Was ist ein Abstand?

Was ist ein Abstand? Übung

• Benenne die Eigenschaften des Abstands.

  Tipps

  Die Abbildung zeigt einen mathematischen Abstand.

  Zwischen zwei Punkten gibt es unendlich viele Verbindungen.

  Lösung

  Was wir als mathematischen Abstand verstehen, kann man gut mit einer Karte veranschaulichen:

  Wenn wir die Wegstrecke zwischen Berlin und Köln suchen, finden wir die schnellste Route. Diese ist hier durch die blaue Linie markiert. Das ist allerdings nicht der Abstand. Denn der Abstand bezieht sich streng mathematisch betrachtet immer auf die kürzeste Verbindungsstrecke. In unserem Fall wäre das die Luftlinie zwischen Berlin und Köln – hier rot eingezeichnet.

  Der Begriff Abstand ist in der Mathematik also gleichbedeutend mit der Länge der kürzesten Verbindungsstrecke. Die Strecke zwischen zwei Punkten $P$ und $Q$ bezeichnet man mit $ \overline{PQ} $. Die Länge dieser Strecke hingegen bezeichnet man mit $|PQ|$.

  Folgende Aussagen sind korrekt:

  • Der Abstand beschreibt immer den kürzesten Weg zwischen zwei Punkten, wie in dem Bild die rote Luftlinie zwischen Köln und Berlin.
  • Zwei parallele Geraden haben an jeder Stelle den gleichen Abstand zueinander.

  Folgende Aussagen sind nicht korrekt:

  • Ein Abstand kann eine krumme Linie sein, wie in dem Bild die blaue Linie von Köln nach Berlin. Richtig ist: Ein Abstand bezeichnet die kürzeste Wegstrecke.
  • Zwischen zwei Punkten gibt es immer genau zwei verschiedene Abstände: Eine gebogene Strecke und eine kürzeste Strecke. Richtig ist: Es gibt unendlich viele Verbindungen zwischen zwei Punkten, aber nur einen Abstand.

• Beschreibe, wie man einen Abstand zwischen einem Punkt und einer Geraden einzeichnet.

  Tipps

  Für den mathematischen Abstand suchst du die kürzeste Strecke zwischen Punkt und Gerade und zeichnest sie mit dem Geodreieck ein.

  Lösung

  Ein mathematischer Abstand beschreibt eine Strecke, die den kürzesten Weg zwischen zwei Punkten, einem Punkt und einer Gerade oder zwischen zwei Geraden darstellt. Um ihn einzuzeichnen benötigst du ein Geodreieck.

  Abstand zwischen einem Punkt und einer Geraden einzeichnen:

  $ {1)} $ Um den Abstand zu bestimmen, nimmst du dir ein Geodreieck zur Hand.

  $ {2)} $ Du legst die Mittellinie des Geodreiecks genau auf die Gerade und verschiebst es dann so, dass der Punkt $P$ genau auf der Zeichenkante liegt.

  $ {3)} $ Dann kannst du eine Gerade durch $P$ einzeichnen, die genau im rechten Winkel zur anderen Geraden $g$ liegt.

  $ {4)} $ Den Schnittpunkt von beiden Geraden kannst du jetzt beschriften (Im Bild: $Q$).

  $ {5)} $ Abschließend kannst du die Stecke mit dem Geodreieck messen (Im Bild: $4,5~\text{cm}$).

• Formuliere die mathematischen Schreibweisen in Worten.

  Tipps

  Wenn zwei Geraden parallel sind, kann man an jeder Stelle eine Senkrechte zu einer der beiden Geraden einzeichnen. Diese bildet dann mit beiden Geraden einen rechten Winkel.

  $ \overline{PQ} $ beschreibt die kürzste Strecke zwischen den Punkten $P$ und $Q$.

  Lösung

  In der Mathematik werden Abkürzungen benutzt, um lange Sachverhalte kurz und für jeden einheitlich aufzuschreiben.

