Minimum, Maximum, Spannweite, Median
Statistische Kennzahlen sind hilfreiche Werkzeuge zur Analyse von Daten. Sie umfassen das Minimum, das Maximum, die Spannweite und den Median. Das Minimum ist der kleinste Wert, das Maximum der größte. Die Spannweite ist die Differenz zwischen Maximum und Minimum, und der Median befindet sich in der Mitte der sortierten Daten. Interessiert? Das und vieles mehr findest du im folgenden Text!
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Grundlagen zum Thema Minimum, Maximum, Spannweite, Median
Spannweite, Minimum, Maximum und Median einfach erklärt
Alma, Selma und Wilma treffen sich, um online GoRacer zu spielen. Um ihre Platzierungen und Ergebnisse zu vergleichen und zu interpretieren, müssen sie sich mit den statistischen Kennzahlen Minimum, Maximum, Spannweite und Median auskennen. Aber wie erkennt man Maximum und Minimum? Wie bestimmen wir Spannweite und Median? Und was ist der Unterschied zwischen Maximum, Minimum, Spannweite und Median? Das schauen wir uns im Folgenden genauer an.
Statistische Kennzahlen ermitteln
Nach fünf Rennen schauen die Drei das erste Mal auf die Statistik. Die Ergebnisse sind der Größe nach sortiert und in der folgenden Tabelle dargestellt.
| Name | Platzierungen |
|---|---|
| Alma | $2 \quad 3 \quad 3 \quad 6 \quad 6$ |
| Selma | $2 \quad 2 \quad 2 \quad 2 \quad 5$ |
| Wilma | $1 \quad 1 \quad 1 \quad 1 \quad 1 $ |
Alma ist einmal auf Platz $2$, zweimal auf Platz $3$ und zweimal auf Platz $6$ gelandet. Das Minimum ist definiert als kleinster Wert in der Zahlenreihe. Was ist in Almas Zahlenreihe der kleinste Wert? Die Zwei ist hier die kleinste Zahl. Sie ist das Minimum. Das Maximum ist definiert als größter Wert in der Zahlenreihe. Was ist in Almas Zahlenreihe der größte Wert? Die Sechs ist die größte Zahl. Sie kommt zweimal vor. Wir wählen eine von beiden aus. Die Sechs ist das Maximum. Rechnen wir Maximum minus Minimum, so erhalten wir die Spannweite. Die Spannweite ist definiert als Differenz von größtem und kleinstem Wert.
$Maximum - Minimum = Spannweite$
Wir rechnen also: größter Wert minus kleinster Wert. Bei Alma beträgt die Spannweite:
$6 - 2 = 4$
Die Spannweite von Almas Platzierungen beträgt vier.
Sortiert man die Zahlen der Größe nach, dann ist die Zahl, die in der Mitte steht, die Drei. Man nennt sie den Median oder den Zentralwert. Zur Bestimmung des Medians ist es wichtig, dass die Zahlen der Größe nach sortiert sind.
Selma hat viermal den $2$. Platz erreicht und einmal den $5$. Platz. Die Zwei ist also das Minimum und die Fünf das Maximum. Die Spannweite ergibt sich aus:
$5 - 2 = 3$
Die Spannweite von Selmas Platzierungen beträgt drei. Der Median beträgt zwei. Er ist hier genauso groß wie das Minimum.
Liegt der Median sehr nah an Minimum oder Maximum und ist die Spannweite trotzdem recht groß, so ist das ein Hinweis für einen Ausreißer. Ein Ausreißer ist ein Wert, der stark von den übrigen Werten abweicht. Bei Selma ist das die Zahl Fünf.
Wilma hat fünfmal gewonnen. Das sind fünf Einsen. Wie gehen wir hier vor? Die Eins ist sowohl Minimum als auch Maximum. Daraus ergibt sich die Spannweite null.
$1 - 1 = 0$
Der Median liegt ebenfalls bei eins. Was sagen uns aber Median und Spannweite?
