Multiplikation von Potenzen mit gleicher Basis

Multiplikation von Potenzen mit gleicher Basis Übung

• Bestimme die Anzahl der Wörter, die Frank schreiben muss.

  Tipps

  Die zweite und dritte Potenz einer Basis $a$ ist gegeben durch $a^2= a \cdot a$ und $a^3 = a \cdot a \cdot a$.

  Potenzen gleicher Basis multipliziert man durch Addition der Exponenten:

  $a^n \cdot a^m = a^{n+m}$.

  Bei Potenzen zur Basis $10$ ist der Exponent die Anzahl der Nullen hinter der $1$. So ist beispielsweise $10^4 = 10\,000$ eine $1$ mit $4$ Nullen.

  Lösung

  Wir rechnen aus, wie viele Wörter Frank insgesamt schreiben muss. Bei $10^2$ Tagen und täglich $10^3$ Wörtern ergeben sich insgesamt $10^2 \cdot 10^3$ Wörter.

  Zunächst bestimmen wir die Werte der einzelnen Potenzen. Frank hat $10^2 = 10 \cdot 10 = 100$ Tage Zeit für seinen Aufsatz. Täglich soll er $10^3 = 10 \cdot 10 \cdot 10 = 1~000$ Wörter schreiben.

  Um auszurechnen, wie viele Wörter Frank insgesamt schreiben soll, benutzen wir das Gesetz zur Multiplikation von Potenzen gleicher Basis. Für Potenzen $a^n$ und $a^m$ mit gleicher Basis $a$ gilt:

  $a^n \cdot a^m = a^{n+m}$.

  Für Franks Aufsatz sind also insgesamt $10^2 \cdot 10^3 = 10^5 = 100~000$ Wörter gefordert.

  Analog rechnen wir die Werte für die Basis $2$ aus: Frank schafft $2^{10} = 1~024$ Wörter pro Stunde. Ihm bleiben noch $2^4 = 16$ Stunden Zeit. In der verbleibenden Zeit kann er also noch $2^{10} \cdot 2^4 = 2^{14} = 16~384$ Wörter schreiben.

• Bestimme die Potenzen.

  Tipps

  Die zueinander gehörigen Potenzen müssen dieselbe Basis haben.

  Die Multiplikation von Potenzen geschieht nach folgendem Potenzgesetz: Für Potenzen $a^n$ und $a^m$ ist $a^n \cdot a^m = a^{n+m}$.

  Für die Addition zweier Potenzen, also $a^n+a^m$, gibt es kein allgemeines Gesetz.

  Lösung

  Die Multiplikation der Potenzen folgt dem Potenzgesetz: für Potenzen $a^n$ und $a^m$ ist $a^n \cdot a^m = a^{n+m}$.

  Wir gehen die Potenzen im Einzelnen durch und schreiben die jeweiligen Gleichungen auf.

  $\begin{array}{llll} 10^2 \cdot 10^3 &=& 10^{2+3} &= 10^5\\ 10^4 \cdot 10^2 &=& 10^{4+2} &= 10^6 \\ 10 \cdot 10^2 &=& 10^{1+2} &= 10^3 \\ 2^7 \cdot 20^4 &=& 2^{7+4} &= 2^{11} \\ 2^8 \cdot 2^7 &=& 2^{8+7} &= 2^{15} \end{array}$

  Der Term $2^7 + 2^4$ findet keinen Partner. Die Addition von Potenzen kommt in der Aufgabe nicht vor und ist auch nicht durch ein Potenzgesetz bestimmt.

  Wir benutzen das Potenzgesetz um zu zeigen, dass der Term $2^7 + 2^4$ gar keine Potenz zur Basis $2$ ist:

  $ 2^7 + 2^4 = 2^3 \cdot 2^4 + 2^4 = (2^3 + 1) \cdot 2^4 = (8+1) \cdot 2^4 = 9 \cdot 2^4 = 3^3 \cdot 2^4 $

  Der Primfaktor $3$ zeigt, dass $2^7 + 2^4$ keine Potenz von $2$ sein kann.

• Analysiere Aussagen über die Multiplikation von Potenzen.

  Tipps

  Bei einer Potenz $a^n$ ist $a$ die Basis und $n$ der Exponent.

  Ein Zahlenbeispiel:

  $10^2 \cdot 10^3 = 10^5$.

  Für die Addition von Potenzen gibt es kein Potenzgesetz.

