Zinsrechnung: Kredite vergleichen

Zinsrechnung: Kredite vergleichen Übung

• Gib die richtigen Aussagen über Kredite an.

  Tipps

  Um die Zinsen zu berechnen, berechnest du einfach den Anteil des Zinssatzes an dem Kapital.

  Leihst du dir bei der Bank Blau $100\,$€, bekommst du ein Angebot mit einem Zinssatz von $12\,\%$ pro Jahr.

  Nach einem Jahr musst du also zusätzlich zu den $100\,$€ noch Zinsen in Höhe von $12\,$€ zahlen.

  Leihst du dir bei der Bank Rot $100\,$€, bekommst du ein Angebot mit einem Zinssatz von $8\,\%$ pro Halbjahr.

  Nach sechs Monaten musst du also zusätzlich zu den $100\,$€ noch $8\,$€ Zinsen zahlen. Nach den nächsten sechs Monaten musst du nochmal $8,\!46\,$€ Zinsen zahlen. Also zahlst du nach einem Jahr insgesamt $16,\!46\,$€ Zinsen.

  Lösung

  Wenn du zwei Kreditangebote vergleichen möchtest, dann achte immer darauf, dass du sie auf die gleiche Laufzeit hochrechnest. Dabei spielen die Zinseszinsen eine wichtige Rolle, denn die Zinsen werden zu dem Kapital dazu addiert und bei der nächsten Abrechnung ebenfalls verzinst. Du zahlst also am Ende auch Zinsen für die Zinsen. Bei einem Kreditangebot ist daher nicht immer das mit dem niedrigsten Zinssatz das günstigste, wenn man die Kredite auf dieselbe Laufzeit hochrechnet.

  Die Zinsen sind eine Art Gebühr, die man der Bank für das Ausleihen eines Kapitals zahlt. Um die Zinsen zu berechnen, berechnest du einfach den Anteil des Zinssatzes an dem Kapital. Zur Berechnung der Zinsen benötigt man also das Kapital $K$, den Zinssatz $p\%$ und die folgende Formel:

  • $\text{Zinsen}=\text{Kapital} \cdot \text{Zinssatz}$
  • $Z=K\cdot p\%$

• Berechne die Zinssätze der beiden Angebote.

  Tipps

  Stellen wir uns einmal vor, dass wir bei einer Bank Geld anlegen. Nach jedem Jahr bekommt man darauf dann Zinsen, die auf das Kapital gezahlt werden. Da sich die Höhe des Kapitals dadurch verändert hat, verändern sich auch die Zinsen. Diese und die Zinsen der nächsten Jahre nennen wir Zinseszinsen. Das gleiche gilt bei einem Kredit.

  Um die Zinsen zu berechnen, berechnest du den Anteil des Zinssatzes an dem Kapital:

  $\text{Zinsen}=\text{Kapital} \cdot \text{Zinssatz}$

  Lösung

  Die Zinsen sind eine Art Gebühr, die man der Bank für das Ausleihen eines Kapitals zahlt. Um die Zinsen zu ermitteln, berechnest du einfach den Anteil des Zinssatzes an dem Kapital. Zur Berechnung der Zinsen benötigt man also das Kapital $K$, den Zinssatz $p\%$ und die folgende Formel:

  • $\text{Zinsen}=\text{Kapital} \cdot \text{Zinssatz}$
  • $Z=K\cdot p\%$

  Die erste nationale Biberbank bietet Harriet einen Zinssatz von $10\,\%$ für ein Jahr an. Zusätzlich zu dem Kapital von $5\,000\,€$ müsste sie dann die folgenden Zinsen zurückzahlen:

  $Z=10\,\%\cdot 5\,000\,€= 0,\!10 \cdot 5\,000\,€ = 500\,€$.

  Nach einem Jahr muss Harriet demnach $5\,000\,€+500\,€=5\,500\,€$ zurückzahlen.

  Die zweite nationale Biberbank bietet Harriet einen Zinssatz von $7\,\%$ für sechs Monate an. Wir rechnen die Laufzeit auf ein Jahr hoch, um die Angebote zu vergleichen. Hier müssen die Zinseszinsen betrachtet werden. Nach sechs Monaten betragen die Zinsen:

  $Z_1=7\,\%\cdot 5\,000\,€ = 0,\!07 \cdot 5\,000\,€ = 350\,€$.

