Jahres-, Monats-, Tageszinsen
"Sparstrümpfe waren gestern, Geld auf der Bank bringt Zinsen! Tauche ein in die Grundbegriffe der Zinsrechnung und entdecke die Unterschiede zwischen Jahres-, Monats- und Tageszinsen, sowie ihre Berechnungsweise. Interessiert? Dann lass dich in die faszinierende Welt der Zinsen entführen!"
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Grundlagen zum Thema Jahres-, Monats-, Tageszinsen
Sparstrümpfe
Dörte Jonas hat ihr Geld in Socken gesammelt. Nun hat sie allerdings erfahren, dass es viel schlauer ist, das Geld bei der Bank anzulegen. Hier bekommt sie nämlich Zinsen auf ihr Geld. Um dies genauer zu untersuchen, schauen wir uns Jahreszinsen, Monatszinsen und Tageszinsen an.
Grundbegriffe der Zinsrechnung
In der Zinsrechnung unterscheiden wir die folgenden drei Grundbegriffe:
- Kapital $K$: gibt das gesparte oder geliehene Geld an
- Zinsen $Z$: gibt an, um wie viel sich das Kapital im Laufe des Jahres verändert
- Zinssatz $p\%$: gibt das Verhältnis zwischen Zinsen und Kapital an
Die einzelnen Größen können mithilfe der drei folgenden Formeln berechnet werden:
$K=\dfrac{Z}{p\%}$$ \qquad$ $Z=K \cdot p\%$ $\qquad$ $p\% = \dfrac{Z}{K}$
Jahreszinsen, Monatszinsen, Tageszinsen
Die Bank unterscheidet zwischen Jahreszinsen, Monatszinsen und Tageszinsen.
Was ist ein Jahreszins?
Um den Jahreszins zu berechnen, schauen wir uns zunächst die Definition des Jahreszinses an:
Werden die Zinsen für ein ganzes Jahr angegeben, so nennt man das die Jahreszinsen. Wir können die Jahreszinsen mit der Formel
$Z=K \cdot p\%$
berechnen.
Was ist ein Monatszins?
Um den Monatszins zu berechnen, schauen wir uns zunächst die Definition des Monatszinses an:
Wird das Geld nur für einige Monate verzinst, so sprechen wir von Monatszinsen. Da das Jahr $12$ Monate hat, können wir den Jahreszins auf den Monatszins umrechnen, indem wir durch $12$ dividieren.
Was ist ein Tageszins?
Um den Tageszins zu berechnen, schauen wir uns zunächst die Definition des Tageszinses an:
Wird das Geld nur für einige Tage verzinst, so sprechen wir von Tageszinsen. In der Zinsrechnung gehen wir immer davon aus, dass ein Jahr $360$ Tage hat, dementsprechend hat dann ein Monat immer $30$ Tage. Wir können also den Tageszins berechnen, indem wir den Jahreszins durch $360$ dividieren.
Beispiele zu Zinsen
Wir betrachten als Beispiel Dörtes Sparstrumpf: Er beinhaltet $328$ €, welche sie auf der Bank anlegt. Die Bank zahlt $1,5 \%$ Zinsen pro Jahr.
