Zinsrechnung (Übung)

Lösungsweg:

Formel für Zinsen: $Z = K \cdot p\%$

Prozentsatz als Dezimalzahl schreiben: $p\% = 5\,\% = \dfrac{5}{100} = 0{,}05$

Werte einsetzen und berechnen: $Z = 400 \cdot 0{,}05 = 20$

Antwort:
Die Zinsen betragen $20$ Euro.

Lösungsweg:

Formel für Zinsen: $Z = K \cdot p\%$

Prozentsatz als Dezimalzahl schreiben: $p\% = 3\,\% = \dfrac{3}{100} = 0{,}03$

Werte einsetzen und berechnen: $Z = 750 \cdot 0{,}03 = 22{,}50$

Antwort:
Die Zinsen betragen $22{,}50$ Euro.

Lösungsweg:

Formel für Zinsen: $Z = K \cdot p\%$

Prozentsatz als Dezimalzahl schreiben: $p\% = 4\,\% = \dfrac{4}{100} = 0{,}04$

Werte einsetzen und berechnen: $Z = 600 \cdot 0{,}04 = 24$

Antwort:
Die Zinsen betragen $24$ Euro.

Lösungsweg:

Formel für Kapital: $K = \dfrac{Z}{p\%}$

Prozentsatz als Dezimalzahl schreiben: $p\% = 4\,\% = \dfrac{4}{100} = 0{,}04$

Werte einsetzen und berechnen: $K = \dfrac{20}{0{,}04} = 500$

Antwort:
Es waren $500$ Euro angelegt.

Lösungsweg:

Formel für Kapital: $K = \dfrac{Z}{p\%}$

Prozentsatz als Dezimalzahl schreiben: $p\% = 3\,\% = \dfrac{3}{100} = 0{,}03$

Werte einsetzen und berechnen: $K = \dfrac{30}{0{,}03} = 1\,000$

Antwort:
Das angelegte Kapital beträgt $1\,000$ Euro.

Lösungsweg:

Formel für Kapital: $K = \dfrac{Z}{p\%}$

Prozentsatz als Dezimalzahl schreiben: $p\% = 2{,}5\,\% = \dfrac{25}{1000} = 0{,}025$

Werte einsetzen und berechnen: $K = \dfrac{15}{0{,}025} = 600$

Antwort:
Das eingesetzte Kapital beträgt $600$ Euro.

Lösungsweg:

Formel für Zinssatz: $p\% = \dfrac{Z}{K}$

Werte einsetzen und berechnen: $p\% = \dfrac{25}{500} = 0{,}05 = 5\,\%$

Antwort:
Der Zinssatz beträgt $5 \, \%$.

Lösungsweg:

Formel für Zinssatz: $p\% = \dfrac{Z}{K}$

Werte einsetzen und berechnen: $p\% = \dfrac{32}{800} = 0{,}04 = 4\,\%$

Antwort:
Der Zinssatz beträgt $4 \, \%$.

Lösungsweg:

Formel für Zinssatz: $p\% = \dfrac{Z}{K}$

Werte einsetzen und berechnen: $p\% = \dfrac{18}{1\,200} = 0{,}015 = 1{,}5\,\%$

Antwort:
Der Zinssatz beträgt $1{,}5 \, \%$.

Lösungsweg:

Formel für Zinsen: $Z = K \cdot p\%$

Prozentsatz als Dezimalzahl schreiben: $p\% = 3\,\% = \dfrac{3}{100} = 0{,}03$

Werte einsetzen und berechnen: $Z = 400 \cdot 0{,}03 = 12$

Endkapital berechnen: $K_{\text{End}} = K + Z = 400 + 12 = 412$

Antwort:
Die Zinsen betragen $12$ Euro und das Endkapital beträgt $412$ Euro.

Lösungsweg:
Zinsen für ein halbes Jahr berechnen: $Z = K \cdot p\% \cdot \frac{1}{2}$

Prozentsatz als Dezimalzahl schreiben: $p\% = 4\,\% = \dfrac{4}{100} = 0{,}04$

Werte einsetzen und berechnen: $Z = 500 \cdot 0{,}04 \cdot \frac{1}{2} = 10$

Antwort:
Die Zinsen für ein halbes Jahr betragen $10$ Euro.