Statistische Kennzahlen interpretieren
Schauen wir uns noch einmal die Mediane von Alma, Selma und Wilma an. Der Median von Alma ist größer als der von Selma. Der Median von Selma ist wiederum größer als der von Wilma. Daraus folgt, dass Wilma im Online-GoRacer am besten ist.
Und was können wir aus der Spannweite erfahren? Auch hier ist Almas Wert größer als der von Selma und Selmas Wert größer als der von Wilma. Daraus folgt, dass Almas Spielerfolg am meisten schwankt. In manchen Rennen schneidet sie sehr gut ab, in anderen aber viel schlechter. Wilmas Spielerfolg ist dagegen sehr stabil.
Statistische Kennzahlen auswerten
Schauen wir uns ein weiteres Beispiel an. Ein Rennen beim Online-GoRacer besteht immer aus vier Runden. Die drei Freundinnen vergleichen nun die Zeiten, in denen sie die Runden absolviert haben. Dafür schauen sie sich die Zeiten von Alma und Wilma etwas genauer an. Diese sind in der folgenden Tabelle dargestellt.
| Name | Zeiten in $\pu{s}$ |
|---|---|
| Alma | $178,6 \quad 194,4 \quad 231,2 \quad 279,6 $ |
| Wilma | $177,2 \quad 178,6 \quad 179,2 \quad 179,4 $ |
Bei Wilmas Werten ist $177,2$ das Minimum und $179,4$ das Maximum. Die Spannweite ist die Differenz beider Zahlen. Sie beträgt:
$179,4 - 177,2 = 2,2$
Die Spannweite ist $2,2$. Aber hier gibt es nun zwei mittlere Werte. Wie ermitteln wir den Median? Dazu werden beide Werte addiert und das Ergebnis wird durch zwei geteilt. Mit dieser Vorgehensweise wird der Median ermittelt, wenn es zwei mittlere Werte gibt.
$\frac{178,6 + 179,2}{2} = 178,9$
Der Median von Wilmas Werten beträgt $178,9$.
Schauen wir uns die Zahlen von Alma an. $178,6$ ist das Minimum und $279,6$ das Maximum.
$279,6 - 178,6 = 101,0$
Die Spannweite beträgt $101,0$. Den Median berechnen wir wieder mit den beiden mittleren Werten.
$\frac{194,4 + 231,2}{2} = 212,8$
Der Median von Almas Werten beträgt $212,8$.
Aber was sagen uns diese Werte jetzt?
Mit den beiden Medianen können wir wieder den Erfolg der beiden vergleichen. Wilmas Median ist der kleinere, sie fährt ihre Runden schneller.
Die Spannweite ist bei Wilma sehr klein. Minimum und Maximum liegen also nahe beieinander. Ihr Spielerfolg wird also nahezu komplett von ihrem Können geprägt. Der Zufall spielt nur eine kleine Rolle. Bei Alma ist die Spannweite gegenüber dem Median recht groß. Minimum und Maximum liegen also weit auseinander. Ihr Spielerfolg hängt viel mehr von Glück oder Pech ab.
Vergleichen wir die Spannweiten der beiden, dann sehen wir, dass Wilmas Spielerfolg wesentlich stabiler ist.
Zusammenfassung Minimum, Maximum, Spannweite und Median
Hat man eine geordnete Anzahl von Daten gegeben, dann kann man die statistischen Lageparameter Minimum, Maximum, Spannweite und Median angeben.
- Das Minimum ist der kleinste Wert, der in der Datenreihe auftaucht.
- Das Maximum ist der größte Wert, der in der Datenreihe auftaucht.
- Die Spannweite ist die Differenz aus Maximum und Minimum.
- Der mittlere Wert heißt Median.
- Gibt es zwei mittlere Werte, so werden sie addiert und durch zwei geteilt. Das Ergebnis ist der Median.
- Diese vier Lageparameter können zur Interpretation genutzt werden.
- Sie dienen zur Einordnung einer einzelnen Datenreihe, können aber auch zum Vergleich mehrerer Datenreihen genutzt werden.
