Lösen von Wurzelgleichungen

Lösen von Wurzelgleichungen Übung

• Prüfe, ob $x = 8~$ die Lösung der Wurzelgleichung ist.

  Tipps

  Was musst du bei der Probe immer in die Gleichung einsetzen?

  Entscheide, ob die Probe eine wahre Aussage oder eine falsche Aussage ergibt.

  Nur bei einer wahren Aussage wie beispielsweise $2=2$ ist die eingesetzte Zahl auch wirklich Lösung der Gleichung.

  Lösung

  Um die Probe durchzuführen, setzt du in die Gleichung $x=8$ ein. Anschließend löst du die Gleichung schrittweise.

  Wenn die Gleichung am Ende eine wahre Aussage enthält, ist die anfangs eingesetzte Zahl die Lösung der Gleichung.

  Hier erhältst du eine Gleichung, die $6= -2$ lautet. Das ist eine falsche Aussage, denn die beiden Seiten der Gleichung sind nicht gleich.

  Das bedeutet, dass $x=8$ keine Lösung der Gleichung ist und die Lösungsmenge insofern leer ist.

• Berechne alle Lösungen der Gleichung mit Hilfe der p-q-Formel.

  Tipps

  Deine Ausgangsgleichung hat die Form $x^2+px+q=0$.

  $-x$ ist das Gleiche wie $-1\cdot x$.

  Achte auf die Vorzeichen!

  Die p-q-Formel lautet:

  $x_{1,2}=\frac{-p}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-q}$.

  $-(-1)$ ist das Gleiche wie $1$.

  Lösung

  Die Gleichung lautet

  $x^2-x+0,25=0$.

  Die Gleichung hat die Form

  $x^2+px+q=0$.

  Wir wissen, dass $-x$ das Gleiche ist wie $-1\cdot x$, also ist $p=-1$ und $q=0,25$.

  Die p-q-Formel lautet:

  $x_{1,2}=\frac{-p}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-q}$.

  Wenn wir die Werte für p und q in die p-q-Formel einsetzen, erhalten wir:

  $x_{1,2}=\frac{1}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{-1}{2}\right)^2-0,25}$.

  Unter der Wurzel steht $0,25-0,25$, was Null ergibt. Insofern ist die Lösung $x=\frac{1}{2}$ richtig.

• Berechne die Lösungsmengen.

  Tipps

  Wende nacheinander die Schritte zum Lösen von Wurzelgleichungen an.

  Bei manchen Gleichungen musst du eine der binomischen Formeln anwenden.

  Mache immer eine Probe!

  Bei manchen Gleichungen musst du die p-q-Formel anwenden.

  Die p-q-Formel lautet:

  $x_{1,2}=\frac{-p}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-q}$

  Lösung

  Du kannst alle Aufgaben mit der gleichen Strategie lösen:

  1. Wurzel isolieren
  2. Gleichung quadrieren
  3. nach x auflösen
  4. Probe

  Sehen wir uns zum Beispiel die Gleichung $\sqrt{x+7}=-6$ an:

  $ \begin{align*} \sqrt{x+7}&=-6 &|& (~)^2\\ x+7&=36 &|& -7\\ x&=29 \end{align*} $

  Probe:

  $ \begin{align*} \sqrt{29+7}&=-6\\ \sqrt{36}&=-6\\ 6 &= -6 && \text{f.A.} \end{align*} $

  Die Probe ergibt, dass $x=29$ keine Lösung der Gleichung ist und die Gleichung somit eine leere Lösungsmenge hat.

  Bei manchen Gleichungen musst du eine der binomischen Formeln anwenden und die p-q-Formel.

  Schauen wir uns zum Beispiel die Gleichung $\sqrt{x+1}=x-1$ an:

  $ \begin{align*} \sqrt{x+1}&=x-1\\ x+1&=(x-1)^2\\ x+1&=x^2-2x+1\\ x^2-3x+0&=0 \end{align*} $

  In die p-q-Formel eingesetzt ergibt:

  $ \begin{align*} x_{1,2}&=\frac{3}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{-3}{2}\right)^2-0}\\ x_{1,2}&=\frac{3}{2}\pm\frac{3}{2} \end{align*} $

  Die Lösungen lauten also $x_1=0$ und $x_2=3$. Die Probe ergibt, dass die Lösungsmenge $\mathbb{L} =\{3\}$ ist, weil $x=0$ in die Gleichung eingesetzt eine falsche Aussage ergibt.

• Gib die Lösungsmenge der gegebenen Gleichung an.

  Tipps

  Wende die Schritte zum Lösen von Wurzelgleichungen an.

  Du musst die binomischen Formeln anwenden.

  Welchen Schritt musst du wiederholen, wenn in der Gleichung immer noch eine Wurzel vorkommt?

