Lagebeziehungen zweier Geraden

Lagebeziehungen zweier Geraden Übung

• Ergänze die Erklärung zu parallelen Geraden.

  Tipps

  Schaue dir die Abbildung zweier paralleler Geraden $g$ und $h$ an.

  Unter dem Abstand versteht man hier die kürzeste Strecke zwischen zwei Geraden.

  Lösung

  Wenn der Abstand zwischen zwei Geraden immer gleich ist, so bezeichnet man diese Geraden auch als parallele Geraden.

  Ihre Lage zueinander ist parallel. Man schreibt $g\parallel h$.

  Ein Spezialfall der Parallelität ist die Identität: Wenn zwei Geraden identisch sind, ist der Abstand immer gleich $0$. Man schreibt $g=h$ oder $g\equiv h$.

• Gib an, welche möglichen Lagebeziehungen es bei zwei Geraden geben kann.

  Tipps

  Parallele Geraden haben überall den gleichen Abstand zueinander.

  Identische Geraden sind ebenfalls parallele Geraden.

  Umgekehrt gilt dies nicht: Parallele Geraden sind nicht auch identische Geraden.

  Wenn Geraden nicht parallel sind, dann müssen sie sich schneiden.

  Lösung

  Es gibt verschiedene Lagebeziehungen zwischen zwei Geraden.

  Wir betrachten diese nun von oben nach unten.

  • Sie können parallel zueinander sein. Dann haben sie überall den gleichen Abstand. Dies schreibt man so: $g\parallel h$.
  • Sie können auch identisch sein. Dies ist ein Spezialfall der Parallelität. Dies schreibt man entweder $g=h$ oder $g\equiv h$.

  Wenn zwei Geraden nicht parallel sind, müssen sie sich schneiden. Dabei kann ein besonderer Fall auftreten, nämlich der, dass die Schnittwinkel rechte Winkel sind.

  • Wenn zwei Geraden sich schneiden, haben sie einen Schnittpunkt $A$ sowie zwei Schnittwinkel $\alpha$ und $\beta$. Von den Schnittwinkeln ist bis auf den folgenden Fall der eine ein spitzer und der andere ein stumpfer Winkel. Hier schreibt man $g\not\parallel h$.
  • Ein Sonderfall des Schnittes liegt vor, wenn die Schnittwinkel gleich groß sind: $\alpha=\beta=90^\circ$. Man sagt dann, dass die Geraden senkrecht zueinander sind, und schreibt $g\perp h$.

• Ordne die Geraden ihrer Lage zu der Geraden $g$ zu.

  Tipps

  Die Geraden, welche $g$ senkrecht schneiden, gehören zu „senkrecht zu $g$“ und nicht zu „schneidet $g$“.

  Zu jeder der gegebenen Lagen findest du zwei Geraden.

  Schaue dir die Abbildung an:

  Steht eine Gerade $h$ senkrecht zu $g$, welche wiederum senkrecht zu $k$ steht, dann sind $h$ und $k$ parallel.

  Lösung

  Schauen wir uns zunächst die Geraden an, die senkrecht zu $g$ sind:

  • An den Winkeln $\alpha=\beta$ erkennst du, dass $h\perp g$ ist.
  • An den Winkeln $\alpha'=\beta'$ erkennst du, dass $l\perp g$ ist.

  Die beiden Geraden $h$ und $l$ schneiden $g$ somit im rechten Winkel.

  • Es ist $\alpha''=\beta''$. Das bedeutet, dass die Gerade $k$ senkrecht zu $h$ ist. Also ist $k\parallel g$.
  • Ebenso ist $j\perp l$ und damit $j\parallel g$.

  Die verbleibenden beiden Geraden $m$ und $n$ schneiden die Gerade $g$.

  • $m\not\parallel g$
  • $n\not\parallel g$

• Entscheide, welche Lagebeziehungen vorliegen.