  Lösung

  Bei einer Potenz $a^n$ heißt $a$ die Basis und $n$ der Exponent. Die Multiplikation von Potenzen gleicher Basis geschieht nach dem Potenzgesetz: für Potenzen $a^n$ und $a^m$ ist $a^n \cdot a^m = a^{n+m}$. Für die Addition von Potenzen gibt es kein Potenzgesetz.

  Wir gehen die Aussagen im Einzelnen durch:

  Falsch sind die folgenden Aussagen:

  • „Die Multiplikation der Potenzen $a^n$ und $a^m$ ergibt die Potenz $a^{m \cdot n}$.“ Das Potenzgesetz lautet $a^n \cdot a^m = a^{n+m}$.

  • „Die Multiplikation der Potenzen $a^n$ und $a^n$ ergibt $a^{n^2}$.“ Nach dem Potenzgesetz ist vielmehr $a^n \cdot a^n = a^{n+n} = a^{2n}$.

  • „Die Multiplikation von Potenzen der gleichen Exponenten geschieht durch Addition der Basen.“ Das Potenzgesetz $a^n \cdot a^m = a^{n+m}$ gilt für Potenzen gleicher Basis, nicht gleicher Exponenten.

  • „Die Multiplikation von Potenzen gleicher Basis geschieht durch Addition der Basen und der Exponenten.“ Das Potenzgesetz $a^n \cdot a^m = a^{n+m}$ bedeutet: das Produkt der Potenzen ist gegeben durch Addition der Exponenten.

  • „Die Addition der Potenzen $a^n$ und $a^m$ ergibt $a^{n+m}$.“ Für die Addition von Potenzen gibt es kein Potenzgesetz.

  Richtig sind dagegen die folgenden Aussagen:

  • „Die Multiplikation von Potenzen gleicher Basis geschieht durch Addition der Exponenten.“ Dies entspricht genau dem Potenzgesetz $a^n \cdot a^m = a^{n+m}$.

  • „Die Multiplikation der Potenzen $a^n$ und $a^n$ ergibt die Potenz $a^{2n}$.“ Nach dem Potenzgesetz ist $a^n \cdot a^n = a^{n+n} = a^{2n}$.

• Erschließe die Werte der Potenzen.

  Tipps

  Bei der Multiplikation von Potenzen gleicher Basis werden die Exponenten addiert.

  Arbeitet Frank nur an halb so vielen Tagen, so muss er stündlich doppelt so viel schreiben, um auf dasselbe Ergebnis zu kommen.

  Alle Zahlen in der Aufgabe sind Potenzen zur Basis $2$.

  Lösung

  Die Überlegungen zu Franks Quartalsarbeit sind durch das Potenzgesetz $a^n \cdot a^m = a^{n+m}$ bestimmt. Wir gehen die Rechnungen im Einzelnen durch:

  In den $4=2^2$ Wochen arbeitet Frank nur montags bis donnerstags, also jeweils $4=2^2$ Tage. Daraus ergeben sich

  $ 2^2 \cdot 2^2 = 2^4 = 16 $

  Arbeitstage. Pro Arbeitstag nimmt Frank sich zwei Stunden Zeit, das sind insgesamt:

  $ 2 \cdot 2^4 = 2^5 $

  Arbeitsstunden.

  Die Quartalsarbeit soll zwischen $50$ und $100$ Seiten lang sein. Wir rechnen aus, wie viel Frank pro Stunde schreiben muss: schreibt er im Schnitt pro Stunde zwei Seiten, so kommt er insgesamt auf:

  $ 2 \cdot 2^5 = 2^6 = 64 $

  Seiten. Das ist mehr als $50$ und weniger als $100$. Es genügt also den Anforderungen der Quartalsarbeit.

  Wenn Frank sich etwas mehr ins Zeug legt, schafft er vielleicht auch $4$ Seiten pro Stunde. Damit käme er insgesamt auf:

  $ 2^2 \cdot 2^5 = 2^7 = 128 $ Seiten. Das ist aber zu viel, denn die Quartalsarbeit sollte höchstens $100$ Seiten lang sein.

  Wenn Frank dagegen nur an jedem zweiten der Arbeitstage tatsächlich an der Quartalsarbeit schreibt, so kommt er in den verbleibenden vier Wochen nur auf

  $ 2 \cdot 2^2 = 2^3 = 8 $

  Arbeitstage oder

  $ 2^4 = 16 $

  Arbeitsstunden.

  Um die Anforderung von mindestens $50$ Seiten dennoch zu schaffen, muss Frank sich in diesem Fall etwas mehr ins Zeug legen: Für

  $ 2^6 = 64 $

  Seiten müsste er an den $8$ Arbeitstagen im Schnitt

  $ \frac{64}{8} = 2^3 = 8 $

  Seiten schreiben. Bei insgesamt $16$ Arbeitsstunden macht das also

  $ \frac{64}{16} = 4 $

  Seiten pro Stunde.

