Lineare Ungleichungen – Textaufgaben

Lineare Ungleichungen – Textaufgaben Übung

• Bestimme das maximale Alter von Lena.

  Tipps

  Du solltest gedanklich alle Zahlen mit $x$ auf die eine Seite und alle ohne auf die andere Seite der Ungleichung bringen.

  Dann solltest du beide Seiten der Ungleichung durch die Zahl vor dem $x$ teilen.

  Lösung

  Wir wissen: Lena und Sabine sind zusammen älter als Patrick. Patrick ist sechsmal so alt wie Lena, Sabine ist $26$ Jahre älter als Lena.

  Wenn $x$ Lenas Alter ist, dann ist $6x$ Patricks Alter und $26+x$ Sabines Alter. Daraus folgt, dass:

  $2x + 26 > 6x$

  Jetzt kannst du $2x$ auf beiden Seiten abziehen und erhältst:

  $26 > 4x$

  Nun musst du nur noch durch die Zahl vor dem $x$ teilen, also durch $4$. Es folgt:

  $x<6,5$

  Die Lösungsmenge ist daher:

  $L=\{x|x<6,5\}$

  Die anschließende Probe mit beispielsweise $x=6$ bestätigt die Richtigkeit deiner Rechnung:

  $12 +26 = 38> 36$

• Benenne die richtig umgeformten Ungleichungen.

  Tipps

  Du solltest alle Zahlen mit $x$ auf die eine Seite und alle ohne auf die andere Seite der Ungleichung bringen.

  Dann solltest du beide Seiten der Ungleichung durch die Zahl vor dem $x$ teilen.

  Mit einer Probe kannst du überprüfen, ob du richtig gerechnet hast.

  Lösung

  Wie bei Gleichungen kannst du auch bei Ungleichungen das x auf eine Seite und die Zahl auf die andere Seite bringen. Zunächst solltest du die 15 auf die rechte Seite bringen, indem du $-15$ rechnest:

  $0,2x + 15 \leq 20 \quad \Leftrightarrow \quad 0,2x \leq 5$

  Dann teilst du auf beiden Seiten durch 0,2 und erhältst:

  $0,2x \leq 5 \quad \Leftrightarrow \quad x \leq 25$

  Zur Probe setzt du $x=25$ in die Ungleichung ein und das ergibt

  $0,2 \cdot 25 +15 = 20\leq 20$.

  Damit hast du richtig umgeformt.

  Analog geht das für die anderen Ungleichungen:

  $\begin{align} && 5x -7 &> 3x + 1 5&|& -3x ~ |+7 \\ &\Leftrightarrow& 2x &> 22 &|& : 2 \\ &\Leftrightarrow& x&> 11 \end{align}$

  Für eine Probe setzt du $x=12$ ein und erhältst

  $5 \cdot 12 - 7 = 53 > 51 = 3 \cdot 12 + 15$,

  was richtig ist.

  $\begin{align} && 2x+26 &> 6x &|& -2x \\ &\Leftrightarrow& 26 &> 4x &|& :4 \\ &\Leftrightarrow& x&< 6,5 \end{align}$

  Für eine Probe setzt du $x=6$ ein und erhältst

  $2 \cdot 6 +26 = 38 > 36 = 6 \cdot 6$,

  was richtig ist.

• Ordne jeder Ungleichung die richtige Lösungsmenge zu.

  Tipps

  Bringe alle Zahlen mit $x$ auf die eine Seite der Ungleichung und die Zahlen ohne $x$ auf die andere Seite. Damit kommst du auf Ungleichungen der Form $ax<b$ bzw. $ax>b$.

  Teile dann durch die Zahl vor dem $x$:

  $x<\frac{b}{a}$ bzw. $x>\frac{b}{a}$

  Lösung

  Um die Ungleichung umzuformen, bringst du zuerst alle Zahlen mit $x$ auf die eine Seite der Ungleichung und die Zahlen ohne auf die andere Seite der Ungleichung:

  $3x - 4 < 5x + 6 \quad \Leftrightarrow \quad -10<2x$

  Dann teilst du durch die $2$ vor dem $x$:

  $-10 < 2x \quad \Leftrightarrow \quad -5<x$

  Die Lösungsmenge stellst du dann so dar:

  $L=\{x|x>-5\}$

  Bei den nächsten Ungleichungen geht es dann analog weiter:

  $\begin{align} && 1,5x - 3&<0,5x+2 & |~-0,5x ~|~ +3 \\ &\Leftrightarrow& x&<5 \\ &\Rightarrow& L&=\{ x|x<5\} \end{align}$

  Analog geht es auch mit der nächsten Ungleichung weiter:

  $\begin{align} && 7x - 26 &< 5x + 3 &|& -5x~| +26 \\ &\Leftrightarrow& 2x&<29 &|& :2 \\ &\Leftrightarrow& x&<14,5 \\ &\Rightarrow& L&=\{ x|x<14,5\} \end{align}$

  Bei der letzten Ungleichung rechnest du dann analog:

  $\begin{align} && 2x-5,5&<8,5 -2x &|& +2x~| +5,5 \\ &\Leftrightarrow& 4x&<14 &|& :4 \\ &\Leftrightarrow& x&<3,5 \\ &\Rightarrow& L&=\{x|x<3,5\} \end{align}$

• Ermittle, wie viele Kugeln Eis Charlotte höchstens essen kann.

