Kettenregel für Funktionen mit mehreren Veränderlichen

Kettenregel für Funktionen mit mehreren Veränderlichen Übung

• Gib allgemein die Ableitung $\frac{dz}{dt}$ einer Funktion mit mehreren Veränderlichen an.

  Tipps

  Beachte, dass die partiellen Ableitung nach $x$ mit $\frac{\delta f}{\delta x}$ bezeichnet wird.

  Zuerst muss nach jeder der beiden Veränderlichen partiell abgeleitet werden.

  Jede der Veränderlichen muss noch nach $t$ abgeleitet werden.

  Kennst du noch die Kettenregel für Funktionen mit einer Veränderlichen? Vielleicht erkennst du etwas wieder:

  $(f(g(x)))'=f'(g(x))\cdot g'(x)$.

  Lösung

  Um die Funktion $z(t)$ nach $t$ abzuleiten, benötigt man zunächst die partiellen Ableitungen der Funktion nach den beiden Veränderlichen $x$ sowie $y$. Dann werden diese Veränderlichen jeweils auch noch nach $t$ abgeleitet.

  Letztlich ergibt sich die folgende Ableitung:

  $\frac{dz}{dt}=\frac{\delta f}{\delta x}\cdot\frac{dx}{dt}+\frac{\delta f}{\delta y}\cdot\frac{dy}{dt}$.

• Berechne die Ableitung der Funktion $z(t)=f(x(t);y(t))=2x(t)+y(t)^2+y(t)^3$ mit $x(t)=t$ und $y(t)=t^2$.

  Tipps

  Verwende die Kettenregel

  $\frac{dz}{dt}=\frac{\delta f}{\delta x}\cdot\frac{dx}{dt}+\frac{\delta f}{\delta y}\cdot\frac{dy}{dt}$.

  Du berechnest die partielle Ableitung einer Funktion nach einer Veränderlichen, indem du die andere Veränderliche als konstant annimmst. Nun wendest du die bekannten Ableitungsregeln an.

  Lösung

  Wir wollen die Funktion $z(t)=f(x(t);y(t))=2x(t)+y(t)^2+y(t)^3$ mit $x(t)=t$ und $y(t)=t^2$ näher untersuchen. Zunächst werden die partiellen Ableitungen von $f$ bestimmt:

  • $\frac{\delta f}{\delta x}=2$
  • $\frac{\delta f}{\delta y}=2y+3y^2$

  Nun wird jede der Veränderlichen nach $t$ abgeleitet. Da die Veränderlichen in Abhängigkeit zu $t$ stehen, ist dies nicht schwer:

  • $\frac{dx}{dt}=1$ sowie
  • $\frac{dy}{dt}=2t$.

  Nun kann die Kettenregel angewendet werden:

  $\frac{dz}{dt}=\frac{\delta f}{\delta x}\cdot\frac{dx}{dt}+\frac{\delta f}{\delta y}\cdot\frac{dy}{dt}$.

  Also ist $\frac{dz}{dt}=2+4y(t)\cdot t+6y(t)^2\cdot t$.

  Nun kann noch $y(t)=t^2$ eingesetzt werden und man erhält:

  $\frac{dz}{dt}=2+4t^2\cdot t+6(t^2)^2\cdot t=2+4t^3+6t^5$.

• Leite die Funktion $f(x;y)=2x^2y-3xy^3$ partiell nach $x$ und $y$ ab.

  Tipps

  Wenn du nach $x$ partiell ableiten möchtest, betrachtest du $y$ als konstant.

  Schaue dir das folgende Beispiel an $f(x;y)=3xy-2x^2y$.

  Es ist $\frac{\delta f}{\delta x}=3y-4xy$.

  Verwende jeweils die bekannten Ableitungsregeln:

  • die Potenzregel $(x^n)'=n\cdot x^{n-1}$,
  • die Faktorregel $(k\cdot f(x))'=k\cdot f'(x)$ sowie
  • die Summenregel $(f(x)\pm g(x))'=f'(x)\pm g'(x)$.

  Lösung

  Die Kettenregel für Funktionen mit mehreren Veränderlichen lautet:

  $\frac{dz}{dt}=\frac{\delta f}{\delta x}\cdot\frac{dx}{dt}+\frac{\delta f}{\delta y}\cdot\frac{dy}{dt}$.

  Es werden also zunächst die partiellen Ableitungen benötigt. Hierfür wird jeweils eine Variable konstant gehalten und nach der anderen mit den bekannten Ableitungsregeln abgeleitet:

  • $\frac{\delta f}{\delta x}=4xy-3y^3$
  • $\frac{\delta f}{\delta y}=2x^2-9xy^2$

• Verwende die Kettenregel zur Ableitung der Funktion.

  Tipps

  Verwende die Kettenregel für Funktionen mit mehreren Veränderlichen

  $\frac{dz}{dt}=\frac{\delta f}{\delta x}\cdot\frac{dx}{dt}+\frac{\delta f}{\delta y}\cdot\frac{dy}{dt}$.

  Du könntest die Ableitung noch weiter umformen zu

  $\frac{dz}{dt}=2\sin(t)\cos(t)(\sin(t)+3\cos(t)^2)$.

  Hier siehst du einen (möglichen!) Zwischenschritt der Rechnung.

