Kredit und Tilgung

Kredit und Tilgung Übung

• Fasse dein Wissen über Zinsrechnung zusammen.

  Tipps

  Zinsen werden in % angegeben und man bezahlt mehr Zinsen, je länger man den Kredit zurückbezahlen muss.

  Was ist die Grundlage der Zinsrechnung?

  Weshalb bezahlt man die Raten? Was begleicht man damit? Und was ist in den Raten alles enthalten?

  Lösung

  „Zinsrechnung ist die Anwendung der Prozentrechnung auf das Geldwesen unter Beachtung der Zeit. Wenn von einer Bank ein Geldbetrag verliehen wird, spricht man von einem Kredit oder Darlehen.“

  Wenn man sich von einer Bank Geld leiht, zahlt man darauf Zinsen. Diese sind eine Art Gebühr dafür, dass die Bank dir das Geld für eine gewisse Zeit zur Verfügung stellt. Zinsen werden in Prozent angegeben. Meist ist dies der Betrag, den man pro Jahr zusätzlich bezahlen muss. Hast du zum Beispiel einen Kredit über $100~€$ bei $4~\%$, den du $1$ Jahr nicht abbezahlst, so kommen zu den $100~€$ zusätzlich $4~€$, also $4~\%$ von $100~€$, dazu.

  „Je nach gegebenen Größen können die Ratenhöhe, die Laufzeit, die Zinsen oder die Tilgung berechnet werden.“

  Wenn du beispielsweise die Darlehenshöhe $K$ und den Zinssatz $p$ (pro Jahr) kennst und zusätzlich weißt, wie lange das Darlehen laufen soll ($n$ Monate), kannst du mithilfe $R = K \cdot q^n \cdot \frac{q - 1}{q^n -1 }$ die monatliche Rate ausrechnen – diese setzt sich aus Tilgung und monatlichen Zinsen zusammen. Dabei ist $q$ der Zinsfaktor $1 + \frac{p}{100 \cdot 12}$ .

  Beispiel: Ein Kredit über $K = 2000~€$ mit einem Jahreszinssatz von $p = 10~\%$ soll in $3$ Jahren, also in $n = 3 \cdot 12 = 36$ Monaten, abbezahlt werden. Dann berechnet sich der Zinsfaktor zu $q = 1 + \frac{p}{100 \cdot 12} = 1 + \frac{10}{100 \cdot 12} \approx 1,00833$. Dann sind die monatlichen Raten gemäß der Formel oben:

  $R = K \cdot q^n \cdot \frac{q - 1}{q^n -1 } = 2000~€ \cdot 1,00833^{36} \cdot \frac{1,00833 - 1}{1,00833^{36} -1 } \approx 64,53~€$

• Berechne Raten, Zinsen, Tilgung und Restschuld der ersten drei Monate.

  Tipps

  Überlege dir zunächst, welche Formeln du verwenden solltest.

  Wie lautet der Zusammenhang zwischen Prozentsatz, Kapital, Monatszinsen und der Laufzeit in Monaten?

  Möchtest du die Zinsen für t Monate berechnen, verwendest du die Formel:

  Z = $\frac{p \cdot K}{100} \cdot \frac{t}{12}$.

  Die Rate setzt sich aus den Zinsen und der Tilgung zusammen.

  Wie hängen die Höhe der Tilgung, die alte und die neue Restschuld zusammen?

  Lösung

  Gegeben: K = 1000 €, p % = 4 %, t = 1 (1 Monat), monatliche Rate = 336 €

  Gesucht: Z in €, Tilgung in €, Restschuld in €

  Lösungsweg für den ersten Monat:

  Die Berechnung der Zinsen:

  Die Zinsen für einen Monat berechnest du mit der Formel: Z = $\frac{p \cdot K}{100} \cdot \frac{t}{12}$. Setzt du die gegebenen Werte ein, so ergibt sich:

  $\begin{array}{lll} Z &=& \dfrac{p \cdot K}{100} \cdot \dfrac{t}{12} \\ \\ &=& \dfrac{4 \cdot 1000~€}{100} \cdot \dfrac{1}{12} \\ \\ &=& 40~€ \cdot \dfrac{1}{12} \\ \\ &\approx & 3,33~€ \end{array}$

  Berechnung der Tilgung:

  Die monatliche Rate setzt sich aus den Zinsen und der Tilgung zusammen. Es gilt also:

  monatl. Rate = Zinsen + Tilgung.

