Konstruktion eines Lotes

Konstruktion eines Lotes Übung

• Ergänze die Beschreibung der Konstruktion eines Lotes auf eine Strecke.

  Tipps

  Beginne die Konstruktion mit dem Zirkel im Punkt $P$.

  Überlege, wie viele Schnittpunkte des ersten Kreisbogens mit der Geraden du für die Konstruktion benötigst.

  Die Grenzlinie ist eine Gerade.

  Lösung

  Nach der Tradition soll die Grenzlinie auf der Verbindungsstrecke der Häuser senkrecht stehen. Sie ist daher das Lot auf diese Strecke im Treffpunkt $P$ der beiden Nachbarn. Zur Konstruktion des Lotes geht Lewis wie folgt vor:

  1. Lewis sticht den Zirkel in $P$ ein und zieht einen Kreisbogen, der die Strecke $\overline{AB}$ zweimal schneidet.
  2. Er sticht den Zirkel in diese Schnittpunkte ein und zieht jeweils einen Kreisbogen, ohne die Zirkelspanne zu verändern, also mit gleichem Radius. Der Radius der Kreisbogen muss dabei so groß sein, dass sie sich zweimal schneiden.
  3. Die Grenzlinie erhält Lewis, indem er durch diese zuletzt konstruierten Schnittpunkte der Kreisbogen mit Lineal und Stift eine Gerade zieht.

  Für die zweite Zeichnung der Grenzlinie durch einen markanten Punkt $P'$ außerhalb der Verbindungsstrecke konstruiert Lewis wieder das Lot auf die Strecke $\overline{AB}$, diesmal durch den Punkt $P'$:

  1. Er sticht seinen Zirkel in $P'$ ein und zieht einen Kreisbogen, der die Strecke $\overline{AB}$ zweimal schneidet.
  2. Mit dem Zirkel sticht er in diese Schnittpunkte ein und zieht jeweils einen Kreisbogen.
  3. Schließlich zieht er mithilfe von {Lineal} und Stift noch eine Gerade durch die zuletzt entstandenen Schnittpunkte: Das ist wieder die Grenzlinie.

• Benenne die Eigenschaften eines Lotes.

  Tipps

  Durch einen Punkt $P$ gibt es genau eine Lotgerade auf einer Strecke.

  Der Lotfußpunkt des Lotes auf eine Strecke $\overline{AB}$ liegt auf der Verbindungsgeraden durch $A$ und $B$.

  Liegt $P$ nicht auf der Geraden durch $A$ und $B$, so kann man dennoch das Lot durch $P$ auf die Gerade konstruieren.

  Lösung

  Das Lot auf einer Strecke ist eine Gerade, die Lotgerade, die senkrecht auf der Strecke steht. Der Schnittpunkt der Lotgeraden mit der Strecke ist der Lotfußpunkt.

  Folgende Aussagen sind richtig:

  • Das Lot auf einer Strecke ist eine Gerade, die die Strecke im rechten Winkel schneidet.

  Das Lot steht senkrecht auf der Strecke, also im rechten Winkel.

  • Das Lot auf einer Geraden durch einen Punkt $P$ ist eine Gerade durch $P$.

  Diese Gerade heißt Lot oder Lotgerade und steht senkrecht auf der Strecke.

  • Das Lot auf einer Geraden steht senkrecht auf dieser Geraden.

  Das Lot auf einer Geraden ist eine weitere Gerade im rechten Winkel.

  • Der Fußpunkt eines Lotes auf einer Strecke ist der Schnittpunkt der Lotgeraden mit der Strecke.

  Die Lotgerade durch einen vorgegebenen Punkt steht senkrecht auf der Strecke, daher schneiden sich die Lotgerade und die Strecke. Der Schnittpunkt heißt Lotfußpunkt.

  Folgende Aussagen sind falsch:

  • Das Lot ist ein Punkt auf einer Strecke.

  Das Lot ist eine Gerade und kein Punkt.

  • Das Lot durch einen Punkt $P$ auf einer Geraden kann man nur dann konstruieren, wenn $P$ auf der Geraden liegt.

  Es gibt auch eine Konstruktion des Lotes mit Zirkel und Lineal durch einen Punkt außerhalb der Geraden.

  • Die Lotgerade ist die Verbindungsgerade des Lotfußpunktes mit einem der Endpunkte der Strecke.

  Die Verbindungsgerade des Lotfußpunktes mit einem Endpunkt der Strecke ist die Gerade, auf der das Lot gefällt wird. Die Lotgerade steht darauf senkrecht.

• Entscheide, welche Aussagen über geometrische Konstruktionen richtig sind.

  Tipps

  Ein Kreisbogen ist nicht notwendig ein voller Kreis.

  Das Lot ist eine Gerade, kein Kreis.