Lösungsweg:
Zinsen für Monate berechnen: $Z = K \cdot p\% \cdot \dfrac{m}{12}$

Prozentsatz als Dezimalzahl schreiben: $p\% = 6\,\% = \dfrac{6}{100} = 0{,}06$

Werte einsetzen und berechnen: $Z = 1\,000 \cdot 0{,}06 \cdot \dfrac{3}{12} = 15$

Antwort:
Die Zinsen für $3$ Monate betragen $15$ Euro.

Lösungsweg:
Zinsen für Monate berechnen: $Z = K \cdot p\% \cdot \dfrac{m}{12}$

Prozentsatz als Dezimalzahl schreiben: $p\% = 5\,\% = \dfrac{5}{100} = 0{,}05$

Werte einsetzen und berechnen: $Z = 900 \cdot 0{,}05 \cdot \dfrac{4}{12} = 15$

Antwort:
Die Zinsen für $4$ Monate betragen $15$ Euro.

Lösungsweg:
Zinsen für Monate berechnen: $Z = K \cdot p\% \cdot \dfrac{m}{12}$

Prozentsatz als Dezimalzahl schreiben: $p\% = 3\,\% = \dfrac{3}{100} = 0{,}03$

Werte einsetzen und berechnen: $Z = 6\,000 \cdot 0{,}03 \cdot \dfrac{2}{12} = 30$

Antwort:
Die Zinsen für $2$ Monate betragen $30$ Euro.

Lösungsweg:
Zinsen für Tage berechnen: $Z = K \cdot p\% \cdot \dfrac{t}{360}$

Prozentsatz als Dezimalzahl schreiben: $p\% = 4{,}5\,\% = \dfrac{4{,}5}{100} = 0{,}045$

Werte einsetzen und berechnen: $Z = 700 \cdot 0{,}045 \cdot \dfrac{20}{360} = 1{,}75$

Antwort:
Die Zinsen für $20$ Tage betragen etwa $1{,}75$ Euro.

Lösungsweg:
Zinsen für Monate berechnen: $Z = K \cdot p\% \cdot \dfrac{m}{12}$

Prozentsatz als Dezimalzahl schreiben: $p\% = 5\,\% = \dfrac{5}{100} = 0{,}05$

Werte einsetzen und berechnen: $Z = 1\,500 \cdot 0{,}05 \cdot \dfrac{6}{12} = 37{,}50$

Antwort:
Die Zinsen für $6$ Monate betragen $37{,}50$ Euro.

Lösungsweg:
Zinsen für Tage berechnen: $Z = K \cdot p\% \cdot \dfrac{t}{360}$

Prozentsatz als Dezimalzahl schreiben: $p\% = 2\,\% = \dfrac{2}{100} = 0{,}02$

Werte einsetzen und berechnen: $Z = 1\,200 \cdot 0{,}02 \cdot \dfrac{45}{360} = 3$

Antwort:
Die Zinsen für $45$ Tage betragen $3$ Euro.

Lösungsweg:
Zinsen für Monate berechnen: $Z = K \cdot p\% \cdot \dfrac{m}{12}$

Prozentsatz als Dezimalzahl schreiben: $p\% = 3{,}5\,\% = \dfrac{3{,}5}{100} = 0{,}035$

Werte einsetzen und berechnen: $Z = 2\,000 \cdot 0{,}035 \cdot \dfrac{9}{12} = 52{,}50$

Antwort:
Die Zinsen für $9$ Monate betragen $52{,}50$ Euro.

Lösungsweg:
Zinsen für Tage berechnen: $Z = K \cdot p\% \cdot \dfrac{t}{360}$

Prozentsatz als Dezimalzahl schreiben: $p\% = 6\,\% = \dfrac{6}{100} = 0{,}06$

Werte einsetzen und berechnen: $Z = 90\,000 \cdot 0{,}06 \cdot \dfrac{120}{360} = 1\,800$

Antwort:
Die Zinsen für $120$ Tage betragen etwa $1\,800$ Euro.