  Umgestellt nach der Tilgung ergibt das:

  $\begin{array}{lll} \text{Tilgung} &=& \text{monatl. Rate} - \text{Zinsen} \\ &=& 336~€ - 3,33~€ \\ &=& 332,67~€ \end{array}$

  Berechnung der Restschuld:

  Es gilt:

  neue Restschuld = alte Restschuld - Tilgung.

  Da dies die erste Monatsrate ist, entspricht die alte Restschuld der Höhe des Kredites. Es folgt also:

  $\begin{array}{lll} \text{neue Restschuld} &=& K - \text{Tilgung} \\ &=& 1000~€ - 332,67~€ \\ &=& 667,33~€ \end{array}$

  Antwortsatz: Die erste Monatsrate setzt sich aus 3,33 € Zinsen und 332,67 € Tilgung zusammen. Die Restschuld nach der ersten Rate beträgt 667,33 €.

  Der Lösungsweg für die beiden folgenden Monate ist analog.

  Ergebnisse für Monat 2:

  Zinsen: 2,22 €

  Tilgung: 333,78 €

  Restschuld: 333,55 €

  Ergebnisse für Monat 3:

  Zinsen: 1,11 €

  Tilgung: 333,55 €

  Restschuld: 0 €

  Hier musst du aufpassen, dass du die alte Restschuld komplett tilgen kannst und die letzte Rate geringer ausfällt: Die Tilgung beträgt die gesamte Restschuld aus dem zweiten Monat von 333,55 € und die Rate ergibt sich als Rate = Zinsen + Tilgung = 1,11 € + 333,55 € = 334,66 €.

• Ermittle die Höhe der Kredite von Lisa und Arndt.

  Tipps

  Du kannst die Kredithöhe $K$ herausfinden, wenn du eine Formel herleitest, in der nur $K$ unbekannt ist.

  Die Höhe der Zinsen $Z$ bei einem Zinssatz $p$, einer Kredithöhe $K$ und einer Laufzeit $t$ in Jahren beträgt $Z = \frac{p\cdot K}{100}\cdot t$

  Wenn du eine Formel für Lindas bzw. Arndts Zinsen gefunden hast, kannst du diese in die gegebene Formel $\DeltaZ = Z_{Arndt} - Z_{Linda} = 30~€$ einsetzen.

  In der entstehenden Formel ist nur die Größe $K$ unbekannt. Das ist auch die gesuchte Größe. Stelle die Formel danach um.

  Lösung

  Zunächst hältst du fest, was gegeben und was gesucht ist.

  Du weißt, dass bei beiden Krediten die Kredithöhe $K$ gleich ist und diese ist gesucht. Du kennst in beiden Fällen den Jahreszinssatz $p$. Weiter ist dir bekannt, dass Arndt in einem Jahr $30~€$ mehr Zinsen bezahlen muss als Linda.

  Um $K$ herauszufinden solltest du eine Gleichung aufstellen, in der nur die Größe $K$ unbekannt ist.

  Die Gleichung $Z = \frac{p \cdot K}{100}$ alleine reicht nicht aus, da du ohne einen konkreten Wert für $K$ auch nicht die Zinsen $Z$ ausrechnen kannst.

  Da Arndt $30~€$ mehr Zinsen bezahlt als Linda, gilt also $Z_{Arndt} - Z_{Linda} = 30~€$. Du kannst nun eine Gleichung herleiten, die $Z$ nicht enthält. Es gilt ja $Z_{Arndt} = \frac{p_{Arndt} \cdot K}{100} = \frac{8 \cdot K}{100}$ für Arndts Kredit und $Z_{Linda} = \frac{p_{Linda} \cdot K}{100} = \frac{6 \cdot K}{100}$ für Lindas Kredit.

  Du erhältst:

  $\Delta Z = Z_{Arndt} - Z_{Linda} = \frac{8 \cdot K}{100} - \frac{6 \cdot K}{100} = 30~€$, also:

  $\frac{8 \cdot K}{100} - \frac{6 \cdot K}{100} = 30~€$.

