Kreiszahl Pi – Näherungsverfahren von Archimedes

Kreiszahl Pi – Näherungsverfahren von Archimedes Übung

• Ergänze die Erklärung zu $\pi$.

  Tipps

  Du kannst deinen Taschenrechner verwenden: Dort findest du $\pi$.

  $\frac13=0,\bar 3$ ist eine periodische Dezimalzahl, also rational.

  $\frac12=0,5$ ist eine endende Dezimalzahl, also rational.

  Lösung

  Mit Hilfe der Kreiszahl $\pi$ kann der Umfang eines Kreises berechnet werden:

  $U=2~\pi~r=\pi~d$.

  Wenn man diese Gleichung durch Division durch $d$ umstellt, erhält man

  $\pi=\frac{U}{d}$.

  $\pi$ ist eine nicht endende und nicht periodische Dezimalzahl.

  Wenn man den Taschenrechner verwendet, gibt dieser je nach Anzahl der Stellen

  $\pi=3,141592653$

  an. Es genügt, sich einige Stellen hinter dem Komma, zum Beispiel zwei, zu merken: $\pi\approx 3,14$.

• Beschreibe, wie die Kreiszahl $\pi$ näherungsweise berechnet werden kann.

  Tipps

  Da $\pi$ eine irrationale Zahl ist, kann sie nicht exakt berechnet werden.

  Wenn $\pi$ nicht bekannt ist, kann der Umfang nicht mit der Formel

  $U=2~\pi~r=\pi~d$

  berechnet werden.

  Wenn der Radius $r=1$ ist, dann ist $U=2~\pi$.

  Lösung

  Die Zahl $\pi$ kann näherungsweise berechnet werden. Das bedeutet, dass eine Folge konstruiert wird, deren Grenzwert die gesuchte Zahl ist.

  Ein solches näherungsweises Verfahren geht auf Archimedes von Syrakus zurück. Archimedes lebte ungefähr $300$ Jahre vor Christi Geburt.

  Es ist bekannt, dass der Umfang eines Kreises sich berechnen lässt als $U=\pi~d$. Somit ist

  $\pi=\frac{U}{d}$.

  Archimedes wählte einen Einheitskreis, also einen Kreis mit dem Radius $r=1$. Somit ist $d=2r=2$. Wenn man dies in der Formel für $\pi$ einsetzt, erhält man

  $\pi=\frac{U}{2}$.

  Wenn nun der Kreis durch regelmäßige Vielecke angenähert wird:

  • durch das blaue Sechseck von innen und
  • durch das grüne Sechseck von außen,

  dann kann man von diesen Vielecken den Umfang $U_i$, für das innere sowie $U_a$ für das äußere berechnen. Es gilt dann

  $U_i\le U_k\le U_a$.

  Dabei ist $U_k$ der gesuchte Kreisumfang. Wird die Anzahl der Ecken der regelmäßigen Vielecke immer weiter erhöht, nähern diese sich von innen und von außen immer genauer an den Kreis an. Damit nähern sich auch die Umfänge immer näher an den Kreisumfang an. So kann Schritt für Schritt der Umfang des Einheitskreises und damit $\pi$ immer genauer berechnet werden.

  Übrigens: $\pi$ ist bereits auf mehr als $10$ Billionen Nachkommastellen berechnet.

• Berechne die Folgeglieder.

  Tipps

  Du kannst noch weiter rechnen. Die ersten beiden Folgeglieder sind noch recht weit von $e$ entfernt. Bei höherem Index, $100$ oder $1000$ oder $10000$, kannst du erkennen, dass immer mehr Nachkommastellen mit der Euler'schen Zahl überein stimmen.

  Achte auf die Klammern, wenn du den Term in den Taschenrechner eingibst.

  Die Berechnung von $a_{10}$ siehst du zum Beispiel hier.

  Lösung

  Die näherungsweise Berechnung einer irrationalen Zahl bedeutet, dass man den Grenzwert einer Folge berechnet ... oder aber die Folgeglieder so lange ausrechnet, bis sich deren Wert nicht mehr so sehr unterscheidet.

  Hier ist die Folge zu sehen, deren Grenzwert die Euler'sche Zahl $e=2,71828182818...$ ist. Auch wenn diese Zahl so aussieht: Sie ist nicht periodisch. Die Euler'sche Zahl ist eine irrationale Zahl.

  Um also die Zahl $e$ zu berechnen, müssen die Folgeglieder berechnet werden. Dafür wird jeweils der Index $n$ auf der rechten Seite, der Definition der Folge, eingesetzt:

  • $a_1=\left(1+\frac{1}{1}\right)^1=2^1=2$
  • $a_2=\left(1+\frac{1}{2}\right)^2=1,5^2=2,25$ ... bis hierher geht das sicher noch gut im Kopf!
  • $a_{100}=\left(1+\frac{1}{100}\right)^{100}=1,01^{100}\approx 2,70841$ - die erste Nachkommastelle stimmt bereits.
  • $a_{1000}=\left(1+\frac{1}{1000}\right)^{1000}=1,001^{1000}\approx 2,71692$
  • $a_{10000}=\left(1+\frac{1}{10000}\right)^{10000}=1,0001^{10000}\approx 2,71815$ - hier stimmen bereits die ersten vier Nachkommastellen mit der Euler'schen Zahl überein.