  Tipps

  Zwei Geraden $g$ und $h$ stehen senkrecht auf einer dritten Geraden $l$.

  Dann sind die beiden Geraden $g$ und $h$ parallel zueinander.

  Es sind jeweils zweimal zwei Geraden parallel zueinander.

  Wenn die Schnittwinkel identisch sind, sind die Geraden, welche sich schneiden, senkrecht zueinander.

  Lösung

  Beginnen wir mit der Geraden $k$.

  Die Schnittwinkel $\alpha'$ sowie $\beta'$ mit der Geraden $m$ stimmen überein. Somit sind die Geraden $k$ und $m$ senkrecht zueinander. Ebenso stimmen die Schnittwinkel $\alpha$ und $\beta$ mit der Geraden $l$ überein. Dann sind auch $k$ und $l$ senkrecht zueinander: $k\perp m$ sowie $k\perp l$.

  Insbesondere sind die beiden Geraden $m$ und $l$ parallel zueinander.

  Da $k$ zu keiner der übrigen Geraden parallel ist, schneidet sie alle vier übrigen Geraden.

  Alle anderen Geraden schneiden jeweils drei Geraden:

  • $m$ schneidet $k$, $g$ und $h$.
  • $g$ schneidet $m$, $l$ und $k$.
  • $h$ schneidet $m$, $l$ und $k$.
  • $l$ schneidet $k$, $g$ und $h$.

• Beschreibe, was eine Gerade ist.

  Tipps

  Stelle dir einen Sonnenstrahl vor: Dieser hat einen Ausgangspunkt (oder Anfangspunkt), nämlich die Sonne, und keinen Endpunkt.

  So sind in der Mathematik Strahlen beschrieben.

  Eine Strecke hat sowohl einen Anfangs- als auch einen Endpunkt. Hier siehst du die Strecke $\overline{AB}$.

  Lösung

  Eine Gerade wird üblicherweise mit einem Kleinbuchstaben beschrieben.

  Hier siehst du die beiden Geraden $g$ und $h$.

  Das Besondere an Geraden ist, dass sie weder einen Anfangs- noch einen Endpunkt haben.

  Es gibt noch weitere geometrische Formen, die auf eine gewisse Art einer Gerade ähnlich sehen:

  • Eine Strecke hat sowohl einen Anfangs- als auch einen Endpunkt.
  • Ein Strahl hat zwar einen Anfangs-, jedoch keinen Endpunkt.

  Sowohl auf einer Geraden als auch auf einer Strecke oder einem Strahl liegen übrigens unendlich viele Punkte.

• Prüfe die folgenden Aussagen.

  Tipps

  Überlege dir gegebenenfalls ein Gegenbeispiel.

  Zeichne die jeweilige Situation auf ein Blatt Papier und prüfe die Aussagen damit.

  Zwei Geraden können sich auch in einem rechten Winkel schneiden.

  Zwei Aussagen sind richtig.

  Lösung

  Wenn $g$ und $h$ sowie $g$ und $k$ sich schneiden, dann schneiden sich auch $h$ und $k$: Diese Aussage ist falsch, wie du an dem Bild sehen kannst.

  $g$ und $h$ sowie $g$ und $k$ schneiden sich. $h$ und $k$ schneiden sich allerdings nicht.

  In diesem Bild kannst du auch erkennen, dass die zweite Aussage wahr, die dritte jedoch falsch ist.

  Sind zwei Geraden parallel zueinander, so haben sie überall den gleichen Abstand: Sind also $g$ und $h$ parallel sowie $h$ und $k$ parallel, dann haben auch $g$ und $k$ überall den gleichen Abstand. Dieser ergibt sich je nach Lage als Summe oder Differenz der Abstände. $g$ und $k$ sind auch parallel. Die vierte Aussage ist wahr.

  Die fünfte Aussage ist wieder falsch. Das Gegenbeispiel zu der ersten Aussage kannst du auch hier verwenden.