Lösungsweg:
Zinsen für Monate berechnen: $Z = K \cdot p\% \cdot \dfrac{m}{12}$

Prozentsatz als Dezimalzahl schreiben: $p\% = 5\,\% = \dfrac{5}{100} = 0{,}05$

Werte einsetzen und berechnen: $Z = 1\,800 \cdot 0{,}05 \cdot \dfrac{8}{12} = 60$

Antwort:
Die Zinsen für $8$ Monate betragen $60$ Euro.

1. Jahr:
Zinsen berechnen: $Z = 500 \cdot 0{,}04 = 20$
Kapital am Ende des 1. Jahres: $500 + 20 = 520$

2. Jahr:
Zinsen berechnen: $Z = 520 \cdot 0{,}04 = 20{,}80$
Kapital am Ende des 2. Jahres: $520 + 20{,}80 = 540{,}80$

3. Jahr:
Zinsen berechnen: $Z = 540{,}80 \cdot 0{,}04 \approx 21{,}63$
Kapital am Ende des 3. Jahres: $540{,}80 + 21{,}63 = 562{,}43$

Antwort:
Das Endkapital nach $3$ Jahren beträgt $562{,}43$ Euro.

1. Jahr:
Zinsen berechnen: $Z = 1\,000 \cdot 0{,}05 = 50$
Kapital am Ende des 1. Jahres: $1\,000 + 50 = 1\,050$

2. Jahr:
Zinsen berechnen: $Z = 1\,050 \cdot 0{,}05 = 52{,}50$
Kapital am Ende des 2. Jahres: $1\,050 + 52{,}50 = 1\,102{,}50$

3. Jahr:
Zinsen berechnen: $Z = 1\,102{,}50 \cdot 0{,}05 \approx 55{,}13$
Kapital am Ende des 3. Jahres: $1\,102{,}50 + 55{,}13 = 1\,157{,}63$

4. Jahr:
Zinsen berechnen: $Z = 1\,157{,}63 \cdot 0{,}05 \approx 57{,}88$
Kapital am Ende des 4. Jahres: $1\,157{,}63 + 57{,}88 = 1\,215{,}51$

Antwort:
Das Endkapital nach $4$ Jahren beträgt $1\,215{,}51$ Euro.

1. Jahr:
Zinsen berechnen: $Z = 800 \cdot 0{,}03 = 24$
Kapital am Ende des 1. Jahres: $800 + 24 = 824$

2. Jahr:
Zinsen berechnen: $Z = 824 \cdot 0{,}03 = 24{,}72$
Kapital am Ende des 2. Jahres: $824 + 24{,}72 = 848{,}72$

Zusätzliche 10 Monate:
Zinsen für $10$ Monate berechnen: $Z = 848{,}72 \cdot 0{,}03 \cdot \frac{10}{12} \approx 21{,}22$
Kapital am Ende des gesamten Zeitraums: $848{,}72 + 21{,}22 = 869{,}94$

Antwort:
Das Endkapital nach $2$ Jahren und $10$ Monaten beträgt $869{,}94$ Euro.

1. Jahr:
Zinsen berechnen: $Z = 1\,500 \cdot 0{,}04 = 60$
Kapital am Ende des 1. Jahres: $1\,500 + 60 = 1\,560$

Zusätzliche Zeit:
Zeitraum in Tagen berechnen: $5$ Monate $= 5 \cdot 30$ Tage $= 150$ Tage
Insgesamt: $150 + 20$ Tage $= 170$ Tage
Zinsen für $170$ Tage berechnen: $Z = 1\,560 \cdot 0{,}04 \cdot \frac{150}{360} = 26$
Kapital am Ende des gesamten Zeitraums: $1\,560 + 26 = 1\,586$

Antwort:
Das Endkapital nach $1$ Jahr, $5$ Monaten und $20$ Tagen beträgt $1\,586$ Euro.

a) Berechnung des Kapitals nach $3$ Jahren Ausgangssituation:
- Startkapital: $3\,000$ Euro
- Zinssatz: $5{,}2 \, \%$
- Zeitraum: drei Jahre