Jahreszins berechnen – Beispiel
Wir können den Jahreszins mit der Formel berechnen:
$Z=K \cdot p\% = 328€ \cdot 1,5 \% = 328€ \cdot 0,015 = 4,92€$
Monatszins berechnen – Beispiel
Wir können nun auch die Monatszinsen mit der Formel berechnen:
Um die Zinsen für einen Monat zu bestimmen, müssen wir $\frac{1}{12}$ der Jahreszinsen berechnen:
Zinsen für einen Monat: $Z = \frac{1}{12}\cdot 4,92€ = 0,41€$
Um die Zinsen für zwei Monate zu bestimmen, berechnen wir $\frac{2}{12}$ der Jahreszinsen:
Zinsen für zwei Monate: $Z = \frac{2}{12}\cdot 4,92€ = 0,82€$
Tageszins berechnen – Beispiel
Wir können auch die Tageszinsen mit der Formel berechnen:
Um die Zinsen für einen Tag zu bestimmen, berechnen wir $\frac{1}{360}$ der Jahreszinsen:
Zinsen für einen Tag: $Z = \frac{1}{360}\cdot 4,92€ = 0,014€$
Um die Zinsen für $15$ Tage zu bestimmen, berechnen wir $\frac{15}{360}$ der Jahreszinsen:
Zinsen für $15$ Tage: $Z = \frac{15}{360}\cdot 4,92€ = 0,15€$
Zinsen berechnen mit dem Dreisatz
Wir können Zinsen auch immer mit dem Dreisatz berechnen. Wollen wir beispielsweise die Zinsen für $80$ Tage berechnen, so gehen wir wie folgt vor:
In diesem Video zu Jahres-, Monats- und Tageszinsen …
... werden Jahreszinsen, Monatszinsen und Tageszinsen einfach erklärt. Dazu wiederholen wir zunächst die Grundbegriffe der Zinsrechnung und erklären die drei Zinsarten. Anschließend betrachten wir Formeln zur Berechnung von Jahreszinsen, Monatszinsen und Tageszinsen an einem Beispiel. Wir schauen uns dabei an, wie man vom Jahreszins auf den Monatszins und auf den Tageszins kommt. Abschließend zeigen wir, wie man den Dreisatz zur Berechnung von Tageszinsen verwenden kann.
Transkript Jahres-, Monats-, Tageszinsen
Früher war es üblich Geld in Socken zu sammeln. Dörte Jonas hat diese alte Angewohnheit nie abgelegt. Doch letztens hat sie erfahren, dass es viel schlauer ist, ihr Geld bei einer Bank zu sparen. Dort bekommt sie nämlich zusätzlich zu ihrem Gesparten Jahres-, Monats- und Tageszinsen. Damit wir die berechnen können, machen wir uns zunächst noch einmal mit den Begriffen der Zinsrechnung vertraut: Wir haben das Kapital K, welches das gesparte oder geliehene Geld angibt, die Zinsen Z, um die sich das Kapital im Laufe des Jahres verändert und den Zinssatz p%, welcher das Verhältnis zwischen Zinsen und Kapital angibt. Man kann diese Werte mit diesen Formeln berechnen. Das Dreieck kann dir dabei helfen, dir die verschiedenen Formeln zu merken. Die Zinsen werden dabei meistens für ein ganzes Jahr angegeben. Dies nennen wir dann die Jahreszinsen. Oft wird aber auch monats- oder tageweise verzinst. Ein Jahr besteht bekannterweise aus 12 Monaten. Also kann man die Jahreszinsen einfach durch 12 teilen, um die Zinsen für einen Monat zu erhalten. Da wir in der Zinsrechnung immer von einem Jahr mit 360 Tagen ausgehen, rechnen wir für einen Monat immer mit 30 Tagen. Um von den Jahreszinsen auf die Zinsen für einen Tag zu gelangen, teilen wir sie durch 360. Wir können aber auch die Monatszinsen durch 30 teilen. Schauen wir uns doch einmal an einem Beispiel an, wie wir dies berechnen können. Nehmen wir dazu an, dass Dörte Jonas ihre größte Socke zur Bank nimmt und damit ein Sparkonto eröffnet. Wir wollen zu ihrem Gesparten zunächst die Jahreszinsen berechnen. In dieser Socke sind 328 Euro, dies ist ihr Kapital. Die Bank verzinst das Kapital mit einem Zinssatz von 1,5%. Rechnen wir das in einen Dezimalbruch um, so ist das 0,015. Um die Jahreszinsen zu berechnen, können wir die