  In dieser Gleichung ist nur noch die gesuchte Kredithöhe $K$ enthalten. Wir erhalten das Ergebnis, wenn wir die Formel nach $K$ umstellen:

  $\begin{align*} ~~~~~~ \frac{8 \cdot K}{100} - \frac{6 \cdot K}{100} &= 30~€ \\ \Leftrightarrow ~~~~~ (8 - 6) \cdot \frac{K}{100} &= 30~€ \\ \Leftrightarrow ~~~~~~~~~~~~~~ 2 \cdot \frac{K}{100} &= 30~€ \\ \Leftrightarrow ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ K &= 30~€ \cdot \frac{100}{2} \\ ~~~~~ &= 30~€ \cdot 50 \\ ~~~~~ &= 1500~€. \end{align*}$

  Antwort: Linda und Arndt haben je einen Kredit über $1500~€$ aufgenommen.

• Bestimme die richtigen Aussagen zu Herrn Gründaums Kredit.

  Tipps

  Wie lautet die Formel, wenn monatliche Zinsen gezahlt werden müssen?

  Stelle die Zinsformel nach dem Zinssatz p um.

  Die monatlichen Raten enthalten die Tilgung und die Zinsen. Überlege dir, wie viel Herr Gründaum maximal an die Bank zahlen will und teile dies durch die Anzahl der Monatsraten.

  Lösung

  Die Zinsen, die Herr Gründaum für 10 Monate bezahlen muss, errechnen sich mithilfe der Formel:

  Z = $\frac{p \cdot K}{100} \cdot \frac{t}{12}$.

  Um herauszufinden, wie hoch der Zinssatz (p.a.) höchstens sein darf, damit Herr Gründaum maximal 300 € Zinsen bezahlt, stellen wir die Formel nach p um:

  p = Z $\cdot \frac{100}{K} \cdot \frac{12}{t}$

  Je höher der Zinssatz ist, umso mehr Zinsen muss Herr Gründaum bezahlen. Wir setzen für Z also 300 €, also den Maximalwert, den er bezahlen möchte, ein. Für K setzen wir 3600 € und für t=10 (Monate) ein:

  $\begin{align} p &= Z \cdot \frac{100}{K} \cdot \frac{12}{t} \\ &= 300€ \cdot \frac{100}{3600~€} \cdot \frac{12}{10} \\ &= 10 \end{align}$

  Herr Gründaum darf also einen Zinssatz von maximal 10 % akzeptieren, damit er maximal 300 € Zinsen bezahlt.

  Zur Höhe der monatlichen Raten: Der Kredit hat eine Höhe von 3600 € und Herr Gründaum möchte höchstens 300 € Zinsen bezahlen. Insgesamt will er der Bank also höchstens 3600 € + 300 €, also 3900 €, zurückzahlen. Da er dies in 10 Monatsraten machen will, sollte also jede Monatsrate höchstens $\frac{3900~€}{10}$, also 390 €, hoch sein.

• Definiere die Begriffe Zinsen, Tilgung, Raten und Tilgungsplan.

  Tipps

  Zinsen bezahlt man als Gegenleistung dafür, dass die Bank einem Geld leiht.

  Aus welchen Bestandteilen setzt sich eine Ratenzahlung zusammen?

  Mit den Raten bezahlt man gleichzeitig einen Teil des Kredites zurück und gibt der Bank Zinsen.

  Lösung

  Gewährt dir die Bank einen Kredit, so bezahlst du dafür eine Gebühr. Dies sind die Zinsen. Schließlich gibt dir die Bank Geld, das ihr dann erstmal nicht mehr zur Verfügung steht. Dafür möchte sie eine Gegenleistung haben.

  In einem bestimmten Intervall, meist einmal pro Monat, zahlst du der Bank einen bestimmten Geldbetrag, die sogenannte Rate. Diese enthält zum einen die Zinsen und zum anderen zahlst du einen Teil des Kredites zurück, sodass der Betrag, den du der Bank noch schuldest, immer kleiner wird. Letzteres nennt sich Tilgung.