  Nach den sechs Monaten betrachten wir den Anteil des Zinssatzes an dem neuen Kapital $5\,000\,€+350\,€=5\,350\,€$. Das heißt, auch die Zinsen werden verzinst.

  $Z_2=7\,\%\cdot 5\,350\,€ = 0,\!07 \cdot 5\,350\,€ = 374,\!50\,€$

  Nach einem Jahr muss Harriet also $5\,000\,€+350\,€+374,\!50\,€=5\,724,\!50\,€$ zurückzahlen.

• Bestimme die Summe aus Kapital und Zinsen.

  Tipps

  Berechne zunächst die Zinsen $Z$ und addiere sie zum Kapital $K$ hinzu.

  Bei einem Kapital von $2\,000\,€$ müssen bei einem Zinssatz von $15\,\%$ am Ende $2\,000\,€ + 2\,000\,€ \cdot 0,\!15 = 2\,300\,€$ zurückgezahlt werden.

  Lösung

  Die Zinsen sind eine Art Gebühr, die man der Bank für das Ausleihen eines Kapitals zahlt. Um die Zinsen zu ermitteln, berechnest du einfach den Anteil des Zinssatzes an dem Kapital. Zur Berechnung der Zinsen benötigt man also das Kapital $K$, den Zinssatz $p\%$ und die folgende Formel:

  • $\text{Zinsen}=\text{Kapital} \cdot \text{Zinssatz}$
  • $Z=K\cdot p\%$

  Wir berechnen zunächst die Zinsen wie folgt:

  • $Z_1=K_1\cdot p_1\%=1000 \cdot 3\,\%=30 $
  • $Z_2=K_2\cdot p_2\%=800 \cdot 2\,\%=16 $
  • $Z_3=K_3\cdot p_3\%=800 \cdot 4\,\%=32 $
  • $Z_4=K_4\cdot p_4\%=900 \cdot 12\,\%=108 $

  Für das neue Kapital, das zurückgezahlt werden muss, addieren wir die Zinsen wie folgt zu dem ursprünglichen Kapital:

  • $K_1 + Z_1 = 1\,000 + 30 = 1\,030 $
  • $K_2 + Z_2 = 800 + 16 = 816 $
  • $K_3 + Z_3 = 800 + 32 = 832 $
  • $K_4 + Z_4 = 900 + 108 = 1\,008 $

• Vergleiche Kredite mit positiven und negativen Zinssätzen.

  Tipps

  Mit negativen Zinsen kannst du so rechnen wie mit positiven Zinsen. Du musst dir nur vorher überlegen, welche der beiden Möglichkeiten du anwenden möchtest:

  • Rechne mit dem negativen Zinssatz und addiere den negativen Zinswert zum ursprünglichen Kapital.

  • Rechne mit dem positiven Zinssatz und subtrahiere den Zinswert vom ursprünglichen Kapital.

  Lösung

  Mit negativen Zinsen kannst du so rechnen wie mit positiven Zinsen. Du musst dir nur vorher überlegen, welche der beiden Möglichkeiten du anwenden möchtest:

  • Rechne mit dem negativen Zinssatz und addiere den negativen Zinswert zum ursprünglichen Kapital.
  • Rechne mit dem positiven Zinssatz und subtrahiere den Zinswert vom ursprünglichen Kapital.

  Beide Ansätze führen zum gleichen Ergebnis.

  Wir betrachten die Kredite nach einem Jahr:

  Wir haben jeweils dasselbe Kapital $K=5 000 €$, nur unterschiedliche Zinssätze $p_-\%=-2\,\%$ und $p_+\%=3\,\%$. Wir erhalten für die Zinsen:

  $Z_-=K\cdot p_-\%=K\cdot (-2\,\%)= 5\,000\,€ \cdot (-0,\!02) = -100\,€$

  $Z_+=K\cdot p_+\%=K\cdot 3\,\%= 5\,000\,€ \cdot 0,\!03 = 150\,€$

  Damit betragen die neuen Kapitale:

  $K_-=5\,000\,€-100\,€=4\,900\,€$

  $K_+=5\,000\,€+150\,€=5\,150\,€$

  Für die weiteren Jahre ist es wichtig, dass wir immer das neue Kapital mit dem Prozentsatz multiplizieren, da die Zinsen auch verzinst werden. Dazu stellen wir eine Tabelle auf:

  $\begin{array}{c|c|c} \text{Jahre} & \text{Kapital bei } p_-\%=-2\,\% & \text{Kapital bei } p_+\%=3\,\% \\ \hline 1& 4\,900\,€ & 5\,150\,€ \\ \hline 2& 4\,802\,€ & 5\,304,\!50\,€ \\ \hline 3& 4\,705,\!96\,€ & 5\,463,\!64\,€ \\ \hline 4& 4\,611,\!84\,€ & 5\,627,\!54\,€ \\ \hline 5& 4\,519,\!60\,€ & 5\,796,\!37\,€ \\ \hline 6& 4\,429,\!21\,€ & 5\,970,\!26\,€ \\ \end{array}$

  Nach $6$ Jahren muss Marie nur noch $4\,429,\!21\,€$, also weniger als $4\,500\,€$, zurückzahlen.

• Gib die zu zahlenden Zinsen an.

  Tipps

  Nutze für die Berechnung der Zinsen:

  • $\text{Zinsen}=\text{Kapital} \cdot \text{Zinssatz}$

  • $Z=K\cdot p\%$

  Für die Zinseszinsen bestimmen wir erst die Zinsen nach sechs Monaten. Diese addieren wir zu unserem Ausgangskapital und berechnen mit diesem neuen Kapital die Zinsen für die weiteren sechs Monate. Am Ende addieren wir die beiden anfallenden Zinsbeträge.

  Beispiel:

  Kapital: $1\,000\,$€, Angebot: $3\,\%$ Zinsen für sechs Monate Zinsen nach sechs Monaten?

  Rechnung:

  $\begin{array} {rcl} Z &=& K\cdot p\% \\ &=& 1\,000\,€ \cdot 3\,\% \\ &=& 1\,000\,€ \cdot 0,\!03 \\ &=& 30\,€ \end{array}$

  Lösung

  Die Zinsen sind eine Art Gebühr, die man der Bank für das Ausleihen eines Kapitals zahlt. Um die Zinsen zu ermitteln, berechnest du einfach den Anteil des Zinssatzes an dem Kapital. Zur Berechnung der Zinsen benötigt man also das Kapital $K$, den Zinssatz $p\%$ und die folgende Formel:

  • $\text{Zinsen}=\text{Kapital} \cdot \text{Zinssatz}$
  • $Z=K\cdot p\%$

  1. Rechnung

  $\begin{array}{rcl} Z_1 &=& K_1\cdot p_1\% \\ &=& 5\,000\,€ \cdot 10\,\% \\ &=& 5\,000\,€ \cdot 0,\!1 \\ &=& 500\,€ \end{array}$

  2. Rechnung

  $\begin{array}{rcl} Z_2 &=& K_2\cdot p_2\% \\ &=& 5\,000\,€ \cdot 7\,\% \\ &=& 5\,000 \,€ \cdot 0,\!07 \\ &=& 350\,€ \end{array}$

  3. Rechnung

  $\begin{array}{rcl} Z_3 &=& K_3\cdot p_3\%\\ &=& 5\,350\,€ \cdot 7\,\% \\ &=& 5\,350\,€ \cdot 0,\!07 \\ &=& 374,\!50\,€ \end{array}$

  4. Rechnung

  Hier sollen Zinseszinsen bestimmt werden. Da wir das Angebot auf eine Laufzeit von einem Jahr hochrechnen wollen, bestimmen wir erst die Zinsen nach sechs Monaten, addieren diese zu unserem Ausgangskapital und berechnen mit diesem neuen Kapital die Zinsen für die weiteren sechs Monate. Am Ende addieren wir die beiden anfallenden Zinsbeträge:

  $Z_4=Z_2+Z_3=350\,€ + 374,\!50\,€= 724,\!50\,€$

• Ermittle die zu zahlenden Zinsen.

  Tipps

  Um die Angebote zu vergleichen, musst du alle auf dieselbe Laufzeit von einem Jahr hochrechnen.

  Bei einer Laufzeit von drei Monaten musst du also viermal die Zinsen berechnen und jedes Mal das neue Kapital nutzen.

  Für die Gesamtzinsen musst du alle Zinsen zu den jeweiligen Zeitpunkten des Laufzeitendes addieren.