  Zwei verschiedene Kreise mit demselben Mittelpunkt schneiden sich nicht.

  Lösung

  Folgende Aussagen sind richtig:

  • Zwei verschiedene Kreisbogen schneiden sich höchstens zweimal.

  Zwischen zwei verschiedenen Kreisbogen gibt es höchstens zwei Schnittpunkte.

  • Konstruiert man mit Zirkel und Lineal das Lot durch einen Punkt auf der Geraden, so braucht man zwei verschiedene Zirkelspannen.

  Die Konstruktion beginnt mit dem Zirkel: Man zieht einen Kreisbogen, der die Gerade zweimal schneidet. Dann sticht man in die Schnittpunkte ein und zieht zwei weitere Kreisbogen, die sich zweimal schneiden sollen. Um das zu erreichen, muss man die Zirkelspanne vorher vergrößern. Denn mit der ersten Zirkelspanne würde man nur einen Schnittpunkt erhalten: den Punkt auf der Geraden, mit dem die Konstruktion begann.

  • Die Lotgerade ist durch die Konstruktion mit Zirkel und Lineal eindeutig bestimmt.

  Die Konstruktion ist in jedem Schritt eindeutig. Sie liefert daher ein eindeutiges Ergebnis.

  • Konstruiert man auf die Lotgerade das Lot durch den Lotfußpunkt, so erhält man die ursprüngliche Gerade.

  Konstruiert man auf eine Lotgerade wieder das Lot, erhält man eine Gerade, die auf der ersten Lotgeraden senkrecht steht. Führt man die Konstruktion im Fußpunkt der ersten Lotgeraden durch, haben die neu konstruierte Gerade und die ursprüngliche Gerade diesen Punkt gemeinsam und stehen senkrecht auf der ersten Lotgeraden. Sie stimmen also überein.

  Folgende Aussagen sind falsch:

  • Ein Kreisbogen schneidet eine Gerade entweder dreimal oder gar nicht.

  Zwischen einem Kreisbogen und einer Geraden gibt es nie mehr als zwei Schnittpunkte. Je nach Länge des Kreisbogens und Lage des Mittelpunktes gibt es keinen, einen oder zwei Schnittpunkte.

  • Zwei Kreisbogen haben mindestens einen Schnittpunkt.

  Zeichnet man die Kreisbogen zu kurz, haben sie keinen Schnittpunkt. Haben die Kreisbogen denselben Mittelpunkt und verschiedene Radien, so schneiden sie einander nicht, egal wie lang man sie zeichnet. Dasselbe gilt, wenn die Mittelpunkte verschieden und die beiden Radien der Kreisbogen zusammen kleiner sind als der Abstand der Mittelpunkte.

  • Bei der Konstruktion des Lotes kann man auf das Lineal verzichten.

  Die Konstruktion endet mit der Verbindung zweier Punkte mithilfe eines Lineals. Darauf kann man nicht verzichten.

  • Die Konstruktion mit Zirkel und Lineal zeigt, dass es durch einen Punkt $P$ verschiedene Lotgeraden auf die Strecke $\overline{AB}$ gibt.

  Durch einen Punkt gibt es eine eindeutige Lotgerade. Diese wird durch die Konstruktion mit Zirkel und Lineal konstruiert.

• Gliedere die Konstruktionsschritte.

  Tipps

  Überlege, mit welchem Schritt die Konstruktion beginnt.

  Die beiden Kreisbogen mit dem gleichen Radius müssen sich zweimal schneiden, damit die Konstruktion gelingt.

  Erst der letzte Konstruktionsschritt liefert die Lotgerade.

  Lösung

  Hier ist die korrekte Reihenfolge:

  1. Stich den Zirkel in $P$ ein und ziehe einen Kreisbogen, der die Strecke $\overline{AB}$ zweimal schneidet.
  2. Vergrößere die Zirkelspanne.
  3. Stich den Zirkel in einen der Schnittpunkte des ersten Kreisbogens mit der Strecke $\overline{AB}$ ein und ziehe einen Kreisbogen.
  4. Verändere die Zirkelspanne nicht.
  5. Stich den Zirkel in den anderen Schnittpunkt des ersten Kreisbogens mit der Strecke $\overline{AB}$ ein und ziehe einen Kreisbogen.
  6. Ziehe eine Verbindungsgerade durch die beiden Schnittpunkte der zuletzt gezogenen beiden Kreisbogen.

  Die Vergrößerung der Zirkelspanne im zweiten Schritt ist notwendig, um im dritten Schritt Kreisbogen zu erhalten, die sich zweimal schneiden.

• Definiere das Lot.

  Tipps

  Der Lotfußpunkt liegt auf der Lotgeraden.

  Die Konstruktion des Lotes beginnt mit dem Zirkel.

  Die Strecke und die Lotgerade schneiden sich in einem Punkt.

