Wurzelgleichungen

Wurzelgleichungen Übung

• Erkläre, was Wurzelgleichungen sind.

  Tipps

  Ist $\sqrt9+x=5$ eine Wurzelgleichung?

  Es gilt $-3\neq 3$. Durch Quadrieren erhält man $(-3)^2=3^2$, also eine wahre Aussage.

  Potenzieren kann zu sogenannten Scheinlösungen führen.

  Lösung

  Was ist eine Wurzelgleichung?

  Wurzelgleichungen sind Gleichungen, bei denen die Unbekannte, meist als $x$ bezeichnet, mindestens einmal unter einer Wurzel steht.

  Dabei kann es sich um Quadratwurzeln oder Wurzeln mit beliebigem Wurzelexponenten handeln.

  Wurzelgleichungen werden mit Potenzieren gelöst. Dies ist jedoch keine Äquivalenzumformung, weshalb unbedingt eine Probe mit der Lösung durchgeführt werden muss.

• Berechne die Lösung der Wurzelgleichung.

  Tipps

  Wurzelgleichungen werden durch Potenzieren gelöst.

  Potenzieren ist keine Äquivalenzumformung. Deshalb muss eine Probe durchgeführt werden.

  Lösung

  Zunächst muss bei der Gleichung $\sqrt x+4=6$ der Wurzelterm auf einer Seite alleine stehen. Hierfür wird auf beiden Seiten $4$ subtrahiert.

  $\sqrt x=2$.

  Durch Quadrieren gelangt man zu $x=4$. Ob dieses $x$ tatsächlich die Gleichung löst, erfährt man durch die Probe. Diese muss unbedingt durchgeführt werden, da es sich beim Potenzieren nicht um eine Äquivalenzumformung handelt:

  $\sqrt4+4=6\Leftrightarrow2+4=6~\surd$.

  Das bedeutet: $\mathbb{L}=\{4\}$.

• Untersuche, ob die Wurzelgleichung lösbar ist.

  Tipps

  Es gilt $-2\neq2$. Jedoch gilt nach dem Quadrieren $4=4$.

  Kann eine Wurzel jemals negativ sein?

  Grundsätzlich ist es immer sinnvoll, nach dem Lösen einer Gleichung eine Probe durchzuführen.

  Lösung

  Gelöst werden soll die Gleichung:

  $\sqrt{x+1}=-2$.

  Man könnte so schon sehen, dass diese Gleichung keine Lösung besitzt, da eine Wurzel immer positiv ist.

  Da Quadrieren keine Äquivalenzrelation ist, führt dies trotzdem zu einer Lösung. Man nennt eine solche Lösung auch Scheinlösung:

  $\begin{align*} \sqrt{x+1}&=-2&|&(~)^2\\ x+1&=4&|&-1\\ x&=3. \end{align*}$

  Ob dieses $x$ tatsächlich eine Lösung der Wurzelgleichung ist, klärt die Probe:

  $\sqrt{3+1}=\sqrt4=2\neq-2$.

  Die Probe ist also nicht erfüllt, was bedeutet, dass $x=2$ die Wurzelgleichung nicht lösbar. Diese ist unlösbar, also $\mathbb{L}=\{ ~ \}$, die leere Menge.

• Leite die Lösung der Gleichung her.

  Tipps

  Forme zunächst so um, dass der Wurzelterm auf einer Seite alleine steht.

  Die Umkehrung vom Wurzel-Ziehen ist das Potenzieren.

  Beim Potenzieren handelt es sich nicht um eine Äquivalenzrelation.

  Es muss eine Probe durchgeführt werden.

  Lösung

  Es soll die Wurzelgleichung $2x+\sqrt{x-1}+1=2x+3$ gelöst werden. Dabei werden Äquivalenzumformungen durchgeführt, damit der Term mit der Wurzel auf einer Seite alleine steht:

  $\begin{align*} 2x+\sqrt{x-1}+1&=2x+3&|&-2x\\ \sqrt{x-1}+1&=3&|&-1\\ \sqrt{x-1}&=2. \end{align*}$

  Nun kann auf beiden Seiten quadriert werden:

  $\begin{align*} \sqrt{x-1}&=2&|&(~)^2\\ x-1&=4&|&+1\\ x&=5. \end{align*}$

  Quadrieren ist jedoch keine Äquivalenzumformung. Deshalb muss eine Probe durchgeführt werden:

  $2\cdot5+\sqrt{5-1}+1=2\cdot5+3\Leftrightarrow 10+2+1=10+3~\surd$.

  Die Lösungsmenge ist demnach gegeben durch $\mathbb{L}=\{5\}$.

• Bestimme, bei welcher Gleichung es sich um eine Wurzelgleichung handelt.

  Tipps

  Bei einer Wurzelgleichung muss die Variable mindestens einmal unter der Wurzel stehen.

  Es muss auf jedem Fall eine Gleichung vorliegen.

  Es gibt $3$ Wurzelgleichungen.

  Lösung

  Wie kann man eine Wurzelgleichung erkennen?

  Wurzelgleichungen sind Gleichungen, bei denen die Unbekannte, oft als $x$ bezeichnet, mindestens einmal unter einer Wurzel steht.

  • $\sqrt{3x+5}=7$ ist eine Wurzelgleichung. Die Variable $x$ steht unter der Wurzel.
  • $\sqrt4+5x=7$. Hier kommt zwar eine Wurzel vor, jedoch steht die Variable nicht unter der Wurzel. Dies ist keine Wurzelgleichung.
  • $\sqrt{5+7x}=\sqrt9$ ist wieder eine Wurzelgleichung, da die Variable $x$ unter einer Wurzel steht.
  • $\sqrt5+7x=\sqrt9$. Hier stehen zwar $2$ Wurzeln, jedoch steht die Variable nicht unter der Wurzel. Dies ist keine Wurzelgleichung.
  • $\sqrt{7y-6}$. Hier steht die Variable $y$ zwar unter der Wurzel, es liegt allerdings keine Gleichung vor. Dies ist keine Wurzelgleichung.
  • $\sqrt{8z-12}=5z$, die Variable $z$ steht einmal unter der Wurzel und einmal nicht. Dies ist eine Wurzelgleichung.

• Prüfe, ob die Wurzelgleichung lösbar ist und gebe die Lösungsmenge an.

  Tipps

  Um die Quadratwurzel aufzulösen, muss quadriert werden.

  Verwende die 1. binomische Formel:

  $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$.

  Vergiss' nicht, die Probe durchzuführen.

  Lösung

  Diese Gleichung $\sqrt{x^2+1}=x+1$ sieht etwas komplizierter aus. Zunächst wird auf beiden Seiten quadriert. Dies führt zu

  $x^2+1=(x+1)$.

  Die rechte Seite kann mit der 1. binomischen Formel ausgerechnet werden:

  $x^2+1=x^2+2x+1$.

  Nun kann mit Äquivalenzumformungen wie folgt vorgegangen werden:

  $\begin{align*} x^2+1&=x^2+2x+1&|&-x^2\\ 1&=2x+1&|&-1\\ 0&=2x&|&:2\\ 0&=x. \end{align*}$

  Damit ist die Gleichung jedoch noch nicht gelöst, es muss noch die Probe durchgeführt werden:

  $\sqrt{0^2+1}=0+1\Leftrightarrow 1=1~\surd$.

  Die Lösungsmenge ist $\mathbb{L}=\{0\}$.