Normalverteilung – Standardisierung der Binomialverteilung

Hallo! Hier ist Mandy. Zur Annäherung an den Begriff der Normalverteilung, betrachten wir in diesem Video die Standardisierung der Binomialverteilung.Damit Du gut folgen kannst, erfolgt zunächst eine Wiederholung. Danach wird dir die Frage beantwortet: Wozu gibt es die Standardisierung der Binomialverteilung? Und zum Schluss erfährst Du, wie der Prozess der Standardisierung der Binomialverteilung genau funktioniert. Beginnen wir nun mit der Wiederholung. Binomialverteilungen haben etwas mit Bernoulli-Versuchen zu tun. Zur Berechnung der dazugehörigen Wahrscheinlichkeiten benutzt man die Bernoulli-Formel. Wichtig zu wissen ist, dass die Anzahl der Erfolge k eine Zufallsgröße ist, die man in der Regel durch groß X darstellt. n beschreibt die Länge der Kette beziehungsweise die Anzahl der Durchführungen und p die Erfolgswahrscheinlichkeit.Die Bernoulli-Verteilung beschreibt die Verteilung der Zufallsgröße X. Also die Anzahl der Erfolge bei einem Durchgang. Also für n = 1. Dies kann man zum Beispiel durch ein solches Histogramm darstellen. Bei der Binomialverteilung hingegen, wird die Anzahl der Erfolge betrachtet bei einer Serie von unabhängigen Bernoulli-Versuchen. Also für beliebig große n ≥ 1. Wobei die Erfolgswahrscheinlichkeit für jede Durchführung innerhalb des Versuchs gleich ist. Demnach ist die Bernoulli-Verteilung ein Spezialfall der Binomialverteilung. Der dazugehörige Erwartungswert E(X) beziehungsweise μ wird dann wie folgt berechnet: E(X) = μ = n * p. Also die Anzahl der Durchführungen multipliziert mit der Erfolgswahrscheinlichkeit. Die Standardabweichung σ(X) berechnet sich dann als Wurzel(Varianz) = Wurzel(n * p * (1 - p)). Nun wollen wir die Frage klären: Wozu gibt es die Standardisierung der Binomialverteilung. In unseren Tafelwerken können wir für Berechnungen zu Binomialverteilungen auch Tabellen nutzen. Daraus können wir zum Beispiel leicht ablesen, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist bei 50 Versuchen und einer Erfolgswahrscheinlichkeit von 0,6, 32 Treffer zu erhalten. Man könnte dann eine Wahrscheinlichkeit von 0,099 ablesen. Mit Hilfe solcher Tabellen kann man viel schneller Wahrscheinlichkeiten von Bernoulli-Ketten überblicken, als wenn man sie mühsam mit der Bernoulli-Formel berechnet. Die Tabellen im Tafelwerk gehen aber meist nur bis n = 100. Was machen wir nun aber, wenn wir Versuche betrachten, die mehr als 100 Durchgänge umfassen? So sind beispielsweise 500 Durchführungen in der Praxis nicht unrealistisch, da auf diese Weise die Abweichungen geringer sind und damit die Aussage über das Experiment verlässlicher ist. An solchen großen Zahlen scheitern selbst die meisten in der Schule verwendeten Taschenrechner. Um dieses Problem zu lösen, gibt es die Standardisierung der Binomialverteilung. Aber was ist das eigentlich genau? Man versucht dabei die Verteilungen mit unterschiedlichen Stichprobenumfängen durch verschiedene Umwandlungsoperationen zu vereinheitlichen. Dazu nutzen wir als Ausgangspunkt Histogramme, welche die Binomialverteilungen darstellen. Die Histogramme können dabei unterschiedlich ausfallen. Die Gestalt hängt einerseits von der Anzahl der Durchführungen n ab und andererseits von der Erfolgswahrscheinlichkeit p. Diese Parameter haben einen Einfluss auf die Höhe der Säulen und auf die Position der höchsten Säule. Nutzen wir zur Veranschaulichung diese beiden Diagramme. So