  Tipps

  Charlottes drei Freundinnen essen genau doppelt so viele Kugeln wie Charlotte, d.h. zweimal so viele wie Charlotte.

  Du solltest daran denken, dass von den $16~€$ auch noch die Kugeln für Charlottes Mutter abgezogen werden müssen.

  Lösung

  Wenn $x$ die Anzahl an Kugeln ist, die Charlotte isst, dann ist $2x$ die Anzahl an Kugeln, die Charlottes Freundinnen essen, weil sie zusammen genau doppelt so viele essen wollten wie Charlotte. Außerdem werden noch $1,6$ von der Obergrenze $16$ abgezogen. Daraus folgt, dass:

  $0,8(x+2x) \leq 16 - 1,6$

  Jetzt kannst du auf beiden Seiten die Terme zusammenfassen und du erhältst:

  $2,4x \leq 14,4$

  Nun musst du nur noch durch die Zahl vor dem $x$ teilen, also durch 2,4; dann folgt:

  $x \leq 6$

  Die Lösungsmenge ist daher:

  $L=\{x|x\leq 6\}$

  Für die Probe setzt du $x= 6$ ein und das ergibt:

  $0,8 \cdot (6+ 2 \cdot 6) = 14,4 \leq 14,4 = 16 - 1,6$

  Damit hast du die Ungleichung richtig umgeformt.

• Benenne die Ungleichung, die Tina lösen muss.

  Tipps

  Lege $x$ als die Anzahl der SMS fest und schreibe alle Beträge in Euro um.

  Die Kosten für die SMS berechnest du folgendermaßen:

  Preis pro SMS (in Euro) $\cdot$ Anzahl der SMS

  Wie viel ist die Hälfte ihres Taschengeldes?

  Das Gegenteil von „höchstens“ ist „mehr“ und bei „mehr“ verwendest du das Relationszeichen $>$.

  Lösung

  $0,2~€$ ist der Preis pro SMS. Die Kosten für die SMS berechnest du folgendermaßen:

  Preis pro SMS (in Euro) $\cdot$ Anzahl der SMS

  Damit ist $0,2\cdot x$ der Preis für $x$ SMS.

  Dazu kommt noch der Preis für die Flatrate. Zusammen sollte das kleiner oder gleich $20$ sein, da sie höchstens die Hälfte von ihren $40~€$ Taschengeld für das Handy ausgeben möchte.

  Damit erhältst du die Ungleichung:

  $0,2\cdot x + 15 \leq 20$.

• Ermittle die maximale Dauer, um einen Kilometer mit dem Rad zurückzulegen.

  Tipps

  Vorher ist sie einen Kilometer mit dem Rad gefahren, wofür sie $x$ Minuten benötigt hat, und zusätzlich noch $40~min$ mit dem Bus.

  Wie viele Minuten benötigt sie für $8~km$ per Fahrrad, wenn sie $x$ Minuten braucht, um einen Kilometer mit dem Rad zurückzulegen?

  In deiner Rechnung erhältst du zwischenzeitlich auf $40-7x\leq 5$.

  Achtung: Multiplizierst oder dividierst du auf beiden Seiten mit einer negativen Zahl, so dreht sich das Relationszeichen um. Aus $\geq$ wird beispielsweise $\leq$ und umgekehrt.

  Lösung

  Sei $x$ die Zeit in Minuten, die Susanne mit dem Fahrrad benötigt, um einen Kilometer mit dem Fahrrad zurückzulegen. Vorher ist sie einen Kilometer mit dem Rad gefahren, wofür sie $x$ Minuten benötigt hat, und zusätzlich noch $40~min$ mit dem Bus. Sie benötigt dafür eine Zeit von $t_{alt}=x+40$ Minuten.

  Wenn sie $x$ Minuten braucht, um einen Kilometer mit dem Rad zurückzulegen, dann benötigt sie $8x$ Minuten für $8~km$. Es dauert also $t_{neu}=8x$ Minuten über Abkürzungshausen zur Schule mit dem Fahrrad.

  Da sie mindestens $5~min$ schneller sein soll, wenn sie nur mit dem Fahrrad fährt, ist die Zeitdifferenz $t_{alt}-t_{neu}$ größer gleich $5$.

  Setzen wir die Werte in $t_{alt}-t_{neu}\geq 5$ ein, so müssen wir die folgende Ungleichung lösen:

  $40+x-8x\geq 5$.

  Wir fassen auf der linken Seite zusammen und ziehen auf beiden $40$ ab. Wir erhalten:

  $-7x\geq -35$.

  Wenn wir auf beiden Seiten durch $-7$ dividieren, dann dreht sich das Relationszeichen um und wir erhalten

  $x\leq 5$.

  Die Lösungsmenge sieht also folgendermaßen aus:

  $L=\{x|x<5\}$.

  Mit einer Probe kontrollierst du noch dein Ergebnis. Susanne darf mit ihrem Fahrrad also höchstens $5~min$ für $1~km$ benötigen.