Zusätzlich zum Video findest du Aufgaben und Übungen zu den statistischen Lageparametern Minimum, Maximum, Spannweite und Median hier auf der Seite.
Transkript Minimum, Maximum, Spannweite, Median
Alma, Selma und Wilma treffen sich zum Online-Go-Racer-Spielen. Um ihre Platzierungen und Ergebnisse zu vergleichen und zu interpretieren, müssen sie sich mit den statistischen Kennzahlen Minimum, Maximum, Spannweite und Median auskennen. Nach fünf Rennen schauen die drei das erste Mal auf die Statistik: Alma ist einmal auf Platz 2, zweimal auf Platz 3 und zweimal auf Platz 6 gelandet. Die KLEINSTE Zahl ist hier die ZWEI. Sie ist das MINIMUM. Die GRÖßTE Zahl ist die SECHS. Sie kommt zweimal vor. Wir nehmen eine davon. Sie ist das MAXIMUM. Maximum minus Minimum ergibt die Spannweite. Wir rechnen also größter Wert minus kleinster Wert. 6 minus 2 ist 4. Die Spannweite von Almas Platzierungen beträgt also 4. Die MITTLERE Zahl ist die 3. Man nennt sie den MEDIAN... oder den ZENTRALWERT. Selma hat viermal den zweiten Platz erreicht und einmal den fünften Platz. Die 2 ist also das MINIMUM. Die 5 das MAXIMUM. Die Spannweite ergibt sich aus 5 minus 2. Das ist 3. Der Median, also die mittlere Zahl, beträgt 2. Er ist hier genauso groß wie das Minimum. Liegt der Median sehr nah an Minimum oder Maximum... und ist die Spannweite trotzdem recht groß... so ist das ein Hinweis für einen AUSREIßER. Ein Ausreißer ist ein Wert, der stark von den übrigen Werten abweicht. Hier ist die Zahl 5 ein Ausreißer. "Schauen wir uns noch Wilmas Platzierungen an. Sie hat fünfmal gewonnen! Alle Achtung!" Das sind 5 Einsen. Wie gehen wir hier vor? Genau wie bisher: 1 ist sowohl Minimum, als auch Maximum. Die Spannweite ... ist 0. Der Median liegt bei 1. Was sagen uns aber Median und Spannweite? Schauen wir uns zunächst die Mediane an: Der Median von Alma ist größer als der von Selma... und der ist größer als der von Wilma. Daraus folgt, das WILMA im Online-Go-Racer am besten ist. Und was können wir aus der Spannweite erfahren? Auch hier ist Almas Wert größer als der von Selma... und der ist wiederum größer als der von Wilma. Daraus folgt, das Almas Spielerfolg am meisten schwankt. In manchen Rennen schneidet sie gut ab, in anderen aber schlechter. Wilmas Spielerfolg ist dagegen sehr stabil. Sie gewinnt eigentlich immer. Schauen wir uns noch ein Beispiel an. Ein Rennen beim Online-Go-Racer besteht immer aus 4 Runden. Die drei Freundinnen vergleichen nun die Zeiten, in denen sie die Runden absolviert haben. Wilma hat folgende Zeiten: 177,2 Sekunden, 178,6 Sekunden, 179,2 Sekunden und 179,4 Sekunden. 177,2 ist das Minimum, 179,4 das Maximum. Die Spannweite... ist die Differenz beider Zahlen. Und das ist 2,2. Aber hier gibt es ZWEI mittlere Werte. Wie ermitteln wir den Median? Dazu nehmen wir beide Werte, addieren sie und teilen durch 2. Mit dieser Vorgehensweise kann man IMMER den Median ermitteln, wenn es ZWEI mittlere Werte gibt. Wir erhalten 178,9. Das ist der Median. Schauen wir uns noch die Zahlen von Alma an: 178,6 Sekunden, 194,4 Sekunden, 231,2 Sekunden und 279,6 Sekunden. 178,6 ist das Minimum, 279,6 das Maximum. Die Spannweite beträgt... 