kann die größte Säule bei diesem Histogramm bei k = 2 liegen. Oder bei diesem Histogramm bei k = 5. Beide Säulen sind unterschiedlich hoch, obwohl die Erfolgswahrscheinlichkeit gleich ist. Dies liegt an der unterschiedlichen Anzahl der Durchführungen. Je größer n ist, umso weiter rückt die höchste Säule nach rechts. Dadurch unterscheiden sich die Histogramme auch in deren Erwartungswerten und Standardabweichungen. Je größer n ist, umso größer ist auch der Erwartungswert E(X). Und je größer n ist, umso größer ist die Anzahl der Säulen des Histogramms. Dadurch wird das Histogramm breiter und flacher. Die Streuung beziehungsweise die Standardabweichung wird damit auch größer. Wir können jedoch auch eine Gemeinsamkeit erkennen. So ist die Säulenbreite bei allen Histogrammen stets gleich groß. Nämlich 1. Die Fläche der einzelnen Säulen lässt sich dann über die Bernoulli-Formel berechnen. Erhöht man nun immer weiter den Stichprobenumfang, also die Anzahl der Durchführungen n, wobei die Erfolgswahrscheinlichkeit p bei jedem Durchgang gleich bleibt, so nimmt das Histogramm eine ganz besondere Form an. Man nennt sie die "Glockenform". Beziehungsweise, wenn man die angenäherte Funktion betrachtet "Glockenkurve". Weil sie dem Umriss einer Glocke ähnelt. Durch die sogenannte Standardisierung erreicht man eine relativ einheitliche Form und Lage der Histogramme. Diese standardisierten Diagramme passen sich dann unabhängig von p bei größer werdendem n alle ein und derselben Glockenkurve an. Dies hat den Vorteil der besseren Vergleichbarkeit und Berechnungsgrundlage. Den Prozess der Standardisierung der Binomialverteilung schauen wir uns nun genauer an. Dieser erfolgt in drei Schritten.Im ersten Schritt beginnt man mit der Verschiebung der Kurve auf den Erwartungswert null. Dies gelingt in dem man den Erwartungswert von der Zufallsgröße X abzieht. Man erhält dadurch eine neue Zufallsvariable Y. Im zweiten Schritt erfolgt die Normierung der Standardabweichung auf den Wert 1. Dazu müssen wir unsere Zufallsvariable Y durch die Standardabweichung teilen. Wir erhalten dadurch wieder eine neue Zufallsvariable Z. Wenn wir Z durch diese ursprüngliche Zufallsvariable X darstellen wollen, müssen wir (X - μ)/σ(X) rechnen. Wir können beobachten, dass der wesentliche Teil des Histogramms unabhängig von n immer ungefähr gleich breit bleibt. Unsere ursprüngliche Gemeinsamkeit der Histogramme, dass die Säulenbreite jeweils eins beträgt, ändert sich durch diese Normierung. Sie beträgt nun 1/σ(X). Der Erwartungswert bleibt gleich. Im dritten und letzten Schritt wird der Nebeneffekt der veränderten Säulenbreite wieder ausgeglichen. Der Ausgleich der Säulenbreitenänderung erfolgt durch die Multiplikation der Formel mit der Standardabweichung σ(X). Es gilt dann. Da die Säulenbreite nun wieder eins beträgt, kann nun auch wieder die Berechnung der Flächeninhalte der einzelnen Säulen mit Hilfe der bekannten Bernoulli-Formel erfolgen. Die genauen Auswirkungen des Standardisierungsprozesses können wir den folgenden Abbildungen entnehmen. So liegen bei diesen Histogrammen eine unterschiedliche Anzahl an Durchführungen und somit unterschiedliche Glockenkurven vor. Durch den Standardisierungsprozess sehen sich alle Glockenkurven nun sehr ähnlich. Die Histogramme unterscheiden sich nun vor allem durch die unterschiedliche Anzahl an Säulen.Das war es schon wieder von mir. Daher sage ich nun: Bye, bye. Und bis zum nächsten Mal!