Formel Z, gleich K mal p%, verwenden. Wir setzen die Werte ein und erhalten 4 Euro 92 als Jahreszinsen. Um die Zinsen für einen Monat zu berechnen, müssen wir davon einfach ein Zwölftel bestimmen. Wir rechnen also ein Zwölftel mal 4 Euro 92 und erhalten 41 Cent für die Zinsen für einen Monat. Die Zinsen für 2 Monate können wir mit zwei Zwölftel mal 4 Euro 92 berechnen. Das sind 82 Cent. Bei Tageszinsen gehen wir ähnlich vor. Da mit einem Jahr von 360 Tagen gerechnet wird, können wir die Zinsen für einen Tag mit ein Dreihundertsechzigstel berechnen. Für einen Tag würde man also 1,4 Cent Zinsen bekommen. Wollen wir die Zinsen für 15 Tage berechnen, so können wir also 15 Dreihundertsechzigstel mit 4 Euro 92 multiplizieren und erhalten 21 Cent. Wir können aber auch immer den Dreisatz verwenden. Berechnen wir doch einmal die Zinsen für 80 Tage. 4 Euro 92 entsprechen den Zinsen für 360 Tage. Wir teilen dann durch 360, um auf die Zinsen für einen Tag zu gelangen und multiplizieren mit 80, um die Zinsen für 80 Tage zu berechnen. Die Zinsen für 80 Tage entsprechen also gerundet 1 Euro 12 Cent. Während Dörte Jonas ihre restlichen Socken zur Bank bringt, fassen wir das doch noch einmal zusammen. Wollen wir Tages- oder Monatszinsen berechnen, so bestimmen wir zunächst die Jahreszinsen mithilfe von dieser Formel. Für Monatszinsen berechnen wir den Anteil dann mit einem Bruch mit dem Nenner 12. Für die Tageszinsen setzen wir 360 in den Nenner. So, die Socken sind nun bei der Bank. Oh, damit lassen sich einige Finanzlöcher stopfen.
Jahres-, Monats-, Tageszinsen Übung
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Beschreibe das Bestimmen von Tageszinsen.
TippsUm die Tageszinsen zu bestimmen, ist es hilfreich, zunächst die Zinsen für ein ganzes Jahr zu bestimmen. Daraus kannst du dann die Zinsen pro Tag oder pro Monat berechnen.
In der Zinsrechnung wird immer von einem Jahr mit $360$ Tagen ausgegangen. Ein Monat besteht in der Zinsrechnung immer aus $30$ Tagen.
LösungSo kannst du den Lückentext vervollständigen:
„Zunächst bestimmen wir die Jahreszinsen. Dafür verwenden wir folgende Formel:
$Z=p\% \cdot K$
Hier erhalten wir:
$Z=0,\!015 \cdot 328\,€ = 4,\!92\,€$“
- Um die Tageszinsen zu bestimmen, ist es hilfreich, zunächst die Zinsen für ein ganzes Jahr zu bestimmen. Daraus kannst du dann die Zinsen pro Tag berechnen.
$1$ Tag: $\frac{1}{360} \cdot 4,\!92\,€= 0,\!014\,€$“
- Indem du die Jahreszinsen durch $360$ teilst, kannst du die Zinsen pro Tag berechnen.
$15$ Tage: $\frac{15}{360} \cdot 4,\!92\,€= 0,\!21\,€$“
- Du kannst auch die Zinsen für eine beliebige Anzahl an Tagen berechnen, indem du die Zinsen für einen Tag mit der Anzahl der Tage multiplizierst.
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Bestimme die Monatszinsen einer Geldanlage.
TippsDa ein Jahr $12$ Monate hat, kannst du die Monatszinsen bestimmen, indem du die Jahreszinsen durch $12$ teilst.
Achtung: Hier tritt ein Rundungsfehler auf. Die beiden berechneten Werte für die Monatszinsen sind nicht gleich.
LösungSo kannst du die Lücken füllen:
„Die Jahreszinsen für diese Geldanlage betragen $4,\!92\,€$. Möchte sie daraus die Monatszinsen berechnen, muss sie diesen Betrag durch $12$ teilen. So erhält sie:
$1$ Monat: $4,\!92\,€ \cdot \frac{1}{12}=0,\!41\,€$“
- Da ein Jahr $12$ Monate hat, kannst du die Monatszinsen bestimmen, indem du die Jahreszinsen durch $12$ teilst.
- Die Zinsen für zwei Monate erhältst du, indem du die Formel für einen Monat mit $2$ multiplizierst.
