Zinsrechnung
Die Zinsrechnung lernst du in der Mittelstufe kennen. Sie ähnelt stark der Prozentrechnung, welche du bereits kennst. Kapital, Zinsen und Zinssatz sind zentrale Begriffe in der Zinsrechnung.
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30 Tage kostenlos testenInhaltsverzeichnis zum Thema
- Wiederholung: Prozentrechnung
- Zinsrechnung: Begriffe und Formel
- Beispiele zur Zinsrechnung
- Kredit und Tilgung
Wiederholung: Prozentrechnung
Die Zinsrechnung hat große Ähnlichkeit mit der Prozentrechnung, welche du bereits kennst. Aus der Prozentrechnung sind dir folgende Begriffe und Formelzeichen bekannt:
- Grundwert
- Prozentwert
- Prozentsatz
ist die Prozentzahl. Die Formel für die Prozentrechnung lautet wie folgt:
Diese Formel kannst du mittels Äquivalenzumformungen nach der Größe, die du berechnen möchtest, umstellen.
Zinsrechnung: Begriffe und Formel
In der Zinsrechnung geht es darum, beim Geld auf deinem Sparbuch die Zinsen zu berechnen. Wichtig sind auch die Zinsen, die du der Bank zahlen musst, wenn du dir dort Geld leihst.
Du rechnest ebenso wie bei der Prozentrechnung. Da das Rechnen mit Geld aber aus einem finanzwirtschaftlichen Bereich kommt, werden hier andere Begriffe verwendet. Diese lauten wie folgt:
- Der Grundwert aus der Prozentrechnung ist das Kapital oder das Guthaben oder ein Kredit.
- Der Prozentwert wird in der Zinsrechnung als Zinsen bezeichnet.
- Der Prozentsatz entspricht dem Zinssatz . Der Zinssatz wird meist „pro Jahr“ angegeben. Dies erkennst du an „ p.a.“. „p.a.“ steht für „per annum“, also „pro Jahr“.
Legt man Geld für ein Jahr an, so kann man die Zinsen, die man nach einem Jahr erhält, mit folgender Formel berechnen:
Beachte, dass in dieser Formel nicht , sondern verwendet wird. Der Umrechnungsfaktor steht deshalb noch im Nenner.
Beispiele zur Zinsrechnung
Damit du nun auch mit deinem Geld vernünftige Zinsen bekommen kannst, schauen wir uns nun noch ein Paar Beispiele an.
Berechnung von Zinsen
Lisa legt ein Kapital an. Der Zinssatz beträgt p.a., das bedeutet: . Die Zinsen für ein ganzes Jahr kann man nun mit der Formel zur Zinsrechnung berechnen.
Zinsen für ein Jahr
Lisa erhält also nach einem Jahr Zinsen. Man kann mit diesen Zinsen auch berechnen, wie viel Zinsen Lisa pro Monat oder pro Tag erhält. Die Rechnungen hierzu sehen wie folgt aus:
Zinsen pro Monat
Hierfür werden die Zinsen durch dividiert.
Zinsen pro Tag
Hierfür dividierst du die Zinsen durch , denn die Bank rechnet mit Tagen pro Jahr.
Lisa erhält also monatlich und täglich Zinsen.
Zins und Zinseszins
Lisa hat für bei einem Zinssatz von Zinsen in Höhe von erhalten. Diese Zinsen kommen zu dem Kapital dazu. Das bedeutet, dass Lisa nach einem Jahr bereits hat. Auch dieses Kapital kann sie wieder zu (also ) anlegen. So erhält sie folgende Zinsen:
Diese Zinsen werden also mit dem Ausgangskapital und den darauf erhaltenen Zinsen berechnet. Dies nennt man Zinseszins.
Das Kapital nach zwei Jahren beträgt dann .
Für Rechnungen mit Zinseszins verwendet man in der Regel folgende Formel:
Hierbei ist das Kapital nach der Verzinsung über Jahre. ist das Kapital vor der Verzinsung, also das Anfangskapital. Für das obige Beispiel ist , und , sodass folgende Rechnung folgt:
Dieses Ergebnis stimmt mit dem Ergebnis der ersten Rechnung überein.
Berechnung des Kapitals
Paul überlegt sich, wie viel Geld er zu dem Zinssatz , also anlegen muss, damit er erhält. Es ist also das Kapital gesucht. Hier kannst du die Formel wie folgt umstellen:
Die bekannten Größen für sowie werden nun wie folgt eingesetzt:
Paul müsste also anlegen, um bei einem Zinssatz von Zinsen in Höhe von zu erhalten.
Berechnung des Zinssatzes
Luke hat , die er so anlegen will, dass er Zinsen erhält. Dieses Mal ist nach dem Zinssatz gefragt. Du stellst die Formel wie folgt um:
Auch hier werden die bekannten Größen eingesetzt und man erhält:
Luke müsste sein Kapital zu anlegen, um die gewünschten Zinsen zu erhalten.
Kredit und Tilgung
Du kannst nicht nur Kapital anlegen und dafür Zinsen von der Bank bekommen. Umgekehrt kannst du dir auch Geld von der Bank leihen. Zum Beispiel, wenn du dir ein neues Fahrrad kaufen willst und dafür benötigst.
Du nimmst also einen Kredit bei der Bank auf. Die Bank gibt dir das Geld allerdings nicht einfach so. Sie möchte das Geld von dir zurückbekommen und verlangt auch Zinsen, zum Beispiel . Auch diese Zinsen werden pro Jahr berechnet.
Du überlegst dir, dass du pro Monat eine Rate von zurückzahlen könntest. Wie lange musst du dann an die Bank Geld zurückzahlen? Du kannst dies Monat für Monat rechnen:
monatlichen Zinsen
Das bedeutet, dass in dem ersten Monat die folgenden Zinsen anfallen:
Diese deiner Rate fallen für die Zinsen an. Der Rest dient zur Tilgung des Kredites. Merke dir:
Nach einem Monat hast du also noch Schulden bei der Bank. Auch diese werden wieder verzinst:
Nach zwei Monaten betragen deine Schulden noch . Diese werden wieder verzinst:
Damit beträgt deine letzte Rate
Du hast also bei zwei Monatsraten in Höhe von und einer Abschlussrate in Höhe von deinen Kredit nach drei Monaten abbezahlt.
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