101,0. Den Median berechnen wir wieder mit den beiden mittleren Werten. Er beträgt 212,8. Aber was sagen uns diese Werte jetzt? Mit den beiden Medianen können wir wieder den Erfolg der beiden vergleichen. Wilmas Median ist der kleinere. Sie dreht ihre Runden schneller. Die Spannweite ist bei Wilma gegenüber dem Median sehr klein. Minimum und Maximum liegen also nahe beieinander. Ihr Spielerfolg wird also nahezu komplett von ihrem Können geprägt. Der Zufall spielt nur eine kleine Rolle. Bei Alma ist die Spannweite gegenüber dem Median aber recht groß. Minimum und Maximum liegen weit auseinander. Ihr Spielerfolg hängt viel mehr von Glück oder Pech ab. Vergleichen wir die Spannweiten der beiden, dann sehen wir, dass Wilmas Spielerfolg wesentlich stabiler ist. Fassen wir das noch einmal zusammen: Hat man eine geordnete Anzahl von Daten gegeben, dann kann man die statistischen Lageparameter... Minimum, Maximum, Spannweite und Median angeben. Das MINIMUM ist der kleinste Wert, der in der Datenreihe auftaucht. Das MAXIMUM ist der größte Wert, der in der Datenreihe auftaucht. Die Differenz aus Maximum und Minimum heißt SPANNWEITE. Der mittlere Wert heißt MEDIAN. Gibt es ZWEI mittlere Werte, so werden sie addiert und durch zwei geteilt. Das Ergebnis ist dann der Median. Diese 4 Lageparameter können zur Interpretation genutzt werden. Sie dienen zur Einordnung einer einzelnen Datenreihe, können aber auch zum Vergleich mehrerer Datenreihen genutzt werden. Fast schon auf der Zielgeraden... Oh, die 3 hatten ja versprochen, im Garten zu helfen...
Minimum, Maximum, Spannweite, Median Übung
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Bestimme die gesuchten statistischen Kennzahlen.
TippsDas Minimum ist der kleinste Wert einer Datenreihe, während das Maximum der größte Wert ist.
Die Spannweite entspricht der Differenz aus Maximum und Minimum einer Datenreihe.
Der mittlere Wert einer Datenreihe heißt Median.
LösungFür den Vergleich von Daten können wir statistische Kennzahlen nutzen. In dieser Aufgabe betrachten wir die folgenden statistischen Kennzahlen:
- Das Minimum ist der kleinste Wert einer Datenreihe.
- Das Maximum ist der größte Wert einer Datenreihe.
- Die Spannweite ist die Differenz aus Maximum und Minimum einer Datenreihe.
- Der Median ist der mittlere Wert einer Datenreihe. Gibt es zwei mittlere Werte, so ist der Median der Mittelwert dieser beiden Werte.
$\begin{array}{l|c|c|c|c} & \text{Minimum} & \text{Maximum} & \text{Spannweite} & \text{Median} \\ \hline \text{Alma} & 2 & 6 & 6-2=4 & 3 \\ \text{Selma} & 2 & 5 & 5-2=3 & 2 \\ \text{Wilma} & 1 & 1 & 1-1=0 & 1 \end{array}$
Interpretation der Mediane
Der Median von Alma ist größer als der von Selma und der wiederum ist größer als der von Wilma. Daraus können wir schließen, dass Wilma im Online-Go-Racer am besten ist.
Interpretation der Spannweite
Die Spannweite von Alma ist größer als die von Selma und die ist größer als die von Wilma. Daraus können wir erschließen, dass Almas Spielerfolg am meisten schwankt. In manchen Rennen schneidet sie gut ab, in anderen aber schlechter. Wilmas Spielerfolg ist dagegen sehr stabil.
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Gib jeweils Minimum, Maximum, Spannweite und Median an.
TippsGibt es in einer Datenreihe zwei mittlere Werte, so erhältst du den Median, indem du diese beiden Werte addierst und die Summe durch $2$ teilst.