„Die Tageszinsen für diese Geldanlage betragen gerundet $0,\!014\,€$. Daraus kann sie ebenfalls die Monatszinsen bestimmen, indem sie mit $30$ multipliziert. Berechnet sie die Monatszinsen so, erhält sie:
$1$ Monat: $0,\!014\,€ \cdot 30=0,\!42\,€$“
- Du kannst die Monatszinsen entweder aus den Jahres-, oder aus den Tageszinsen bestimmen. Die unterschiedlichen Ergebnisse stammen aus einem Rundungsfehler.
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Ermittle die Zinsen für die jeweiligen Zeiträume.
TippsDu kannst die jeweiligen Zinsen bestimmen, indem du die Formel für die Jahreszinsen mit den jeweiligen anteiligen Zeiträumen multiplizierst. Für eine bestimmte Anzahl an Monaten teilst du die Jahreszinsen durch $12$ und multiplizierst mit der Anzahl der Monate.
Legst du beispielsweise ein Kapital $K=100\,€$ bei $p\%=5\,\%$ für $4$ Monate an, rechnest du zunächst die Zinsen für ein Jahr aus:
$Z=100\,€ \cdot 0,\!05 =5\,€$
Anschließend kannst du den Dreisatz benutzen, um die Zinsen für $4$ Monate zu berechnen:
$\begin{array}{llll} 5\,€ &\widehat{=}& 12 ~\text{Monate} &\vert :12 \\ 0,\!42\,€ & \widehat{=}& 1 ~\text{Monat} &\vert \cdot 4 \\ 1,\!68\,€ & \widehat{=}& 4 ~\text{Monate} &\\ \end{array}$
Bei der Benutzung des Dreisatzes kann es auch zu Rundungsfehlern kommen.
LösungDu kannst die jeweiligen Zinsen bestimmen, indem du die Formel für die Jahreszinsen mit den jeweiligen anteiligen Zeiträumen multiplizierst. Für eine bestimmte Anzahl an Monaten teilst du die Jahreszinsen durch $12$ und multiplizierst mit der Anzahl der Monate. So erhältst du
für $K=250\,€$, $p\%=2\,\%$ und $2$ Monate.Du kannst hier auch wieder den Dreisatz anwenden, nachdem du die Jahreszinsen berechnet hast.
- $Z=250\,€ \cdot 0,\!02 =5\,€~\text{(pro Jahr)}$
Ein Nachteil ist hierbei jedoch, dass sich schnell Rundungsfehler einschleichen können. Stattdessen kannst du auch ohne Zwischenergebnis rechnen:
- $Z=250\,€ \cdot 0,\!02 \cdot \frac{2}{12}=0,\!83\,€$
- $Z=400\,€ \cdot 0,\!035 \cdot \frac{3}{12}=3,\!50\,€$
- $Z=300\,€ \cdot 0,\!03 \cdot \frac{45}{360}=0,\!75\,€$
- $Z=500\,€ \cdot 0,\!02 \cdot \frac{78}{360}=2,\!17\,€$
-
Wende die Zinsrechnungsformeln an.
TippsDu kannst die jeweiligen Zinsen bestimmen, indem du zuerst Kapital, Prozentwert und den jeweiligen Zeitraum identifizierst.
Anschließend setzt du diese Werte in die Formel für die anteiligen Zinsen ein. So erhältst du für $K=100\,€$, $p\%=1\,\%$ und $10$ Tage:
- $Z=100\,€ \cdot 0,\!01 \cdot \frac{10}{360}$
LösungDu kannst die jeweiligen Zinsen bestimmen, indem du zuerst Kapital, Prozentwert und den jeweiligen Zeitraum identifizierst. Anschließend setzt du diese Werte in die Formel für die anteiligen Zinsen ein. So erhältst du für $K=1\,500\,€$, $p\%=3\,\%$ und $49$ Tage:
- $Z=1\,500\,€ \cdot 0,\!03 \cdot \frac{49}{360}=6,\!13\,€$
Für $K=2\,000\,€$, $p\%=6\,\%$ und $4$ Monate:
- $Z=2\,000\,€ \cdot 0,\!06 \cdot \frac{4}{12}=40\,€$
- $Z=1\,000\,€ \cdot 0,\!02 \cdot \frac{1}{12}= 1,\!67\,€$
Für $K=3\,000\,€$, $p\%=3\,\%$ und $3$ Monate:
- $Z=3\,000\,€ \cdot 0,\!03 \cdot \frac{3}{12}=22,\!5\,€$
-
Beschreibe Tages-, Monats- und Jahreszinsen.