  Stelle dir vor, Maries Freund bietet ihr an: $4\,\%$ bei einer Laufzeit von vier Monaten. Dann rechnest du:

  Zinsen nach $4$ Monaten:
  (Kapital: $K_1=1\,000,\!00\,€$):
  $Z_1=K_1 \cdot p \%= 1\,000,\!00\,€ \cdot 4\,\%=1\,000,\!00\,€ \cdot 0,\!04=40,\!00\,€$

  Zinsen nach $8$ Monaten:
  (Kapital: $K_2=1\,000,\!00\,€+40\,€=1\,040,\!00\,€$):
  $Z_2=K_2 \cdot p \%= 1\,040,\!00\,€ \cdot 4\,\%=1\,040,\!00\,€ \cdot 0,\!04=41,\!60\,€$

  Gesamtzinsen nach $8$ Monaten: $40,\!00\,€+41,\!60\,€=81,\!60\,€$

  Zinsen nach einem Jahr:
  (Kapital: $K_3=1\,000,\!00\,€+81,\!60\,€=1\,081,\!60\,€$):
  $Z_3=K_3 \cdot p \%= 1 081,60 €\cdot 4\,\%=1\,081,\!60\,€ \cdot 0,\!04=43,\!26\,€$

  Gesamtzinsen nach $1$ Jahr: $81,\!60\,€+43,\!26\,€=124,\!86\,€$

  Lösung

  Vater

  Zinssatz: $1\,\%$

  Zinsen nach $3$ Monaten:
  (Kapital: $K_1=1\,000,\!00\,€$)
  $Z_1=K_1 \cdot p\%= 1\,000,\!00\,€ \cdot 1\,\%=1\,000,\!00\,€ \cdot 0,\!01=10,\!00\,€$

  Zinsen nach $6$ Monaten:
  (Kapital: $K_2=1\,000,\!00\,€+10\,€=1\,010,\!00\,€$)
  $Z_2=K_2 \cdot p\%= 1\,010,\!00\,€ \cdot 1\,\%=1\,010,\!00\,€ \cdot 0,\!01=10,\!10\,€$

  Gesamtzinsen nach $6$ Monaten: $10,\!10\,€+10,\!00\,€=20,\!10\,€$

  Zinsen nach $9$ Monaten:
  (Kapital: $K_3=1\,000,\!00\,€+20,\!10\,€=1\,020,\!10\,€$)
  $Z_3=K_3 \cdot p\%= 1\,020,\!10\,€ \cdot 1\,\%=1\,020,\!10\,€ \cdot 0,\!01=10,\!20\,€$

  Gesamtzinsen nach $9$ Monaten: $20,\!10\,€+10,\!20\,€=30,\!30\,€$

  Zinsen nach einem Jahr:
  (Kapital: $K_4=1\,000,\!00\,€+30,\!30\,€=1\,030,\!30\,€$)
  $Z_4=K_4 \cdot p\%= 1\,030,\!30\,€ \cdot 1\,\%=1\,030,\!30\,€ \cdot 0,\!01=10,\!30\,€$

  Gesamtzinsen nach einem Jahr: $30,\!30\,€+10,\!30\,€=40,\!60\,€$

  
  

  Mutter

  Zinssatz: $5\,\%$

  Zinsen nach einem Jahr:
  (Kapital: $K=1\,000,\!00\,€$)
  $Z=K \cdot p\%= 1\,000,\!00\,€ \cdot 5\,\%=1\,000,\!00€ \cdot 0,\!05=50,\!00\,€$

  
  

  Bruder

  Zinssatz: $2\,\%$

  Zinsen nach $6$ Monaten:
  (Kapital: $K_1=1\,000,\!00\,€$)
  $Z_1=K_1 \cdot p\%= 1\,000,\!00\,€ \cdot 2\,\%=1\,000,\!00\,€ \cdot 0,\!02=20,\!00\,€$

  Zinsen nach einem Jahr:
  (Kapital: $K_2=1\,000,\!00\,€+20\,€=1\,020,\!00\,€$)
  $Z_2=K_2 \cdot p\%= 1\,020,\!00\,€ \cdot 2\,\%=1\,020,\!00\,€ \cdot 0,\!02=20,\!40\,€$

  Gesamtzinsen nach einem Jahr: $20,\!00€+20,\!40\,€=40,\!40\,€$

  
  

  $\Rightarrow ~$Das Angebot ihres Bruder ist mit $40,\!40\,€$ das beste für Marie.