Sieh dir folgende Datenreihe an: $~ 110; \ 122; \ 126; \ 130$
Median $= (122+126):2 = 248:2 = 124$
LösungGesucht sind die folgenden statistischen Kennzahlen zweier Datenreihen:
- Das Minimum ist der kleinste Wert einer Datenreihe.
- Das Maximum ist der größte Wert einer Datenreihe.
- Die Spannweite ist die Differenz aus Maximum und Minimum einer Datenreihe.
- Der Median ist der mittlere Wert einer Datenreihe. Gibt es zwei mittlere Werte, so ist der Median der Mittelwert dieser beiden Werte. Diesen erhalten wir, indem wir die beiden mittleren Werte addieren und die Summe durch $2$ teilen.
$\begin{array}{l|cccc} \text{Kennzahl} & \text{Wert} \\ \hline \text{Minimum} & 178,6\\ \text{Maximum} & 279,6 \\ \text{Spannweite} & 279,6-178,6 =101 \\ \text{Median} & (194,4+ 231,2):2=212,8 \end{array}$
Außerdem erhalten wir die folgenden Werte für Wilma:
$\begin{array}{l|cccc} \text{Kennzahl} & \text{Wert} \\ \hline \text{Minimum} & 177,2\\ \text{Maximum} & 179,4 \\ \text{Spannweite} & 179,4-177,2 =2,2 \\ \text{Median} & (178,6+179,2):2=178,9 \end{array}$
Interpretation des Medians und der Spannweite
Die beiden Mediane spiegeln den Erfolg der beiden wider. Wilmas Median ist kleiner als Almas, also dreht sie ihre Runden schneller.
Wilmas Spannweite ist gegenüber ihrem Median sehr klein. Das bedeutet, dass ihr Minimum und Maximum nahe beieinanderliegen. Ihr Spielerfolg wird also nahezu komplett von ihrem Können geprägt.
Almas Spannweite hingegen ist gegenüber ihrem Median recht groß. Wir erkennen, dass Minimum und Maximum weit auseinanderliegen. Ihr Spielerfolg hängt viel mehr von Glück oder Pech ab.
Der Vergleich der beiden Spannweiten zeigt, dass Wilmas Spielerfolg wesentlich stabiler ist.
-
Ermittle jeweils Maximum und Minimum.
TippsBeachte, dass die Datenreihen nicht sortiert sind.
Der größte Wert einer Datenreihe ist das Maximum.
LösungSind alle Werte einer Datenreihe aufsteigend sortiert, so ist der Wert ganz links der kleinste Wert, also das Minimum, und der Wert ganz rechts der größte Wert, also das Maximum. Allerdings sehen wir hier drei Datenreihen, bei denen die Werte nicht ihrer Größe nach sortiert sind. Wir müssen uns also alle Werte der drei Datenreihen genau angucken, um jeweils das Minimum und Maximum einer Datenreihe zu finden.
Datenreihe 1
$56\quad 19 \quad 22 \quad 38 \quad 18 \quad 54$
In dieser Datenreihe ist der kleinste Wert die $18$, sie ist also das Minimum. Das Maximum ist die $56$, denn es gibt keinen größeren Wert in der Datenreihe.
Datenreihe 2
$146\quad 139 \quad 176 \quad 201 \quad 166 \quad 199$
Wir finden hier das Minimum $139$ und das Maximum $201$.
Datenreihe 3
$1,5 \quad 0,09 \quad 2 \quad 0,99 \quad 0,15 \quad 0,95$
Da es keine größere Zahl als die $2$ gibt, ist $2$ das Maximum dieser Datenreihe. Der kleinste Wert, also das Minimum, ist $0,09$.
-
Arbeite die jeweiligen statistischen Kennzahlen heraus.
TippsTeilst du die Summe der beiden mittleren Werte einer Datenreihe durch $2$, erhältst du den Median.
Zwei Datenreihen können trotz verschiedener Werte dieselbe Spannweite haben.
LösungWir haben hier drei aufsteigend sortierte Datenreihen. Das Minimum und Maximum können wir also direkt ablesen. In jeder Datenreihe ist der Wert ganz links das jeweilige Minimum und der Wert ganz rechts das Maximum.