  Der Tilgungsplan gibt dir einen Überblick über den Verlauf der Tilgung. Meist ist er in Form einer Tabelle, aus der du bei jeder Rate siehst, wie viel Zinsen und Tilgung enthalten ist und wie hoch die Restschuld dann noch ist.

• Ermittle den Ausgangszinssatz, den Anstieg des Zinssatzes in Prozentpunkten und Höhe der monatlichen Rate.

  Tipps

  Bedenke bei a), dass die Zinsen für $3$ Monate angegeben wurden.

  Die Zinsformel für $t$ Monate lautet:

  $Z = \frac{p \cdot K}{100} \cdot \frac{t}{12}$

  Wie hoch sind in b) die monatlichen Zinsen? Beachte, dass die Anzahl der Monate in a) und b) unterschiedlich sind.

  Zu c): Bei dem Zinsfaktor musst du beachten, dass Frau Koschitzky monatliche Raten bezahlt.

  Die Formel für die monatlichen Raten lautet:

  $R = K \cdot q^n \cdot \frac{q - 1}{q^n -1 }$

  Lösung

  a) Gegeben: $K = 75~000~€$, $Z = 1218,75~€$, $t = 3$ (Monate)

  Gesucht: $p$ in $\%$ p.a.

  Lösung

  $\begin{align} Z &= \frac{p \cdot K}{100} \cdot \frac{t}{12}\\ \Leftrightarrow p &= Z \cdot \frac{100}{K} \cdot \frac{12}{t} \\ &= 1~218,75~€ \cdot \frac{100}{75~000~€} \cdot \frac{12}{3} \\ &= 6,5 \end{align}$

  Antwortsatz: Der Jahreszinssatz beträgt $6,5~\%$.

  b) Um die Aufgabe zu lösen, kannst du zunächst die monatlichen Zinsen berechnen:

  Vor der Erhöhung bezahlt Frau Koschitzky $1~218,75~€$ an Zinsen in $3$ Monaten. Das sind pro Monat $\frac{1~218,75~€}{3} = 406,25~€$. Die monatliche Belastung steigt um $156,25~€$, also zahlt sie pro Monat nun $406,25~€ + 156,25~€ = 562,50~€$.

  Gegeben: $K = 75~000~€$, $Z = 562,5~€$, $t = 1$ (Monat)

  Gesucht: $p$ in $\%$ p.a.

  Lösung

  Die Formel ist die Gleiche wie oben:

  $\begin{align} p &= Z \cdot \frac{100}{K} \cdot \frac{12}{t} \\ &= 562,5~€ \cdot \frac{100}{75.000~€} \cdot \frac{12}{1} \\ &= 9 \end{align}$

  Der Zinssatz ist von $6,5~\%$ auf $9~\%$ gestiegen. Das sind $2,5$ Prozentpunkte Unterschied.

  Antwortsatz: Der jährliche Zinssatz ist um $2,5$ Prozentpunkte gestiegen.

  c) Zunächst solltest du den Zinsfaktor $q$ berechnen. Bei monatlichen Raten gilt: $q = 1 + \frac{p}{100 \cdot 12}$. Also folgt für diese Aufgabe: $q = 1 + \frac{9}{100 \cdot 12} = 1,0075$.

  Gegeben: $K = 75~000~€$, $q = 1,0075$, $n = 10\cdot 12 = 120$ (Monate)

  Gesucht: monatliche Rate $R$ in $€$

  Lösung:

  Um bei gegebenem Zinssatz und fester Laufzeit die Höhe der monatlichen Rate zu ermitteln, benutzt du die Formel $R = K \cdot q^n \cdot \frac{q - 1}{q^n -1 }$. Für unsere Aufgabe folgt:

  $\begin{align} R &= K \cdot q^n \cdot \frac{q - 1}{q^n -1 } \\ &= 75.000~€ \cdot 1.0075^{120} \cdot \frac{1.0075 - 1}{1.0075^{120} -1 }\\ &\approx 950~€ \end{align}$

  Antwortsatz: Um den Kredit bei monatlichen Raten in $10$ Jahren abzuzahlen, muss Frau Koschitzky pro Monat $950~€$ bezahlen.