1. Jahr:
Zinsen berechnen: $Z = 3\,000 \cdot 0{,}052 = 156$
Kapital am Ende des 1. Jahres: $3\,000 + 156 = 3\,156$

2. Jahr:
Zinsen berechnen: $Z = 3\,156 \cdot 0{,}052 \approx 164$
Kapital am Ende des 2. Jahres: $3\,156 + 164 = 3\,320$

3. Jahr:
Zinsen berechnen: $Z = 3\,320 \cdot 0{,}052 \approx 173$
Kapital am Ende des 3. Jahres: $3\,320 + 173 = 3\,493$

Antwort a):
Das Geld reicht nicht. Nach drei Jahren hat Antje mit $3\,493$ Euro weniger als die nötigen $3\,500$ Euro.

b) Berechnung des Kapitals mit Geld von den Großeltern Ausgangssituation:
- Startkapital: $3\,000$ Euro, zusätzlich $400$ nach einem Jahr
- Zinssatz: $5{,}2 \, \%$
- Zeitraum: drei Jahre

1. Jahr:
Zinsen berechnen: $Z = 3\,000 \cdot 0{,}052 = 156$
Kapital am Ende des 1. Jahres: $3\,000 + 156 + 400 = 3\,556$
Die Zinsen und das Geld von den Großeltern kommen hinzu.

2. Jahr:
Zinsen berechnen: $Z = 3\,556 \cdot 0{,}052 \approx 185$
Kapital am Ende des 2. Jahres: $3\,556 + 185 = 3\,741$

3. Jahr:
Zinsen berechnen: $Z = 3\,741 \cdot 0{,}052 \approx 195$
Kapital am Ende des 3. Jahres: $3\,741 + 195 = 3\,936$

Antwort b):
Antje hat nach drei Jahren $3\,936$ Euro für die Reise.

c) Berechnung der benötigten Zeit Ausgangssituation:
- Startkapital: $1\,000$ Euro, zusätzlich $600$ pro Jahr
- Zinssatz: $8 \, \%$

1. Jahr:
Zinsen berechnen: $Z = 1\,000 \cdot 0{,}08 = 80$
Kapital am Ende des 1. Jahres: $1\,000 + 80 + 600 = 1\,680$
Die Zinsen und das gesparte Geld kommen hinzu.

2. Jahr:
Zinsen berechnen: $Z = 1\,680 \cdot 0{,}08 \approx 134$
Kapital am Ende des 2. Jahres: $1\,680 + 134 + 600 = 2\,414$

3. Jahr:
Zinsen berechnen: $Z = 2\,414 \cdot 0{,}08 \approx 193$
Kapital am Ende des 3. Jahres: $2\,414 + 193 + 600 = 3\,207$

4. Jahr:
Zinsen berechnen: $Z = 3\,207 \cdot 0{,}08 \approx 257$
Kapital am Ende des 4. Jahres: $3\,207 + 257 + 600 = 4\,064$

Antwort c):
Antje muss vier Jahre lang sparen, bis sie genügend Geld für die Reise hat.

Angebot A: fester Zinssatz von $4{,}5 \, \%$ jährlich
1.$~$Jahr:
$K = 20\,000$
Zinsen: $20\,000 \cdot 0{,}045 = 900$
Kapital am Ende des 1. Jahres: $20\,000 + 900 = 20\,900$

2.$~$Jahr:
$K = 20\,900$
Zinsen: $20\,900 \cdot 0{,}045 = 940{,}50$
Kapital am Ende des 2. Jahres: $20\,900 + 940{,}50 = 21\,840{,}50$

Angebot B: variabler Zinssatz von $6 \, \%$ im ersten Jahr und $3 \, \%$ im zweiten Jahr
1.$~$Jahr:
$K = 20\,000$
Zinsen: $20\,000 \cdot 0{,}06 = 1\,200$
Kapital am Ende des 1. Jahres: $20\,000 + 1\,200 = 21\,200$

2.$~$Jahr:
$K = 21\,200$
Zinsen: $21\,200 \cdot 0{,}03 = 636$
Kapital am Ende des 2. Jahres: $21\,200 + 636 = 21\,836$

Antwort:
Angebot A ist besser, da es nach $2$ Jahren $21\,840{,}50$ Euro ergibt, während Angebot B nur $21\,836$ Euro bringt.