  Die p-q-Formel lautet:

  $x_{1,2}=\frac{-p}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-q}$

  Führe unbedingt eine Probe durch!

  Lösung

  Wenn du die Strategie zum Lösen von Wurzelgleichungen anwendest, sieht dein Lösungsweg so aus:

  $ \begin{align*} \sqrt{x+1}+\sqrt{2\cdot x+4}&=\sqrt{50} &|& (~)^2\\ (x+1)+2\cdot \sqrt{x+1}\cdot\sqrt{2\cdot x+4}+(2x+4)&=50 &|& T\\ 3x+5+2\cdot \sqrt{x+1}\cdot\sqrt{2\cdot x+4}&=50 &|& -3x-5\\ 2\cdot \sqrt{x+1}\cdot\sqrt{2\cdot x+4}&=45-3x &|& :2\\ \sqrt{x+1}\cdot\sqrt{2\cdot x+4}&=22,5-1,5x &|& (~)^2 \\ (x+1)\cdot(2\cdot x+4)&=(22,5-1,5x)^2 \\ \end{align*} $

  Nachdem wir nun zweimal quadriert haben und umgeformt haben, steht keine Wurzel mehr da. Als nächstes multiplizieren wir die Klammern und überführen die quadratische Gleichung in Normalform:

  $ \begin{align*} 2x^2+6x+4&=2,25x^2-67,5x+506,25 &|& -2,25x^2+67,5x-506,25\\ 0,25x^2-73,5x+502,25&=0 &|& \cdot 4\\ x^2-294x+2009&=0\ \end{align*} $

  Nun können wir die p-q-Formel anwenden:

  $\begin{align*} x_{1,2}&=\frac{294}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{-294}{2}\right)^2-2009}\\ x_{1,2}&=147\pm\sqrt{19600} \\ x_{1,2}&=147\pm 140 \end{align*} $

  Die möglichen Lösungen lauten also $x_1=7$ und $x_2=287$. Wenn du nun die Proben durchführst, indem du jeweils den $x$-Wert in die Gleichung einsetzt, stellst du fest, dass nur $x=7$ eine wahre Aussage ergibt; $x=287$ ergibt eine falsche Aussage.

  Daher lautet die Lösungsmenge $\mathbb{L}=\{7\}$.

• Gib an, wie du bei der Lösung einer Wurzelgleichung vorgehen solltest.

  Tipps

  Hinter jedem Schritt kommt erst einmal die entsprechende Rechnung.

  Schau genau hin, was in dem jeweiligen Rechenschritt gemacht wird.

  Die Probe ermittelt immer, ob es sich um eine wahre oder eine falsche Aussage handelt.

  Lösung

  Die Wurzelgleichung löst du folgendermaßen. Du isolierst zunächst die Wurzel, quadrierst dann die Gleichung und löst zum Schluss noch nach $x$ auf:

  $ \begin {align*} \sqrt{x+1}-3&=1 &|& +3\\ \sqrt{x+1}&=4 &|& (~)^2 \\ x+1&=16 &|& -1\\ x&=15 \end {align*} $

  Zum Schluss machst du noch die Probe, indem du $x=15$ in die Gleichung einsetzt:

  $ \begin {align*} \sqrt{15+1}-3&=1 &|& +3\\ \sqrt{16}&=4 \\ 4&=4 \end {align*} $

  Es handelt sich um eine wahre Aussage, also ist die Lösungsmenge $\mathbb{L}=\{15\}$.

• Finde Zahlen, für die die Gleichung ebenfalls funktioniert.

  Tipps

  Wende die Schritte zum Lösen von Wurzelgleichungen an.

  Wenn du eine Summe oder Differenz quadrierst, denke an die binomischen Formeln!

  Versuche, aus der allgemeinen Gleichung durch Umstellen das $x$ zu isolieren.

  Lösung

  Um weitere Zahlen zu finden, für die diese Gleichung zutrifft, formst du die allgemeine Gleichung für $a, b, x \in \mathbb{N}$ um:

  $ \begin{align*} \sqrt {a}-\sqrt{b}&=\sqrt{x}\\ (\sqrt {a}-\sqrt{b})^2&=\sqrt{x}^2\\ (\sqrt {a})^2-2\cdot\sqrt {a}\cdot\sqrt{b}+(\sqrt{b})^2&=\sqrt{x}^2\\ a-2\cdot(\sqrt {a\cdot b})+b&=x\\ \end{align*} $

  Wenn du nun für $a$ und $b$ zwei natürliche Zahlen einsetzt, deren Produkt eine Quadratzahl ergibt (also z. B. $3$ und $27$, denn $3\cdot 27=81$), dann kannst du mit Hilfe der Formel nun noch das $x$ ausrechnen. Dann setzt du die Zahlen für $a$, $b$ und $x$ in die Gleichung ein.