  Zum Beispiel beschreibt $ \overline{PQ} $ die kürzeste Strecke zwischen den Punkten $P$ und $Q$.

  Folgende Paare gehören zueinander:

  • Die Strecke zwischen den Punkten $G$ und $H$. Wir schreiben: $ \overline{GH} $

  • Die Strecke $\overline{GH}$ ist parallel zur Geraden $g$. Wir schreiben: $\overline{GH} \parallel g$

  • Die Gerade $g$ hat an jeder Stelle den gleichen Abstand zur Geraden $h$. Die beiden Geraden sind also parallel. Wir schreiben: $ g \parallel h $

  • Die kürzeste Verbindungsstrecke zwischen dem Punkt $G$ und $H$ beträgt $ 5~\text{cm} $. Dies ist der Abstand der beiden Punkte. Wir schreiben: $ |GH| = 5~\text{cm} $

• Überprüfe folgende Aussagen zur Ermittlung des Abstands paralleler Geraden.

  Tipps

  Mithilfe der Mittellinie des Geodreiecks können wir den Abstand zwischen der Geraden $g$ und der Geraden $h$ ermitteln:

  Die parallelen Hilfslinien am Geodreieck stehen senkrecht auf der Mittellinie.

  Hier sind die parallelen Hilfslinien blau markiert.

  Lösung

  Um den Abstand zwischen zwei parallelen Linien zu bestimmen, kann man die Hilfslinien des Geodreiecks zur Hilfe nehmen. Diese Hilfslinien sind ebenfalls parallel und sie stehen senkrecht auf der Mittellinie des Geodreiecks. Den Abstand kann man dann auf der Skalierung des Geodreiecks in $\text{cm}$ ablesen.

  Folgende Aussagen sind korrekt:

  • Wenn wir das Geodreieck mit der Mittellinie auf $h$ legen, so können wir den Abstand zwischen $g$ und $i$ bestimmen.

  Da die Mittellinie im rechten Winkel auf der Linealkante steht, und $g \parallel h \parallel i$, können wir an der Linealkante den Abstand zwischen $g$ und $i$ einzeichnen und ablesen.

  • Wenn wir das Geodreieck mit den parallelen Hilfslinien auf $k$ legen, so können wir den Abstand zwischen $h$ und $i$ bestimmen.

  Wir wissen, dass die Geraden $h$ und $i$ senkrecht auf $k$ stehen. Wenn wir die parallelen Hilfslinien auf $k$ legen, können wir daher den Abstand zwischen $h$ und $i$ an der Linealkante einzeichnen und ablesen.

  • Wenn wir das Geodreieck mit der Linealkante auf $m$ legen, so können wir den Abstand zwischen $g$ und $h$ bestimmen.

  Da die Gerade $m$ senkrecht zu $g$ und $h $ ist, können wir hier ebenfalls den Abstand einzeichnen und ablesen.

  • Wenn wir das Geodreieck mit der Mittellinie auf $b$ legen, so können wir den Abstand zwischen $b$ und $c$ bestimmen.

  Wenn wir die Mittellinie des Geodreiecks auf $b$ legen, können wir den Abstand zwischen $b$ und $c$ an der Linealkante ablesen und einzeichnen, da diese senkrecht zur Mittellinie ist.

  Folgende Aussagen sind nicht korrekt:

  • Wenn wir das Geodreieck mit der Mittellinie auf $k$ legen, so können wir den Abstand zwischen $h$ und $i$ bestimmen.

  Wenn wir das Geodreieck mit der Mittellinie auf $k$ legen, ist die Linealkante parallel zu $h$ und $i$, wir können deren Abstand so nicht bestimmen.

  • Wenn wir das Geodreieck mit der Mittellinie auf $a$ legen, so können wir den Abstand zwischen $b$ und $h$ bestimmen.