Die Differenz von Maximum und Minimum liefert uns dann für jede Datenreihe die jeweilige Spannweite.
Jede Datenreihe enthält eine gerade Anzahl an Werten. Das bedeutet, dass wir in jeder Datenreihe zwei mittlere Werte haben. Um den Median zu erhalten, müssen wir also die Summe der beiden mittleren Werte durch $2$ teilen.
Demnach erhalten wir die folgenden Werte für Mike:
$\begin{array}{l|cccc} \text{Kennzahl} & \text{Wert} \\ \hline \text{Minimum} & 45\\ \text{Maximum} & 60 \\ \text{Spannweite} & 60-45=15 \\ \text{Median} & (59+51):2=55 \end{array}$
Außerdem erhalten wir die folgenden Werte für Esra:
$\begin{array}{l|cccc} \text{Kennzahl} & \text{Wert} \\ \hline \text{Minimum} & 39\\ \text{Maximum} & 69 \\ \text{Spannweite} & 69-39=30 \\ \text{Median} & (51+61):2=56 \end{array}$
Diese Werte erhalten wir für Tim:
$\begin{array}{l|cccc} \text{Kennzahl} & \text{Wert} \\ \hline \text{Minimum} & 15\\ \text{Maximum} & 30 \\ \text{Spannweite} & 30-15=15 \\ \text{Median} & (25+25):2=25 \end{array}$
-
Definiere die statistischen Kennzahlen Minimum, Maximum, Spannweite und Median.
TippsBetrachte folgende Datenreihe:
$22; \ 27; \ 31; \ 36; \ 36$
Die Spannweite ist $14$.
In einer Datenreihe gibt es keinen größeren Wert als das Maximum und keinen kleineren Wert als das Minimum.
Der Median wird auch Zentralwert genannt.
LösungWir betrachten folgende Datenreihe:
$22; \ 27; \ 31; \ 36; \ 36$
- Das Minimum, also der kleinste Wert der Datenreihe, ist $22$.
- Das Maximum, also der größte Wert der Datenreihe, ist $36$.
- Die Spannweite, also die Differenz von Maximum und Minimum, ist $36-22=14$.
- Der Median, also der mittlere Wert oder Zentralwert der Datenreihe, ist $31$.
-
Erschließe die korrekten Kennzahlen und Interpretationen.
TippsBeachte die Anzahl der jeweiligen Laufzeiten, in der sie in der Datenbank vorkommen.
Hast du zwei gleiche mittlere Werte, so entspricht der Median diesem Wert.
LösungBei einem Wettrennen ergeben sich folgende Laufzeiten:
zweimal $220$ Sekunden, einmal $234$ Sekunden, zweimal $240$ Sekunden und dreimal $256$
Wir haben also folgende Datenreihe, wobei alle Werte in Sekunden gegeben sind:
$220; \ 220; \ 234; \ 240; \ 240; \ 256; \ 256; \ 256$
Das Minimum ist $220$ und das Maximum $256$.
Die Spannweite entspricht demnach $256-220=36$.
Der Median ist $240$, da die beiden mittleren Werte $240$ sind und die Summe dieser durch $2$ dividiert wieder $240$ ergibt. Die Datenreihe enthält drei Werte, die kleiner als der Median sind, und genauso viele Werte, die größer sind. Der Median $240$ liegt näher am Maximum $256$ als am Minimum $220$.
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Super Video! Ich habe alles besser verstanden!
Sehr gut
Aber ich bin in der 9.klasse und wir hatgen das nicht und den zhema habn wir fertig
SUPER
Ich finde das alles auf den Interne viel leichter ist zu verstehen als in der Schule und gerade hier versteh ich Themen die wir seit 3 Monaten haben, besser als ein Thema was ich in ein 8 Minuten video mir angeschaut habe
.
7 Klasse?! Ich finde Min,Max,Spannweite und Median, nicht so schwer.
Ich gehe in die 6.Klasse und wir hatten dieses Thema (war nicht schwer).