungerade. Lässt sie sich durch zwei teilen, ist sie gerade.

Aber wie erkennt man ungerade Zahlen, die viel größer sind als zehn? Dazu musst du dir nur alle ungeraden Zahlen zwischen eins und zehn merken, also:

$1,3,5,7,9$

Immer, wenn eine Zahl eine dieser Zahlen als letzte Ziffer hat, ist sie ungerade. So ist zum Beispiel die $17$ ungerade, genauso wie die $11$ oder auch die $53$.

Was sind gerade Zahlen?

Eine Zahl ist genau dann gerade, wenn du sie gleichmäßig in zwei Gruppen aufteilen kannst, ohne dass dabei ein Rest übrig bleibt. Wenn wir zum Beispiel $4$ Gummibärchen gerecht an zwei Kinder verteilen wollen, dann bekommt jedes Kind $2$ Gummibärchen. Die $4$ ist also eine gerade Zahl, weil wir sie gleichmäßig aufteilen können. Haben wir dagegen $7$ Gummibärchen, dann kann jedes Kind $3$ davon bekommen. Dabei bleibt aber ein Gummibärchen als Rest übrig, daher ist die $7$ keine gerade, sondern eine ungerade Zahl.

Schauen wir uns an, wie wir gerade Zahlen erkennen können.

Gerade Zahlen erkennen – Aufteilen in Zweiergruppen

Eine Möglichkeit, gerade Zahlen zu erkennen, ist es, die Zahl in Zweiergruppen aufzuteilen. Dazu kannst du dir eine Achterbahn vorstellen, bei der in jedem Wagen genau zwei Kinder sitzen können.
Ist die Anzahl der Kinder gerade, dann können immer zwei Kinder zusammen in einem Wagen fahren. Bleibt ein Kind übrig und sitzt daher allein in einem Wagen, dann ist die Anzahl der Kinder nicht gerade.
Wollen zum Beispiel $3$ Kinder mit der Achterbahn fahren, dann können zwei davon gemeinsam in einem Wagen sitzen, eines bleibt aber allein. Daher ist die $3$ keine gerade Zahl. Bei $5$ Kindern sieht es ähnlich aus: Es können zwei Kinder zusammen in dem ersten und zwei weitere zusammen in dem zweiten Wagen sitzen. Ein Kind bleibt auch hier allein, damit ist auch die $5$ keine gerade Zahl. Betrachten wir dagegen den Fall, dass $4$ Kinder auf die Achterbahn warten, dann stellen wir fest, dass je zwei Kinder zusammen fahren können. Die Zahl $4$ ist also gerade.

Du kannst auch versuchen, die Zahl gleichmäßig auf zwei Personen zu verteilen. Bei geraden Zahlen funktioniert das immer. Dazu kannst du dir vorstellen, dass du eine Anzahl an Murmeln an zwei Kinder verteilst. Dabei bekommt jedes Kind abwechselnd eine Murmel. Nur wenn am Schluss beide Kinder gleich viele Murmeln haben, ist die Anzahl der Murmeln gerade.
In der Tabelle siehst du Beispiele dazu.

Gerade Zahlen erkennen – anschaulich

Wir können gerade und ungerade auch anschaulich unterscheiden. Dazu stellen wir uns zunächst vor, dass wir $12$ Perlen haben. Wir wollen die Perlen gleichmäßig an zwei Kinder verteilen. Nacheinander geben wir jedem Kind eine Perle. Die verteilten Perlen legen wir für jedes Kind in einer Reihe nebeneinander. Die erste Perle des ersten Kinds liegt genau über der zweiten Perle des zweiten Kinds.

Wenn wir eine Linie von der letzten Perle des ersten Kinds zur letzten Perle des zweiten Kinds ziehen, läuft die Linie gerade nach unten.

Hätten wir stattdessen $11$ Perlen auf diese Weise aufgereiht, sähe diese Linie folgendermaßen aus.

Sie läuft nicht mehr gerade, sondern schief nach unten. Die $11$ ist also eine ungerade Zahl.

Eigenschaften gerader Zahlen

In den Beispielen, die wir uns schon angeschaut haben, kannst du etwas feststellen: Gerade Zahlen und ungerade Zahlen wechseln sich immer ab. Es war zum Beispiel die $14$ gerade, die $15$ nicht und die $16$ wieder gerade. Wenn du an die Achterbahn denkst, dann ist es so, dass bei einer geraden Zahl die Wagen immer mit zwei Kindern besetzt sind. Kommt jetzt ein weiteres Kind dazu, dann muss dieses allein sitzen. Die nächste Zahl wird also ungerade sein. Haben wir noch ein Kind mehr, dann kann es sich zu dem Kind setzen und es sind wieder alle Wagen doppelt besetzt. Es gilt also, dass jede zweite Zahl gerade ist.

Außerdem bleibt kein Rest, wenn du eine gerade Zahl durch zwei teilst. Das gilt wegen der Definition, dass du gerade Zahlen gleichmäßig, ohne Rest, auf zwei Gruppen aufteilen kannst.

Eine kleine Merkhilfe ist, dass alle geraden Zahlen am Ende eine der Ziffern $0$, $2$, $4$, $6$ oder $8$ haben. Jede Zahl, die auf eine dieser Ziffern endet, ist eine gerade Zahl und keine Zahl, die auf eine andere Ziffer endet, kann gerade sein.
Das stellen wir auch im Vergleich mit unseren Ergebnissen zuvor fest:

• Die Zahl $14$ endet auf die Ziffer $4$, die wir in unserer Liste für gerade Zahlen finden, und ist gerade.
• Die $15$ endet auf die Ziffer $5$, die nicht in der Liste steht. $15$ ist keine gerade Zahl.
• Die $16$ endet auf die Ziffer $6$, die wir wieder in der Liste finden. $16$ ist eine gerade Zahl.

Kurze Zusammenfassung zum Video Gerade und ungerade Zahlen

In diesem Video erklären wir dir die Grundlagen über gerade und ungerade Zahlen. Du lernst, welche Zahlen gerade sind, woran du sie erkennen kannst und welche besonderen Eigenschaften sie haben. Außerdem zeigen wir dir viele Beispiele und einen nützlichen Merksatz.