  Da $b$ und $h$ nicht parallel sind, können wir ihren Abstand nicht ausmessen. Die beiden Geraden schneiden sich.

• Benenne die Bilder, auf denen ein mathematischer Abstand dargestellt ist.

  Tipps

  Wenn du auf einer Karte zwischen zwei Orten die Luftlinie einzeichnest, beschreibt diese Strecke den mathematischen Abstand.

  Wenn du zwei Punkte mit einer zick-zack Linie verbindest, ist das kein mathematischer Abstand.

  Lösung

  Der mathematische Abstand beschreibt die kürzeste Verbindungslinie zwischen zwei Punkten, einem Punkt und einer Geraden oder zwei Geraden. Mögliche Darstellungen dazu siehst du auf der linken Seite der Abbildung.

  Kein mathematischer Abstand sind...

  • ...die Wegstrecke auf einer Landkarte
  • ...die zick-zack Verbindung zwischen zwei Punkten
  • ... die Verbindung zwischen einem Punkt und einer Geraden, die aber nicht die kürzeste Verbindung ist.

  Dies siehst du auf der rechten Seite der Abbildung.

  $\,$

  Um einen Abstand einzuzeichnen, benötigst du ein Geodreieck. Wenn du den Abstand zwischen einem Punkt und einer Geraden oder zwei Geraden abmessen möchtest, ist es wichtig, dabei einen rechten Winkel zu verwenden: Du musst das Geodreieck im rechten Winkel, also senkrecht an die Gerade(n) anlegen und kannst so den mathematischen Abstand ermitteln.

• Untersuche die Beziehungen der Geraden und Strecken.

  Tipps

  Wir betrachten die Strecke $\overline{PQ}$: Der Abstand zwischen den zwei Punkten beträgt $3~\text{cm}$. Wir schreiben: $|PQ|=3~\text{cm}$

  Die beiden Geraden $g$ und $h$ sind parallel, da die rot eingezeichnete, kürzeste Verbindungsstrecke mit beiden Geraden einen rechten Winkel bildet.

  Lösung

  Um die gesuchten Angaben aus der Graphik ablesen zu können, muss man die mathematischen Abkürzungen kennen.

  $ |AC| = 7~\text{cm} \rightarrow$ Die Strecke $AC$ beträgt $7~\text{cm}$, dies kann man direkt neben der Strecke am hellgrünen Strich ablesen.

  $ |AP| < 7~\text{cm} \rightarrow $ Da die Strecke $AP$ auf der Strecke $AC$ liegt und kürzer ist, muss sie auch kleiner als $ 7~\text{cm} $ sein.

  $\overline{PC} \not\parallel \overline{PQ} \rightarrow $ Die Strecken haben nicht an jeder Stelle den gleichen Abstand, deshalb sind sie nicht parallel.

  $|BC| = $ Abstand zwischen $A$ und $B \rightarrow $ Die Länge der Strecke $|BC|$ beträgt $9~\text{cm}$, dies entspricht dem Abstand zwischen den Punkten $B$ und $C$. Dieser ist gleich dem Abstand zwischen $A$ und $B$.

  $\overline{AB} \parallel$ $\overline{PQ} \rightarrow $ Dies gilt, weil $\overline{AB}$ $\parallel$ $g$ und $|PQ|$ auf $g$ liegt.

  $\overline{QS} \parallel$ $\overline{PT} \rightarrow $ Da die Strecken $|SQ|$ und $|TP|$ senkreckt auf $|AB|$ und $g$ stehen, und $|AB|$ und $g$ parallel zueinander sind, sind auch $|SQ|$ und $|TP|$ parallel.

  $|PT| = |QS| \rightarrow $ Da die Strecke $|AB|$ und $g$ parallel sind, sind die Strecken $|PT|$ und $|QS|$ gleich lang. Ihre Länge ist gleich dem Abstand zwischen $|AB|$ und $g$.