• Ermittle den Wert von $\sqrt 2$ auf fünf Nachkommastellen.

  Tipps

  Da die Folge rekursiv definiert ist, musst du zum Beispiel zur Berechnung von $x_3$ den Wert von $x_2$ kennen.

  $x_0$ kann noch exakt angegeben werden. Alle übrigen Folgeglieder sind gerundet.

  Du kannst $\sqrt 2$ mit dem Taschenrechner berechnen.

  Lösung

  Mit Hilfe des Heron-Verfahrens kann jede beliebige Wurzel, $\sqrt a$, mit $a\ge 0$, berechnet werden:

  • $x_0=\frac{a+1}2$
  • $x_{n+1}=\frac12\left(x_n+\frac{2}{x_n}\right)$

  Hier ist $a=2$ und damit $x_0=\frac32=1,5$. Dies ist sicher noch keine so gute Näherung für $\sqrt 2$.

  Wenn man ein Folgeglied kennt, wird mit diesem Folgeglied das nächste berechnet. Man sagt, dass die Folge rekursiv definiert ist.

  $x_0$ wird in der rekursiven Folgedefinition eingesetzt, um $x_1$ zu berechnen

  $x_1=\frac12\left(1,5+\frac2{1,5}\right)=1,41666666...\approx 1,416667$

  Ebenso werden die weiteren Folgeglieder berechnet:

  • $x_2=\frac12\left(1,416667+\frac2{1,416667}\right)=1,4142156...\approx 1,414216$ sowie
  • $x_3=\frac12\left(1,414216+\frac2{1,414216}\right)=1,4142156...\approx 1,414216$.

  Hier sind bereits die ersten fünf Nachkommastellen zu erkennen

  $\sqrt 2\approx 1,41421$.

  Wenn man die Folgeglieder weiter berechnet, kann man noch weitere Nachkommastellen berechnen.

• Bestimme die Zahl $\pi$ auf zwei Nachkommastellen.

  Tipps

  $1,41$ sind die ersten Stellen von

  $\sqrt 2=1,414213562...$.

  Auch dies ist eine irrationale Zahl.

  Es gibt verschiedene Merksätze, mit denen du dir $\pi$ auf einige Nachkommastellen merken kannst.

  Zum Beispiel:

  „May I have a large container of coffee? Thank you!“.

  Zähle die Anzahl der Buchstaben in jedem Wort des Merksatzes.

  Lösung

  Wenn man sich $\pi$ mit zwei Nachkommastellen merkt, erhält man

  $\pi\approx 3,14$.

  Wie kann man sich so etwas merken? Ok, zwei Nachkommastellen gehen ja noch, aber mehr ...

  Es gibt viele Merksätze für die Kreiszahl $\pi$. Zum Beispiel diesen

  „May I have a large container of coffee? Thank you!“.

  Wenn man die jeweilige Zahl der Buchstaben zählt, erhält man die ersten Stellen von $\pi$:

  • may $\rightarrow$ $3$
  • I $\rightarrow$ $1$
  • have $\rightarrow$ $4$
  • a $\rightarrow$ $1$
  • large $\rightarrow$ $5$
  • container $\rightarrow$ $9$
  • of $\rightarrow$ $2$
  • coffee $\rightarrow$ $6$
  • Thank $\rightarrow$ $5$
  • you $\rightarrow$ $3$

• Überprüfe, ob $\sqrt 2$ tatsächlich eine irrationale Zahl ist.

  Tipps

  Verwende die 1. binomische Formel

  $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$.

  Beachte, dass jede Zahl, die durch $2$ teilbar ist, gerade ist.

  Wenn du zu einer geraden Zahl $1$ addierst, erhältst du eine ungerade Zahl.

  Lösung

  Sei $\sqrt2$ rational, also

  $\sqrt2=\frac{2m+1}{2n}$,

  dann erhält man durch Quadrieren

  $2=\frac{(2m+1)^2}{(2n)^2}$.

  Nun wird mit $(2n)^2$ multipliziert und man gelangt zu

  $2\cdot (2n)^2=(2m+1)^2$.

  Auf beiden Seiten der Gleichung werden die Klammern aufgelöst. Auf der rechten Seite wird die
  1.$~$binomische Formel verwendet. So erhält man

  $2\cdot 4 n^2= 4m^2+4m+1$ oder $8n^2=4m^2+4m+1$.

  Auf der linken Seite der Gleichung steht mit $8n^2$ eine gerade Zahl. Nun kann man sich die rechte Seite anschauen:

  • $4m^2$ ist gerade.
  • $4m$ ist gerade.
  • Die Summe zweier gerader Zahlen ist gerade.
  • Wenn man zu einer geraden Zahl $1$ addiert, erhält man eine ungerade Zahl.

  Somit ist $4m^2+4m+1$ ungerade.

  Dies ist ein Widerspruch, da eine gerade Zahl nicht ungerade (oder umgekehrt) sein kann. Die Annahme muss somit falsch gewesen sein.

  Das bedeutet, dass $\sqrt 2$ tatsächlich irrational ist.