  Lösung

  Die partiellen Ableitungen erster Ordnung der Funktion $f(x;y)=2x^2y-3xy^3$ sind gegeben durch:

  • $\frac{\delta f}{\delta x}=4xy-3y^3$
  • $\frac{\delta f}{\delta y}=2x^2-9xy^2$

  Nun können noch die Ableitungen der Veränderlichen berechnet werden. Diese sind

  • für $x(t)=\sin(t)$ gegeben durch $x'(t)=\cos(t)$ und
  • für $y(t)=\cos(t)$ durch $y'(t)=-\sin(t)$.

  Nun kann die Kettenregel $\frac{dz}{dt}=\frac{\delta f}{\delta x}\cdot\frac{dx}{dt}+\frac{\delta f}{\delta y}\cdot\frac{dy}{dt}$ angewendet werden:

  $\frac{dz}{dt}=(4x(t)y(t)-3y(t)^3)\cdot\sin(t)-(2x(t)^2-9x(t)y(t)^2)\cdot\cos(t)$.

  Nun werden die Definitionen von $x(t)=\sin(t)$ sowie $y(t)=\cos(t)$ eingesetzt:

  $\frac{dz}{dt}=(4\sin(t)\cos(t)-3\cos(t)^3)\cdot\sin(t)-(2\sin(t)^2-9\sin(t)\cos(t)^2)\cdot\cos(t)$.

  Dies kann noch weiter umgeformt und zusammengefasst werden:

  $\begin{array}{rcl} &&(4\sin(t)\cos(t)-3\cos(t)^3)\cdot\sin(t)-(2\sin(t)^2-9\sin(t)\cos(t)^2)\cdot\cos(t)\\ &=&4\sin(t)^2\cos(t)-3\cos(t)^3\sin(t)-2\sin(t)^2\cos(t)+9\sin(t)\cos(t)^3\\ &=&2\sin(t)^2\cos(t)+6\sin(t)\cos(t)^3 \end{array}$

  Am schwierigsten ist es, die Übersicht zu behalten. Der Rest ist gar nicht so schwierig.

• Berechne die partiellen Ableitungen der Funktion $f(x;y)=x^2+y$.

  Tipps

  Wenn du nach $x$ partiell ableiten möchtest, betrachtest du die andere Variable $y$ als konstant.

  Verwende die Ableitungsregeln, welche du von Funktionen mit einer Veränderlichen kennst.

  Beachte: $f(x)=x^2+5$, dann ist $f'(x)=2x$.

  Lösung

  Die zu untersuchende Funktion lautet $f(x;y)=x^2+y$. Um die Kettenregel anzuwenden, muss man zunächst die partiellen Ableitungen bestimmen.

  Hierfür betrachtet man die jeweilige Veränderliche, nach welcher nicht abgeleitet wird, als konstant und leitet nach der anderen Veränderlichen ab:

  • $\frac{\delta f}{\delta x}=2x$
  • $\frac{\delta f}{\delta y}=1$

• Bestimme die Ableitung der Funktion $f(x;y)=2xy^2-2x^2y$ mit $x(t)=t^3$ und $y(t)=2-t$.

  Tipps

  Die partiellen Ableitungen sind

  • $\frac{\delta f}{\delta x}=2y^2-4xy$ sowie
  • $\frac{\delta f}{\delta y}=4xy-2x^2$.

  Die Ableitungen der inneren Funktionen sind

  • $x'(t)=3t^2$ und
  • $y(t)=-1$.

  Verwende die Kettenregel für Funktionen mehrerer Veränderlicher:

  $\frac{dz}{dt}=\frac{\delta f}{\delta x}\cdot\frac{dx}{dt}+\frac{\delta f}{\delta y}\cdot\frac{dy}{dt}$.

  Lösung

  Die partiellen Ableitungen der Funktion $f(x;y)=2xy^2-2x^2y$ sind

  • $\frac{\delta f}{\delta x}=2y^2-4xy$ sowie
  • $\frac{\delta f}{\delta y}=4xy-2x^2$.

  Gemeinsam mit den Ableitungen der inneren Funktionen $x(t)=t^3$ und $y(t)=2-t$

  • $x'(t)=3t^2$ und
  • $y(t)=-1$

  kann die Kettenregel angewendet werden:

  $\frac{dz}{dt}=(2y(t)^2-4x(t)y(t))\cdot3t^2+(4x(t)y(t)-2x(t)^2)\cdot(-1)$.

  Jetzt werden die inneren Funktionen eingesetzt:

  $\frac{dz}{dt}=(2(2-t)^2-4t^3(2-t))\cdot3t^2+(4t^3(2-t)-2(t^3)^2)\cdot(-1)$.

  Zuletzt wird noch weiter umgeformt:

  $\begin{array}{rcl} &&(2(2-t)^2-4t^3(2-t))\cdot3t^2+(4t^3(2-t)-2(t^3)^2)\cdot(-1)\\ &=&(2(4-4t+t^2)-8t^3+4t^4)\cdot3t^2-(8t^3-4t^4-2t^6)\\ &=&(8-8t+2t^2-8t^3+4t^4)\cdot 3t^2-8t^3+4t^4+2t^6\\ &=&24t^2-24t^3+6t^4-24t^5+12t^6-8t^3+4t^4+2t^6\\ &=&14t^6-24t^5+10t^4-32t^3+24t^2 \end{array}$