• Ergänze die fehlenden Potenzen.

  Tipps

  Die $n$-te Potenz einer Zahl $a$ ergibt sich, wenn man diese Zahl $n$-mal mit sich selbst multipliziert.

  Die Multiplikation der Potenzen geschieht nach dem entsprechenden Potenzgesetz. Für die Basis $10$ bedeutet das: $10^n \cdot 10^m = 10^{n+m}$.

  Potenzen zur Basis $10$ sind leicht zu bestimmen: Die Zahl $10^n$ ist eine $1$ mit $n$ Nullen.

  Lösung

  Nach dem Potenzgesetz $a^n \cdot a^m = a^{n+m}$ ergibt sich für die Basis $10$ die Rechnung:

  $10^2 \cdot 10^3 = 10^{2+3} = 10^5$.

  Die $n$-te Potenz zur Basis $10$ rechnen wir aus durch Multiplikation der Zahl $10$ mit sich selbst, und zwar $n$-mal. Für $n=5$ erhalten wir also $10^5 = 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10$. Das ergibt eine $1$ mit fünf Nullen, also $100~000$ (Einhunderttausend).

• Entscheide, welche von Franks Aussagen wahr sind.

  Tipps

  Ein Wachstum um $3$ % entspricht einer Multiplikation mit dem Faktor $1,03$.

  Die Anzahl der Zahlenkombinationen beim Fahrradschloss entspricht im Urnenmodell dem Ziehen ohne Zurücklegen und mit Beachtung der Reihenfolge.

  Die Zahl $3$ lässt sich nicht als Potenz der Zahl $2$ darstellen, wenn die Exponenten nur ganze Zahlen sein dürfen.

  Lösung

  Wir überprüfen, inwiefern die einzelnen Sachverhalte dem Potenzgesetz:

  $ a^n \cdot a^m = a^{n+m} $

  gehorchen.

  • Im Marathon-Training läuft Frank $3^2 = 9$ Wochen lang an $3$ Tagen pro Woche $3 \cdot 3$ km. Das sind in der Tat $3^2 \cdot 3 \cdot 3^2\,\text{km}=3^5 \,\text{km}$. Die Aussage ist richtig.

  • Der Wertzuwachs einer Aktie wird durch prozentuales Wachstum beschrieben, nicht durch eine Potenzfunktion: Der Wert der Aktie wächst monatlich um $3 \ \%$. Das entspricht der Multiplikation mit dem Faktor $1,03$. In einem Vierteljahr, d. h. in $3$ Monaten, berechnet sich die Wertentwicklung durch Multiplikation mit $(1,03)^3 = 1,093$. Das entspricht einem Wachstum um $9,3\ \%$ anstatt $27\ \%$. Die Aussage ist demnach falsch.

  • Das Bakterienwachstum in Abhängigkeit der Zeit wird nicht durch eine Potenzfunktion beschrieben, sondern durch eine Exponentialfunktion: Die Bakterienzahl verdoppelt sich alle $12$ Stunden. In $24$ Stunden vervierfacht sich die Zahl bereits. In zwei Tagen hat sich das Bakterium bereits viermal geteilt, die Zahl ist dabei um den Faktor $2^4$ gewachsen. Innerhalb von $8$ Tagen finden durchschnittlich $16$ Teilungen statt. Mit jeder Teilung verdoppelt sich die Anzahl der Bakterien. Die Gesamtzahl wächst demnach in $8$ Tagen um den Faktor $2^{16}$. Daher ist die Aussage falsch.

  • Das Zahlenschloss hat $4=2^2$ unabhängige Zahnkränze mit jeweils $8=2^3$ Ziffern. Da wir die Ziffern vollkommen unabhängig voneinander einstellen können, haben wir $8^4=(2^3)^4=2^{12}$ Möglichkeiten, eine Zahlenkombination auszuwählen. Das entspricht im Urnenmodell dem Ziehen ohne Zurücklegen und mit Beachtung der Reihenfolge. Hier findet unser Potenzgesetz keine Anwendung. Die Aussage ist falsch.

  • Frank macht in jeder der $16=2^4$ Stunden eines Tages $2$ mal $32=2^5$ Liegestütze. Hier können wir die Zahlen einfach multiplizieren, also dürfen wir das Potenzgesetz anwenden: $2^4*2^1*2^5=2^{4+1+5}=2^{10}(=1024)$. Die Aussage ist also richtig.