  Lösung

  Hier sind die korrekten Sätze:

  • Der Lotfußpunkt ist der Schnittpunkt des Lotes mit der Geraden.

  Da die Gerade und ihre Lotgerade aufeinander senkrecht stehen, haben sie einen Schnittpunkt. Dieser Schnittpunkt heißt Lotfußpunkt.

  • Die Lotgerade einer Strecke steht auf der Strecke senkrecht.

  Das Lot oder die Lotgerade ist eine Gerade senkrecht zu einer vorgegebenen Gerade oder Strecke.

  • Das Fällen eines Lotes ist die Konstruktion der Lotgeraden.

  Die Konstruktion des Lotes wird auch als Fällen eines Lotes bezeichnet.

  • Der Zirkel ist für die Konstruktion unverzichtbar.

  Die Konstruktion beginnt mit dem Zirkel und endet mit dem Lineal. Auf beides kann man nicht verzichten.

  • Zwischen der Geraden und ihrer Lotgeraden ist ein rechter Winkel.

  Die Lotgerade ist eine Gerade, die auf der gegebenen Geraden senkrecht steht, d. h. im rechten Winkel.

• Analysiere die Konstruktionen.

  Tipps

  Durch zwei Punkte gibt es eine eindeutige Verbindungsgerade.

  Zur Konstruktion des Lotes durch einen Punkt auf der Geraden benötigt man Kreisbogen, die sich zweimal schneiden.

  Lösung

  Folgende Aussagen sind richtig:

  • Konstruiert man mit Zirkel und Lineal das Lot durch einen Punkt $P$, so genügt einer der beiden Schnittpunkte der zuletzt gezogenen Kreisbogen. Das Lot ist die Verbindungsgerade des Schnittpunktes mit dem Punkt $P$.

  Die Lotgerade ist die Verbindungsgerade der beiden zuletzt konstruierten Schnittpunkte von Kreisbogen und verläuft durch den Punkt $P$. Da eine Gerade durch zwei verschiedene Punkte eindeutig festgelegt ist, genügt einer der beiden Schnittpunkte der Kreisbogen und der Punkt $P$. Wichtig ist aber, den Radius des Kreisbogens so groß zu wählen, dass sich die Kreisbogen zweimal schneiden (obwohl man dann nur noch einen Schnittpunkt braucht). Gibt es nur einen Schnittpunkt, ist dieser der Punkt $P$ und man erhält keine Verbindungsgerade.

  • Zur Konstruktion des Lotes auf einer Geraden und durch einen Punkt auf der Geraden muss man die Zirkelspanne einmal verändern.

  Um zwei Kreisbogen zu erhalten, die sich zweimal schneiden, muss man die Zirkelspanne vergrößern.

  • Durch die Konstruktion eines Lotes $h$ auf einer Geraden $g$ durch einen Punkt $P'$ außerhalb dieser Geraden erhält man einen Lotfußpunkt. Konstruiert man durch diesen Lotfußpunkt ein Lot auf der Geraden $g$, erhält man dieselbe Lotgerade $h$.

  Die Lotgerade $h$ ist durch ihren Lotfußpunkt eindeutig bestimmt. Man kann sie also sowohl durch $P'$ konstruieren als auch durch den entstandenen Lotfußpunkt.

  • Konstruiert man das Lot auf einer Geraden durch verschiedene Punkte der Geraden, so erhält man immer verschiedene Lotgeraden.

  Das Lot durch einen Punkt auf der Geraden ist durch diesen Punkt eindeutig festgelegt. Verschiedene Punkte ergeben verschiedene Lotgeraden.

  Folgende Aussagen sind falsch:

  • Während der Konstruktion eines Lotes mit Zirkel und Lineal durch einen Punkt auf der Geraden darf man die Zirkelspanne nie verändern.

  Vor der Konstruktion der beiden Kreisbogen mit demselben Radius muss man die Zirkelspanne vergrößern. Sonst erhält man Kreisbogen, die sich nur einmal schneiden, nämlich in dem Punkt auf der Geraden, von dem die Konstruktion ausgeht.

  • Die Konstruktion des Lotes auf einer Geraden und durch einen Punkt $P'$ außerhalb der Geraden ergibt immer dieselbe Lotgerade wie die Konstruktion durch einen Punkt $P$ auf der Geraden.

  Nur wenn der Punkt $P'$ auf der Lotgeraden durch $P$ liegt, ist die Lotgerade durch $P'$ dieselbe wie die Lotgerade durch $P$.

  • Zur Konstruktion des Lotes durch einen Punkt außerhalb einer Geraden muss man mindestens drei Punkte der Lotgeraden konstruieren.

  Es genügen zwei verschiedene Punkte der Lotgeraden. Durch zwei verschiedene Punkte ist eine Gerade bereits eindeutig bestimmt.