TippsIn der Zinsrechnung hat ein Jahr $12$ Monate, die jeweils $30$ Tage haben.
Möchtest du aus den Tageszinsen Monatszinsen bestimmen, kannst du die Tageszinsen mit $30$ multiplizieren.
LösungDiese Aussagen sind falsch:
„In der Zinsrechnung hat ein Jahr immer $365$ Tage.“
- In der Zinsrechnung nimmt man an, dass ein Jahr genau $360$ Tage hat. Damit vereinfachen sich alle Rechnungen.
- Du kannst auch die Zinsen für mehrere Tage bestimmen, indem du zuerst die Zinsen für einen Tag bestimmst und diesen Wert anschließend mit der Anzahl der Tage, für die du die Zinsen berechnen möchtest, multiplizierst.
„Jahreszinsen werden für ein ganzes Jahr angegeben.“
„Um aus den Jahreszinsen die Monatszinsen zu berechnen, musst du die Jahreszinsen durch $12$ teilen.“
- Da ein Jahr $12$ Monate hat, kannst du so die Monatszinsen bestimmen.
- Da ein Jahr in der Zinsrechnung $360$ Tage hat, kannst du Tageszinsen berechnen, indem du die Jahreszinsen durch $360$ teilst.
-
Ermittle das Endkapital.
TippsUm die Aufgaben zu lösen, musst du dir die Aufgabenstellung genau durchlesen. Teilweise sind hier Informationen gegeben, die dich nur verwirren sollen und nicht für die Lösung notwendig sind.
Möchtest du bestimmen, wie viel Geld du nach einer Verzinsung auf dem Konto hast, musst du das Anfangskapital $K$ zu den erhaltenen Zinsen $Z$ addieren.
LösungUm die Aufgaben zu lösen, musst du dir genau die Aufgabenstellung durchlesen. Teilweise sind hier Informationen gegeben, die dich nur verwirren sollen und nicht für die Lösung notwendig sind.
Möchtest du bestimmen, wie viel Geld du nach einer Verzinsung auf dem Konto hast, musst du das Anfangskapital $K$ zu den erhaltenen Zinsen $Z$ addieren. Wir betrachten die Angebote mithilfe der Formeln der Zinsrechnung.
Diese Aussagen sind falsch:
„Legt sie $500\,€$ zu einem Zinssatz von $3\,\%$ an, hat sie nach $6$ Monaten $503\,€$ auf dem Konto.“
- Hier rechnest du: $Z=500\,€ \cdot 0,\!03 \cdot \frac{6}{12}=7,\!5\,€$. Also hat sie $K+Z=500\,€+7,\!5\,€=507,\!5\,€$ auf dem Konto.
- Wenn sie ihr Geld für drei Monate verleiht, hat sie nach einem Monat $0\,€$ auf dem Konto. Das Geld inklusive Zinsen wird erst zwei Monate später zurückgezahlt.
„Nachdem sie ein Jahr gespart hat, legt sie die Hälfte von ihren $1\,500\,€$ für $123$ Tage an. Der Zinssatz liegt bei $2,\!5\,\%$. Nach den $123$ Tagen hat sie $756,\!41\,€$ auf dem Konto.“
- Lass dich nicht von den unwichtigen Informationen ablenken. Es gilt: $K=750\,€$ und $p\%=2,\!5\,\%$. Das Geld wird für $123$ Tage angelegt. Also erhalten wir: $Z=750\,€ \cdot 0,\!025 \cdot \frac{123}{360}=6,\!4\,€$. Also hat sie $K+Z=750\,€+6,\!4\,€=756,\!4\,€$ auf dem Konto.
- Hier rechnen wir: $Z=1\,000\,€ \cdot 0,\!04 \cdot \frac{3}{12}=10\,€$. Also hat sie $K+Z=1\,000\,€+10\,€=1\,010\,€$ auf dem Konto.
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habs geschnallt danke und wie viel Geld hatte diese Oma die muss doch ein Miliatär sein oder so
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